Vettori
I vettori
I vettori sono gli oggetti matematici che costituiscono la base di
tutte le teorie fisiche.
Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi
classi. Quelle che risultano completamente definite quando se
ne conosce la sola misura rientrano nella categoria delle
grandezze scalari ;
le altre richiedono di norma un maggior contenuto informativo
vengono rappresentate dalle grandezze vettoriali.
vettori dello spazio (tridimensionale): la nostra esperienza
vettori del piano (bidimensionale))
spazi a più dimensioni e spazi astratti formati oggetti astratti
quali le funzioni.
Grandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari:
grandezze come la lunghezza, l'area, il volume, il tempo, la
temperatura, il calore specico, l'energia ….
per queste è sufficiente fornire la loro grandezza
relativamente ad una opportuna unita di misura.
Grandezze vettoriali:
sono invece lo spostamento, la velocita, l'accelerazione, la
forza, l'impulso……
I vettori
Supponiamo di voler definire con precisione la posizione finale
raggiunta da una sferetta disposta inizialmente nel punto A del
piano
se diciamo che il suo spostamento è pari ad 1
metro non possiamo individuare
univocamente la posizione in quanto
questa può trovarsi in un punto qualsiasi della
circonferenza di centro A e raggio 1 m.
Dobbiamo pertanto aggiungere delle altre
informazioni, in particolare quelle legate alla
nozione geometrica di direzione. Tracciata quindi
una retta r per A, così da rappresentare la direzione
di moto, potremo ora individuare due punti,
definiti dalle intersezioni della circonferenza con
tale retta. La posizione definitiva è descritta
adeguatamente solo se aggiungiamo in quale
verso si percorre tale retta.
I vettori
Definizione di vettore:
Un vettore nel piano (o nello spazio) è definito come
l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti, ossia di
tutti i segmenti orientati aventi la medesima direzione, verso
e lunghezza.
I vettori
Un vettore si può rappresentare come un segmento
dotato di una freccia.
Un generico vettore V dello spazio ha 3 componenti
rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali ed è indicato come
I vettori
componente di un vettore rispetto ad un sistema di coordinate
cartesiane
nel piano :
I vettori
Un vettore possiede un modulo o intensità (o norma ) che ne
rappresenta la lunghezza definibile tramite il teorema di
Pitagora.
Il modulo del vettore V è indicato con |V| e vale :
nello spazio e
nel piano
I vettori
sia c un vettore del piano definito dai due versori i e j (i j).
Se O è l'origine comune dei versori allora
Poiché sappiamo possibile una decomposizione di c nella
forma c = xi+yj vogliamo determinare il significato della coppia
di numeri reali (x; y).
Operazioni con i vettori
Esiste il vettore nullo le cui componenti sono tutte nulle e
che ha perciò modulo 0 .
Esso coincide con l'origine 0 del sistema di assi cartesiani.
Esso è :
0 = (0 , 0 , 0)
e per ogni vettore V esiste il vettore inverso -V ottenuto
moltiplicando per -1 tutte le sue
componenti per cui :
Operazioni con i vettori
Il vettore inverso di un vettore dato è quel vettore di uguale
direzione, intensità ma di verso opposto.
Dati i due vettori A e B , si definisce per
addizione l'operazione che fa ottenere come risultato il
vettore C = A + B le cui componenti sono date dalla somma
delle corrispondenti componenti :
dove i = 1, 2, 3 .
Operazioni con i vettori
L'addizione fra due vettori ha una importante
interpretazione grafica che va sotto il nome di regola
del parallelogramma.
Nel piano :
Questa regola corrisponde in fisica
alla legge di composizione delle
forze.
Operazioni con i vettori
Dati due vettori e naturale definire delle operazioni tra essi
in modo da associare a ciascuna coppia un altro vettore.
Prendendo spunto da una situazione fisica, consideriamo
una particella che inizialmente si sposti da un punto A al
punto B. Tale spostamento e rappresentato dal vettore a.
Successivamente la particella si muove da B a C e questo
ulteriore spostamento viene rappresentato da b.
