Lezione IV
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1
DINAMICA
Nelle lezioni precedenti abbiamo trattato il moto
dei corpi, senza però occuparci delle cause di questo
moto,
cioè delle grandezze fisiche che lo determinano.
La DINAMICA si occupa proprio di questo
In sostanza, il problema della dinamica di un corpo (per semplicità un punto materiale) è
determinare come si muove la particella, note le cause che agiscono su di essa. Con il
termine come si muove si intende come varia nel tempo la sua posizione. Se per
esempio il moto è unidimensionale, il problema è determinare x in funzione del tempo
cioè:
x = x(t).
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Poiché le cause che agiscono su un corpo per determinarne il moto si manifestano,
come vedremo, attraverso i cambiamenti che inducono in questo moto, è cioè inducono
in generale delle accelerazioni, rivediamo quello che abbiamo imparato In cinematica
proprio sull’accelerazione.
Abbiamo definito l’accelerazione come la rapidità con cui cambia la velocità di un corpo.
Per esempio nel caso unidimensionale (scalare) abbiamo definito l’accelerazione media come:
< a > = Δv / Δt
e abbiamo definito l’accelerazione istantanea attraverso un processo al limite che ci conduce
verso il calcolo differenziale:
a(t) = lim ( Δv/Δt ) = dv/dt a(t) = Derivata di v(t) rispetto al tempo
Δt→0
E abbiamo visto che tutto ciò si può facilmente generalizzare nel formalismo vettoriale
applicandolo alle singole componenti lungo gli assi di riferimento di un vettore.
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Abbiamo anche visto che su base grafica il concetto di accelerazione istantanea a(t) come
derivata di v(t) rispetto al tempo è abbastanza intuitivo. Se per esempio abbiamo a che
fare con un punto materiale che si muove lungo una linea retta con una velocità varabile,
O
v(t):
x
v(t)
t
Indicando come in figura l’andamento
Tempo t
della funzione v(t) in funzione del tempo,
abbiamo visto che la sua derivata e cioè
l’accelerazione a(t), è in ogni istante il
coefficiente angolare della tangente
Tempo t
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Come vedremo meglio quando impareremo i primi rudimenti di calcolo differenziale,
il formalismo differenziale adottato:
a(t) = dv/dt
può tranquillamente essere «invertito» e si può scrivere:
dv = a(t) dt
Questo è un fatto interessante: se conosciamo la funzione v(t), possiamo determinare in
ogni istante l’accelerazione istantanea a(t), calcolando la derivata di v(t) rispetto al
tempo (e questo lo sappiamo già e risulta dalla stessa definizione di accelerazione). Ma
allo stesso tempo, se il dato noto del problema è l’accelerazione a(t), in base alla formula
«invertita» che abbiamo appena preannunciato, possiamo ricavare informazioni su v
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Siamo tentati di affermare: niente di nuovo! Questo lo sapevamo già.
Conosciamo già l’equazione:
v(t) = v0 + a t
Si è vero, ma questa equazione è valida per il caso semplice
a = costante, e infatti
è sotto questa ipotesi che l’abbiamo ricavata.
Se a non è costante, ma è una funzione del tempo a(t), NON possiamo scrivere
v(t) = v0 + a(t) t
In questo caso potremo solo scrivere
dv = a(t) dt
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Questa è una cosa alla quale dovremo porre molta attenzione, proprio adesso che andiamo
a studiare le cause che determinano i cambiamenti di moto di un corpo.
Si, perché una volta che avremo individuato una causa che determina un certo cambiamento
del moto, cioè una certa accelerazione a(t), vorremo determinare la funzione velocità!
E allora come faremo nel caso in cui
a = a(t) ≠ costante ?
Beh, la formula differenziale:
dv = a(t) dt
ci suggerisce qualcosa: per esempio ci suggerisce che sebbene NON possiamo scrivere:
v(t) = v0 + a(t) t
però potremo certamente scrivere:
v(t0 +dt ) = v0 + a(t0) dt
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Dovremo quindi imparare come effettuare un processo iterativo con cui partendo
dalla formula semplice:
v(t0 +dt ) = v0 + a(t0) dt
si possa pervenire alla determinazione della funzione:
v(t) nota la funzione a(t)
Una sorta di processo «inverso» alla derivata, con cui si ricavava la funzione
a(t), nota la funzione v(t)
a(t) = dv/dt
Cioè dovremo imparare anche gli integrali
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Il primo approccio sarà comunque semplice.
Studieremo innanzitutto:
a) quelle cause (che come vedremo chiameremo forze) che determinano una
accelerazione costante (che quindi sappiamo già trattare)
b) Un caso particolare sarà poi quello in cui
a=
costante = 0. In questo caso,
parleremo in sostanza del caso statico. (Strano che se ne parli in Dinamica, vero?)
Però non perdiamo di vista il fatto che quando cominceremo a trattare il caso di
cause (forze) che inducono accelerazioni variabili, allora dovremo riprendere questa
faccenda del calcolo differenziale e degli integrali
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Una premessa di «metodo»
Come vedremo, definiremo il concetto di forza in base ai suoi effetti dinamici : una forza
che agisce su un corpo ne muta lo stato di moto, provoca cioè una accelerazione.
Posta in questi termini, ne potrebbe conseguire l’idea che una forza esiste solo in
quanto provoca una accelerazione, e che quindi laddove non si osservano accelerazioni
NON ci sono forze.
In realtà il senso comune ci dice che forze opposte possono annullarsi, ciò ovviamente
NON vuol dire che spariscono, semplicemente i loro potenziali effetti dinamici
(l’accelerazione) si annullano ma ciò non toglie che le forze sono lì che agiscono.
Ora però, poiché la forza come vedremo viene definita in base ai suoi effetti dinamici,
per potere dare un senso fisico al concetto (e alla misura) di forze che si annullano
ma che sono lì, dovremo definire anche procedure di misure statiche delle forze.
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Da che cosa deriva questo approccio dinamico alla definizione di una grandezza fisica
che comunque come vedremo esiste anche se non manifesta i suoi effetti dinamici ?
Come ricorderete, noi abbiamo stabilito di definire le seguenti grandezze come grandezze
fondamentali:
a) Lunghezza
b) Tempo
c) Massa
In questo approccio, la forza risulterà una grandezza derivata da quelle fondamentali.
Se avessimo stabilito di adottare come grandezze fondamentali le seguenti:
i) Forza
ii) Lunghezza
iii) Tempo
In questo caso, la massa sarebbe risultata come una grandezza derivata da quelle fondamentali
e questa apparente ambiguità per la definizione della forza sarebbe sparita. Vedremo meglio
questa questione non appena definiremo i sistemi di unità di misura delle forze
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La I Legge di Newton
Cominciamo col chiederci: cosa determina il moto di un corpo ? Anzi cerchiamo di
capire qual è lo stato naturale di un corpo se non intervengono queste cause che ne
determinano il moto.
A prima vista si potrebbe giungere alla conclusione che lo stato naturale di un corpo è
quando è a riposo, cioè quando è fermo. In effetti l’esperienza quotidiana ci dice che per
muovere un corpo lungo un certa direzione con velocità costante, occorre qualche
agente esterno che lo spinga continuamente.
Questo è semplicemente falso.
Eppure, se spingiamo una biglia su un tavolo fino a portarla a velocità costante e poi la
lasciamo andare (lasciandola quindi libera da cause che ne determinano il moto), la
biglia comincia a rallentare e poco dopo si ferma !!!
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Allora riflettiamo bene su questo punto: se per stato naturale di un corpo intendiamo
il caso in cui NON intervengono cause che ne determinano il moto, dobbiamo rimuovere
TUTTE le cause, per esempio l’attrito fra la biglia e il tavolo!
Se ripetiamo l’esperimento con un tavolo sempre più liscio, vedremo che la biglia rallenta
sempre meno. Ed è facile intuire che nel caso ideale in cui attrito 0, la biglia una volta
acquisita la velocita v e lasciata libera, non si ferma più.
Ed ecco da qui la formulazione della I Legge di Newton:
Ogni corpo persiste nel suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme
finché forze esterne ad esso non lo costringano a mutare questo stato
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Ricorderete che in sostanza avevamo già enunciato questo principio la prima lezione,
basandoci sulla nostra esperienza quotidiana (con qualche estrapolazione…)
Una biglia di 10 kg si muove indisturbata ad una data velocità costante
v
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Che cosa ci ricorda questa affermazione ? La cosa ci riporta a qualcosa che
abbiamo già studiato è cioè i sistemi inerziali. A questo proposito, abbiamo imparato che:
Se un treno è in moto rettilineo uniforme, e cioè NON è soggetto ad alcuna accelerazione,
non c’è nessun esperimento che possiamo fare a bordo che ci dia informazioni sulla velocità
del treno. E infatti, l’unica informazione che abbiamo sul fatto che il treno è in moto, ci viene
dal panorama che osserviamo dai finestrini. Se li chiudiamo, noi a tutti gli effetti
NON possiamo affermare se il treno è fermo o è in moto.