Lo spostamento complessivo è dato dal nuovo vettore c.
Quest'ultimo è quello che si definisce vettore somma di a e b.
Operazioni con i vettori
Siano a, b, c tre vettori qualsiasi. Per determinare la loro
risultante
a+b+c
possiamo procedere in diversi modi.
Grazie alla proprietà associativa
a+b+c = (a+b)+c,
si procede costruendo dapprima il vettore (a + b) e quindi il
vettore risultante lo si somma a c
Operazioni con i vettori
Un'alternativa meno laboriosa e più efficace nel caso che i
vettori siano numerosi, consiste nel traslare i diversi vettori in
modo che l'origine di ognuno coincida con l'estremo del
precedente (regola del poligono). Il vettore risultante
si ottiene quindi unendo l'origine del primo con l'estremo
dell'ultimo
Operazioni con i vettori
La differenza a-b di due vettori è la somma del vettore
a con l'opposto del vettore b
Operazioni con i vettori
Dati uno scalare (numero reale) k ed un vettore A , si
definisce la moltiplicazione per uno scalare
come l'operazione che fa ottenere per risultato il vettore
B = k A le cui componenti sono date dal prodotto
di k per le corrispondenti componenti di A :
dove i = 1, 2, 3 .
Moltiplicando un vettore per k si ottiene un altro vettore
di uguale direzione, intensità moltiplicata per |k| e stesso
verso, se k è positivo, o verso opposto, se k è negativo.
Ovviamente, moltiplicando un vettore per -1 si ottiene il
vettore inverso e moltiplicando un vettore per 0 si ottiene
il vettore nullo.
Operazioni con i vettori
Operazioni con i vettori
per cui:
Operazioni con i vettori
nello spazio tridimensionale:
Operazioni con i vettori
Operazioni con i vettori
conseguenze:
ovvero:
Componenti cartesiane di un vettore
siano A(xA; yA) e B(xB; yB) le coordinate degli estremi del segmento
orientato
Componenti cartesiane di un vettore
Proprieta delle componenti cartesiane.
Le componenti del vettore AB nella base {i; j} si ottengono dalla differenza
delle corrispondenti coordinate dell'estremo B con quelle del punto iniziale
A, ossia
Il modulo di AB si deduce immediatamente applicando il Teorema di
Pitagora ottenendo
Distanza tra due punti
Componenti cartesiane di un vettore
Nello spazio tridimensionale dobbiamo definire una terna di versori i, j,
k ortogonali aventi la medesima origine O
In termini delle coordinate A(xA; yA; zA),
B(xB; yB; zB) degli estremi
del vettore si ha
Componenti cartesiane di un vettore
Prodotto scalare
Fra due vettori A e B è possibile definire due tipi di
moltiplicazione : quella scalare, che dà come risultato uno
scalare, e quella vettoriale, che dà come risultato un vettore.
Il prodotto scalare fra due vettori è definito come la somma dei
prodotti delle componenti corrispondenti ed è indicato con il
simbolo · , ovvero :
il risultato del prodotto scalare è uno scalare (cioè un numero).
Prodotto scalare
Il prodotto scalare assume l'importante significato geometrico
di essere uguale al prodotto del modulo del primo vettore per
la proiezione dell'altro vettore sulla direzione su cui giace il
primo.
Graficamente, nel piano :
Una tipica applicazione fisica del
prodotto scalare è il lavoro. Quando una
forza subisce uno spostamento vi è
lavoro ed il suo valore è appunto dato dal
prodotto scalare fra il vettore forza per il
vettore spostamento.
Prodotto scalare
.
in particolare:
.
.
Prodotto scalare
Per i versori cartesiani i, j, k è quindi
i2 = j2 = k2 = 1,
mentre per i prodotti misti si hanno
Queste ultime relazioni evidenziano come il prodotto
scalare tra versori ortogonali
(i j, i k, j k)
risulti nullo
Prodotto scalare
.
.
.
.
.
.
.
.