Quindi, in sostanza in natura lo stato di quiete (v=0) e lo stato di moto rettilineo uniforme
(v
= costante) hanno qualcosa in comune:
a) Lo stato permane in eterno, finché non intervengono cause esterne
b) Non ci sono esperimenti che possiamo condurre all’interno del sistema in questo stato
che ci diano informazioni sulla sua velocità.
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Il fatto che un corpo, una volta messo in movimento e lasciato libero (quindi in assenza
di forze applicate) permanga nel suo stato di moto rettilineo uniforme è spesso descritto
assegnando alla materia una proprietà definita inerzia, di cui la massa è la misura
quantitativa. (Principio di inerzia, già preannunciato da Galileo).
In tutto questo, abbiamo parlato di forze senza ancora darne una definizione. In effetti
potremmo utilizzare questa I Legge di Newton come definizione di forza: che sarebbe
quindi definita come la causa del mutamento del moto dal suo stato naturale di quiete
o di moto rettilineo uniforme, cioè la causa dell’accelerazione.
Tuttavia, a noi interessa darne una definizione quantitativa e vedremo adesso come.
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La forza
Partiamo dal concetto già enunciato affermando che per forza intendiamo
la causa dell’accelerazione.
Prendiamo arbitrariamente un oggetto come oggetto campione, libero di muoversi, per
esempio su un tavolo senza attrito. Applicandogli una forza lo accelereremo e possiamo
utilizzare l’accelerazione risultante come misura della forza. Adottiamo una «forza campione».
Supponiamo per esempio che con una molla con una certa deformazione otteniamo una
accelerazione di 1 m/s2. La forza che accelera l’oggetto campione di 1 m/s2 sarà la nostra
unità di forza:
a oggetto campione
= 1 m/s2 Unita di forza
Così una forza di 10 unità sarà quella che produce sullo stesso oggetto campione
una accelerazione di 10 m/s2 , una forza di 5 unità sarà quella che produce sullo stesso
oggetto campione una accelerazione di 5 m/s2 e così via
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La II Legge di Newton
E cosa succede se invece applichiamo una forza di 10 unità su un oggetto differente
dall’oggetto campione ? (cioè un oggetto di massa m
≠ moggetto campione)
L’esperienza della vita quotidiana ci offre una risposta qualitativa: la stessa forza produce
accelerazioni differenti su differenti oggetti. E infatti l’esperienza ci dice che un oggetto
«leggero», per esempio una palla da baseball, risulterà più accelerata di un oggetto
«pesante» per esempio un’automobile, se soggetta alla stessa forza F0.
Si osserva inoltre che l’accelerazione
F0
a che risulta dall’applicazione di una data
forza
ad un oggetto qualsiasi è comunque sempre:
a proporzionale a F0
Si possono utilizzare questi esperimenti proprio per definire la massa m di un dato oggetto
proprio in funzione dell’accelerazione a prodotta su di esso da una data forza F
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Il procedimento da utilizzare è suggerito dall’esperienza: sappiamo che per una data forza,
tanto maggiore è la massa tanto minore sarà l’accelerazione prodotta.
Infatti, consideriamo due biglie di massa m1 e m2 a riposo (m1 > m2) e applichiamo a
entrambe una stessa forza F. Notiamo che le due biglie acquistano velocità differenti
v1
<
v2 quindi hanno acquisito accelerazioni
v=0
a = dv / dt
differenti a1 <
a2
v = dx / dt
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Capovolgendo la logica, potremmo definire la massa m di un corpo in termini
dell’accelerazione prodotta da una data forza F e in particolare se m1 è la massa del
corpo 1 e m2 è la massa del corpo 2 definiamo il rapporto fra le masse come:
m1 / m2
=
a2 / a1
(per una data forza F)
Si osserva che se sostituiamo la forza F con una forza F’ il rapporto fra le accelerazioni
rimane costante:
a2 / a1
= a’2 /a’1
Cioè: il rapporto fra le masse è indipendente dalla forza F applicata nell’esperimento
Se quindi adottiamo la massa m1 come massa campione, possiamo misurare la massa
di qualsiasi altro corpo semplicemente misurando il rapporto fra le accelerazioni.
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Da tutto questo deriva la formulazione della II Legge di Newton:
F=ma
Ponendola nella forma:
a =F/m
risulta che:
L’accelerazione a prodotta da una o più forze su un corpo è proporzionale in valore (modulo)
alla risultante F delle forze lungo la sua direzione, ed è inversamente proporzionale alla
massa m del corpo.
Notiamo che la I Legge di Newton è in sostanza un caso particolare della II Legge, da cui
Se F = 0
uniforme
a=0
il corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo
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Adesso siamo quindi in grado di definire le unità di misura della forza:
Avevamo già stabilito che la nostra unità di forza sarebbe stata quella che
accelera l’oggetto campione di 1 m/s2 :
a oggetto campione
= 1 m/s2 Unita di forza
Adottando come massa campione 1kg, risulta quindi che nel sistema SI l’unità di misura
della forza, che è stata chiamata Newton (N) è di 1kg m /s2
Cioè 1 Newton è la forza che produce su una massa di 1 kg una accelerazione di 1 m /s2
Le dimensioni della forza sono pertanto
[ F ] = ML / T2
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III Legge di Newton
Abbiamo parlato di Forza e in qualche modo lo abbiamo inteso in un modo forse un
po’ astratto, come se la forza fosse una qualche grandezza fisica che esiste di per sé .
E in effetti, il concetto di «campo di forze» che introdurremo più avanti richiama questa
astrazione.
Ma in realtà NON è così.
Ogni singola forza è soltanto un aspetto della mutua interazione fra due corpi.
In particolare, la III Legge di Newton stabilisce che
se un corpo A esercita una forza su un corpo B,
il corpo B esercita su A una forza uguale e contraria.
Vediamo di capire meglio questa cosa con un esperimento
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Il lancio di una palla: la palla inizialmente è ferma, poi acquista
velocità, quindi c’è di mezzo una accelerazione, quindi abbiamo
trasmesso alla palla una forza
F = ma
In base alla III Legge di Newton: la palla trasmette
al giocatore una forza uguale e contraria
-F
Ci credete a questa affermazione ?
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Si stenta a crederci: infatti, se il giocatore riceve una forza contraria
-F, dovrebbe
subire una accelerazione dello stesso segno , dovrebbe quindi acquistare velocità
all’indietro ! Cosa che apparentemente NON succede.
Potremmo allora argomentare che il fenomeno succede, ma che essendo la massa
del giocatore molto più grande della massa della palla, l’accelerazione che ne risulta
è minima e non ce ne accorgiamo: Ricordiamoci infatti che F
F -F
E poiché
= ma
quindi: (mpalla x apalla) = (mgiocatore x -agiocatore)
mgiocatore > mpalla
risulta:
agiocatore < apalla
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Questo ragionamento è in linea di principio corretto
mgiocatore > mpalla
risulta:
agiocatore < apalla
Tuttavia, c’è di più: il giocatore è soggetto alla forza d’attrito col terreno, che
evidentemente contrasta la forza
-F .
E in più probabilmente per aumentare la sua
stabilità il giocatore usa anche delle scarpe chiodate.
In sostanza, se il giocatore è ancorato al terreno, la massa di cui dobbiamo tenere conto
e’ la massa del giocatore + il terreno, e ovviamente risulta:
mgiocatore+terreno >>>> mpalla
agiocatore+terreno 0
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Ok, tutto questo sembra ragionevole, ma allora come facciamo a fare una verifica
sperimentale della III Legge di Newton ?
Svincoliamo il giocatore dal terreno: piazziamolo su dei pattini
a rotelle e vedrete come lui rimbalza indietro
non appena lancia la palla!
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Campioni di massa e sistemi di unità di misura
Abbiamo definito l’unità di forza in base alla II Legge di Newton:
F=ma
come quella forza che genera una accelerazione unitaria ( a= 1 m/s2) quando è
applicata ad un oggetto campione, al quale abbiamo assegnato una massa unitaria.
Questo è il motivo per cui non appaiono fattori numerici nell’equazione
in questione. Questo procedimento origina i sistemi di unità di misura:
a) mks (metro, chilogrammo, secondo), attualmente adottato dal SI
b) cgs (centimetro , grammo, secondo)
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Nel sistema SI, il campione di massa è 1kg, un particolare cilindro di platino conservato
conservato all’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Parigi. La millesima parte di
questo campione è definita grammo.