Prodotto Vettoriale
Prodotto vettoriale
Vogliamo definire un'operazione interna a V e quindi
dovremo associare alla coppia di vettori a e b un vettore che
simbolizzeremo come
oppure come
il risultato del prodotto vettoriale è un vettore.
Il primo problema che si incontra riguarda la direzione.
Dobbiamo costruirci una regola che, partendo dai due vettori a
e b, sia in grado di fornirci una direzione.
Prodotto vettoriale
Notiamo che, fissati a e b ed applicati allo stesso punto O,
risulta in generale (per ora escludiamo che siano paralleli)
definito un piano passante per O e gli estremi A e B di a e b
Conveniamo di assegnare a
a b la direzione
perpendicolare al piano
individuato dai due vettori:
in tal modo si ha
Prodotto vettoriale
Si tratta ora di determinare il verso. Possiamo utilizzare le
nozioni di rotazione oraria e antioraria…ma…Una tale
convenzione non sarebbe comunque soddisfacente in quanto
la nozione di rotazione oraria e antioraria dipende dal punto
di osservazione: difatti se si osserva la rotazione da punti
appartenenti a ciascuno dei due semispazi formati dal piano , si
ottengono risultati opposti.
Prendiamo invece una comune vite avvitata su una sottile
tavola di legno. Questa, solo se ruotata in un certo modo
avanza, mentre per estrarla la si deve ruotare nel verso
opposto. Un tale comportamento rimane immutato se si
guarda dall'altro lato della tavola: ancora per farla avanzare
nello stesso verso di prima bisogna ruotarla nello stesso modo.
Prodotto vettoriale
Possiamo quindi in definitiva proporre la regola per il verso
di a b :
a b possiede il verso di avanzamento di un cavatappi fatto
ruotare concordemente alla rotazione che sovrappone il
primo vettore a sul secondo b, attraverso l'angolo convesso
a< 180.
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale risulta anticommutativo ossia tale
che
Prodotto vettoriale
Prodotto vettoriale
si dimostra che:
Prodotto vettoriale
il risultato dei prodotto vettoriale può allora scriversi, per componenti, come
per cui
Proprietà del prodotto vettoriale
Proprietà associativa rispetto al fattore scalare:
Proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale
Proprietà del prodotto vettoriale
aa=0
Per dimostrare che a a = 0 si possono seguire due diverse vie. La più
sintetica fa uso della proprietà anticommutativa per cui, commutando
i fattori, dev'essere a a = - a a . Ne segue che il vettore prodotto c
è uguale al proprio opposto –c e ciò può essere vero solo per il vettore
nullo 0.
L'altra si basa sullo sviluppo del determinante
che è ora
Nota: un determinante con due righe uguali si annulla
Vettori ordinari liberi ed applicati
Un vettore applicato (o segmento orientato) dello spazio
ordinario è individuato da un punto iniziale o punto di
applicazione A e da un punto finale o secondo estremo B e
viene indicato col simbolo AB.
o punto di applicazione A
o la direzione, che è quella della retta AB;
o il verso che è quello da A a B;
o il modulo, ossia il numero reale che misura la lunghezza
del segmento AB
Vettori ordinari liberi ed applicati
Un vettore libero (o semplicemente vettore) è una classe
d’equipollenza di vettori applicati, cioè è l’insieme di tutti i
segmenti orientati equipollenti a un segmento orientato
assegnato.
Un vettore libero si può pensare come l’insieme di tutti i
segmenti orientati concordemente aventi la stessa
lunghezza e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta.
Vettori ordinari liberi ed applicati
Si definisce campo vettoriale una regione dello spazio, ad ogni
punto della quale può essere associato un vettore; campo
vettoriale è anche l'insieme di tali vettori.
I campi, in ogni punto dei quali i vettori sono uguali, si dicono
campi uniformi;
quelli in cui i vettori (pur diversi) si mantengono inalterati nel
tempo si dicono campi stazionari.
Esempi di campi vettoriali sono il campo gravitazionale, il
campo elettrico ed il campo magnetico.