Nel sistema di misura in questione (SI), l’unità di forza è la forza che accelera una massa
di 1 kg con una accelerazione di 1 m/s2 Questa unità è chiamata
1 Newton [nt] = 1kg x 1 m/s2
Quindi nel sistema SI:
F [nt] = m [kg] x a [ m/s2]
Nel sistema cgs:
F [dine] = m [g] x a [ cm/s2]
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Sia nel sistema mks che nel sistema cgs, massa, lunghezza e tempo sono grandezze
Fondamentali, mentre la forza è una grandezza derivata in base alla relazione F=ma.
In linea di principio, si potrebbe adottare un sistema in cui Forza, lunghezza e tempo
sono le grandezze fondamentali e la massa risulta una grandezza derivata in base
alla relazione
m= F/a.
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Ricapitoliamo:
Avevamo introdotto la dinamica dicendo che in sostanza, il problema della dinamica
di un corpo (per semplicità un punto materiale) è determinare come si muove
la particella, note le cause che agiscono su di essa. Quindi per esempio nel caso di
un moto unidimensionale lungo l’asse x, determinare la funzione x(t) in funzione delle
cause che agiscono sulla particella. Adesso abbiamo definito queste cause: le forze
che agiscono sulla particella, o più in generale la risultante F delle forze Fi che agiscono
sulla particella. E abbiamo definito una importante Legge:
a = F/m
Vediamo quali sono le implicazioni pratiche di questa Legge, nella risoluzione del
problema della determinazione di x(t) in funzione di F
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Le implicazioni sono molto interessanti: e si perché già in cinematica abbiamo imparato
a determinare x(t) in funzione dell’accelerazione a e quindi se possiamo scrivere
a = F/m
siamo immediatamente in grado di determinare x(t) in funzione di F
Quindi per esempio nel caso di un moto unidimensionale, dalle equazioni della cinematica
che già conosciamo:
x(t) = v0t + ½ at2
v(t) = v0 + at
Ponendo:
a = F/m
Scriveremo:
x(t) = v0t + ½ (F/m)t2
v(t) = v0 + (F/m)t
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Ovviamente, non dimentichiamo che le equazioni che abbiamo appena scritto erano state
derivate per il caso a = costante, e quindi valgono solo nel caso F = costante.
Nel caso in cui F non è costante, lo vedremo più avanti, la derivazione delle equazioni del
moto non è così semplice.
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Peso e massa
Il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitata su di esso dalla Terra, e come
tutte le forze è una quantità vettoriale. Quando un corpo di massa m è in caduta libera,
la sua accelerazione è g, l’accelerazione di gravità, e la forza agente su di esso è
In base alla II Legge di Newton
F=ma
P, suo peso.
si ha per il corpo in questione:
P=mg
In un medesimo luogo, g ha lo stesso valore. Segue da questo che il rapporto fra i pesi di
due corpi è eguale al rapporto fra le masse. Tuttavia l’accelerazione di gravità
g varia
leggermente da un punto all’altro della superfice terrestre. La differenza di peso di un corpo
in due punti della superficie terrestre (apprezzabile tramite la deformazione di una molla)
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rivela la differenza di peso. La massa al contrario è una proprietà intrinseca di un corpo.
Misure dinamiche e misure statiche di una forza
Abbiamo imparato a misurare un forza F in base a come cambia lo stato di moto di
un corpo di massa m al quale forza stessa è applicata. In sostanza abbiamo imparato
a misurare la forza attraverso la misura dell’accelerazione che essa imprime ad un corpo.
Questa è una misura dinamica.
Nel caso statico, il corpo non è soggetto ad un cambiamento del suo stato di quiete o
di moto, in quanto la risultante delle forze agenti su di esso è nulla (I Legge di Newton).
Eppure delle forze applicate possono essere presenti e occorre definire come misurarle
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Il Dinamometro
Una forza applicata al dinamometro cambia la lunghezza della sua molla.
Se un corpo da 1 kg è appeso alla molla, questa si deforma finché la sua
trazione sul corpo ne eguaglia il peso.
A questo punto possiamo indicare un segno sulla scala graduata,
corrispondente alla forza di 1 kg-peso. Analogamente possiamo tarare la
scala applicando pesi di 2kg, 3kg, etc.. In questo modo il dinamometro
risulta tarato per misurare qualsiasi forza.
Abbiamo applicato la III Legge di Newton in quanto abbiamo assunto
che la forza esercitata dalla molla sul corpo sia equale e contraria a
quella esercitata dal corpo sulla molla.
Abbiamo applicato la I Legge di Newton ponendo F = 0 (risultante
delle forze) quando a = 0
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Lezione IV – seconda parte
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ESERCIZI
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Esempio 1
Consideriamo una molla attaccata al soffitto con un peso agganciato all’estremità inferiore
in condizioni di equilibrio.
Le forze esercitate sul blocco sono la tensione della molla deformata, che
chiameremo T, che tende a innalzare verticalmente la massa, e l’azione
P, che tende ad abbassarla verticalmente.
NON vi sono altre forze che agiscono sulla massa m.
La risultante delle forze applicate è: F = T+ P. Il sistema è in equilibrio,
cioè la massa m è a riposo, quindi la sua accelerazione è a = 0.
della gravità, la forza peso
Pertanto, in base alla II Legge di Newton:
T
risulta F =
0 e quindi
T + P=0
P
F = ma,
T = −P
Pertanto, la tensione della molla è una misura esatta del peso.
Faremo uso di questo risultato in seguito per definire un
procedimento statico per misurare le forze.
Esempio 2
Si consideri un peso appeso a dei fili come in figura, e si consideri come punto materiale
il punto di unione dei tre fili.
Il punto risulta a riposo e su di esso agiscono le
tre forze indicate in figura:
FB
y
30°
45°
FA
45°
30°
x
Fc
Quesito: Supponiamo di conoscere il modulo di una di queste tre forze, come si possono
ricavare tutte le altre ?
Il punto in questione è a riposo, quindi la sua accelerazione è
a = 0.
Pertanto:
FA + FB + FC = 0
Questa equazione vettoriale può essere scritta in tre equazioni scalari equivalenti:
Per l’asse x:
FAx + FBx = 0
Per l’asse y:
FAy + FBy + FCy = 0
Per l’asse z:
FAz = FBz = FCz = 0
Cioè tutti i vettori giacciono sul piano
x-y e non hanno componenti lungo l’asse z
Dalla figura osserviamo che possiamo scrivere le seguenti relazioni:
FAx = −FA cos 30°
FAy =
FA sin
FBx =
FB cos 45°
FBy =
FB sin 45°
FCy = − FC
= −FA (√3)/2 = −0,866 FA
FA (1/2)
= 0,500 FA
=
FB (√2)/2
= 0,707
FB
=
FB (√2)/2
= 0,707
FB
30° =
FB
y
FA
= −P
45°
30°
Sostituendo queste espressioni nelle equazioni iniziali:
Per l’asse x:
FAx + FBx = 0
Per l’asse y:
FAy + FBy + FCy = 0
Si ottiene:
−0,866 FA + 0,707
0,500
FB
=0
FA + 0,707 FB −P = 0
Fc
Dato P, possiamo ricavare le altre forze!
x
Esempio 3
Studiamo il moto di un blocco di massa m lungo un piano inclinato.
a) Caso statico: Il blocco è tenuto a riposo sul piano inclinato senza attrito tramite una fune
agganciata all’estremità del piano inclinato. Le forze agenti sul blocco sono le seguenti:
y
F2
m
x
θ
0
F1 = Forza esercitata sul blocco dalla fune
F2 = Forza esercitata sul blocco dalla superficie inclinata
(perpendicolare alla superficie data l’assenza di attrito)
mg =
attrazione gravitazionale
F1
θ
mg
Quesito: Supponendo che m e θ siano dati noti del problema, calcolare F1 e F2
Poiché il blocco è privo di accelerazione, scriveremo in notazione vettoriale:
F1 + F2 + mg = 0
Al solito risolviamo il problema del trattamento del formalismo vettoriale scrivendo le
equazioni relative alle componenti dei vettori lungo gli assi di riferimento. Poiché abbiamo
scelto di posizionare il sistema di assi in modo che l’asse x coincida con il profilo del piano
inclinato, dovremo scomporre solo a forza mg nelle sue
componenti, ottenendo le seguenti equazioni scalari:
y
F2
x
F1 − mg sin θ = 0
F2 − mg cos θ = 0
Da cui si potranno ricavare F1
una volta dati θ
0
F1
e F2
em
θ
mg
Quesito: Supponendo che m e θ siano dati noti del problema, calcolare F1 e F2
Poiché il blocco è privo di accelerazione, scriveremo in notazione vettoriale:
F1 + F2 + mg = 0
Al solito risolviamo il problema del trattamento del formalismo vettoriale scrivendo le
equazioni relative alle componenti dei vettori lungo gli assi di riferimento. Poiché abbiamo
scelto di posizionare il sistema di assi in modo che l’asse x coincida con il profilo del piano
inclinato, dovremo scomporre solo a forza mg nelle sue
componenti, ottenendo le seguenti equazioni scalari:
y
F2
x
F1 − mg sin θ = 0
F2 − mg cos θ = 0
Da cui si potranno ricavare F1
una volta dati θ
0
F1
e F2
em
θ
mg
b) Caso dinamico: Supponiamo di tagliare il filo, così da eliminare a trazione della forza
F1 sul blocco.
La risultante F delle forze agenti sul blocco NON sarà più zero e quindi il blocco
acquisirà una accelerazione.
Quesito: quanto vale questa accelerazione ?
Dalla II Legge di Newton applicata alle componenti della forza risultante F si ha:
Fx = m ax
Fy = m ay
y
F2
x
Per il termine m ay potremo scrivere:
m ay = F2 –mg cos θ = 0
(equazione già scritta per il caso statico)
0
Per il termine m ax potremo scrivere:
m ax = −mg sin θ
θ
mg
Da cui: ay =
0
e ax = −g sin θ
b) Caso dinamico: Supponiamo di tagliare il filo, così da eliminare a trazione della forza
F1 sul blocco.
La risultante F delle forze agenti sul blocco NON sarà più zero e quindi il blocco
acquisirà una accelerazione.
Quesito: quanto vale questa accelerazione ?
Dalla II Legge di Newton applicata alle componenti della forza risultante F si ha:
Fx = m ax
Fy = m ay
y
F2
x
Per il termine m ay potremo scrivere:
m ay = F2 –mg cos θ = 0
(equazione già scritta per il caso statico)
0
Per il termine m ax potremo scrivere:
m ax = −mg sin θ
θ
mg
Da cui: ay =
0
e ax = −g sin θ
Esempio 4
Si consideri un blocco di massa m spinto lungo un piano orizzontale senza attrito
da una forza orizzontale R come mostrato in figura:
R
m
Sul corpo agiscono evidentemente le seguenti forze:
R = la forza orizzontale
P = la forza peso
N = la forza normale esercitata
y
N
sul blocco dalla superficie
R
m
x
P
1° Quesito: se il blocco ha una massa m di 2 kg, quale è la forza normale ?
Il blocco non esegue alcun moto in direzione verticale, cioè lungo y, quindi la sua
accelerazione
ay lungo y, è nulla e pertanto applicando la
scriveremo per la risultante Fy
II Legge di Newton,
= N-P delle forze lungo y:
Fy = m ay = 0 N-P = 0
Quindi
N = P = mg = (2 kg)
x (9,8 m/s2) = 20 kg m/s2 = 20 nt
1° Quesito: se il blocco ha una massa m di 2 kg, quale è la forza normale ?
Il blocco non esegue alcun moto in direzione verticale, cioè lungo y, quindi la sua
accelerazione
ay lungo y, è nulla e pertanto applicando la
scriveremo per la risultante Fy
II Legge di Newton,
= N-P delle forze lungo y:
Fy = m ay = 0 N-P = 0
Quindi
N = P = mg = (2 kg)
x (9,8 m/s2) = 20 kg m/s2 = 20 nt
2° Quesito: Quale forza R occorre applicare per dare al blocco una velocità orizzontale
di 4 m/s in un tempo di 2 s ?
L’accelerazione ax che deve acquisire il blocco per arrivare alla velocità richiesta ne tempo
richiesto è data dalla semplice formula
a= (v
– v0 ) / Δt
Dove:
v = 4m/s; v0 = 0; e Δt = 2s
a = (4 m/s)/ (2s) = 2 m/s2
Applicando la II Legge di Newton si ha:
R = m ax = (2kg) x 2 m/s2 = 4 nt
2° Quesito: Quale forza R occorre applicare per dare al blocco una velocità orizzontale
di 4 m/s in un tempo di 2 s ?
L’accelerazione ax che deve acquisire il blocco per arrivare alla velocità richiesta ne tempo
richiesto è data dalla semplice formula
a= (v
– v0 ) / Δt
Dove:
v = 4m/s; v0 = 0; e Δt = 2s
a = (4 m/s)/ (2s) = 2 m/s2
Applicando la II Legge di Newton si ha:
R = m ax = (2kg) x 2 m/s2 = 4 nt
Esempio 5
Un blocco di massa m1 posto su una superficie orizzontale senza attrito è tirato da una
fune attaccata ad un blocco di massa m2 sospeso ad una puleggia. Si supponga la puleggia
priva di massa e di attriti, così che il suo unico ruolo è quello di cambiare la direzione della
tensione della fune
m1
Quesito: Determinare l’accelerazione
del sistema e la tensione della fune
m2
Prendiamo in considerazione il blocco di massa m1. Le forze che agiscono su di esso
sono mostrate in figura. Il blocco sarà accelerato solo nella direzione x e quindi a1y = 0
y
N−m1g = m1 a1y = 0
Scriveremo:
N
T = m1 a1x a1x = T / m1
T
x
m1
Per determinare T consideriamo
il moto del blocco m2. Poiché sia
il blocco che la fune hanno una
accelerazione, non possiamo
P= −m1g
T
m2
P= −m2g
scrivere che T = −m2g.
L’equazione del moto per il blocco
sospeso e:
m2g − T = m2 a2y
E’ chiaro che considerando la fune inestendibile e tenendo conto del suo cambiamento
di direzione, si ha:
a1x = a2y
Quindi possiamo indicare semplicemente con a l’accelerazione del sistema e riscrivere
le precedenti equazioni:
m2g − T = m2 a
T = m1 a
Da cui risulta:
m2g − m1 a = m2 a
m2g = a (m2 + m1)
a = g m2 / (m2 + m1)
E quindi :
T = m1 m2 g / (m2 + m1)
Esempio 6
Si considerino due masse m1 e
m2
collegate da una fune che passa sopra una puleggia
priva di massa e di attriti, come in figura.
Quesito: trovare la tensione della fune e l’accelerazione delle masse
supponendo che
m2
>
m1
Se definiamo positiva una accelerazione verso l’alto,
se l’accelerazione di m1 è
a, l’accelerazione di m2 sarà −a
Se indichiamo con T la tensione della fune, le
forze in gioco agiscono come in figura:
m1
m2
y
T
x
m1g
y
T
x
m2g
Esempio 6
Si considerino due masse m1 e
m2
collegate da una fune che passa sopra una puleggia
priva di massa e di attriti, come in figura.
Quesito: trovare la tensione della fune e l’accelerazione delle masse
supponendo che
m2
>
m1
Se definiamo positiva una accelerazione verso l’alto,
se l’accelerazione di m1 è
a, l’accelerazione di m2 sarà −a
Se indichiamo con T la tensione della fune, le
forze in gioco agiscono come in figura:
m1
m2
y
T
x
m1g
y
T
x
m2g
Tenendo a mente la configurazione delle forze che abbiamo individuato:
y
T
x
m1g
y
Le equazioni del moto per m1 e m2 saranno :
T
T – m1g = m1 a
x
m2g
T − m2g = − m2 a
Combinando le due equazioni si ottiene:
m1g + m1 a = m2g − m2 a
m1g − m2g = − m1 a − m2 a
(m1 − m2) g = −(m1 + m2)a
a = −g (m1 − m2) / (m1 + m2)
a = g (m2 − m1) / (m1 + m2)
E per T si ottiene:
T = g (2m1m2)(m1+m2)
Esempio 7
Consideriamo un ascensore che si muove verticalmente con una accelerazione a.
Vogliamo calcolare la forza esercitata dal passeggero sul pavimento dell’ascensore.
Definiamo:
a > 0 se è
diretta verso l’alto
a < 0 se
è diretta verso il basso
Quindi:
se a
>0
l’ascensore si muove verso l’alto con velocità crescente in modulo
l’ascensore si muove verso il basso con velocità decrescente in modulo
se a
<0
l’ascensore si muove verso l’alto con velocità decrescente in modulo
l’ascensore si muove verso il basso con velocità crescente in modulo
In base alla III Legge di Newton, possiamo affermare che: la forza esercitata dal passeggero
sul pavimento è uguale e contraria a quella esercitata dal pavimento sul passeggero.
Indichiamo con P il peso del passeggero e con R la forza esercitata dal pavimento
su di esso, e considereremo positive le forze dirette verso l’alto.
La forza risultante è P +
scrivere che:
R per cui in base alla II Legge di Newton F = ma possiamo
R − P = ma
Dove m è la massa del passeggero e a la sua accelerazione
Per esempio se m = 60kg e
R
a = 0,05 m/s2
si ricava:
= ma + P
P
R = 60 x 0.05 + 60 = 63 kg-peso
R
(il passeggero sente di essere più pesante)
