Dalla formula di Eulero si possono dedurre alcune conseguenze

Matematica Discreta
Lezione del giorno 11 marzo 2010
Abbiamo dimostrato la seguente formula di Eulero:
f = a – v +2
valida per qualunque grafo planare connesso (dove f=numero delle facce di una qualunque
rappresentazione planare del grafo, a=numero degli archi del grafo, v=numero dei vertici del grafo).
Osservazione: Notiamo che la formula di Eulero può non essere più valida se il grafo planare non è
connesso. Per esempio nella seguente rappresentazione planare di un grafo (non connesso) con v=4
vertici, a=4 archi:
1
a
b
2
3
c
d
4
il numero di facce è f=3, dunque non è valida la relazione f = a – v +2.
Esiste in effetti un Teorema più generale (di cui ometteremo la dimostrazione) che riguarda un
qualunque grafo planare (connesso o non connesso):
in ogni grafo planare con v vertici, a archi, f facce si ha
f=a–v+c+1
dove c è il numero delle componenti connesse del grafo.
Si noti che nel caso di un grafo planare connesso si ha c=1, e si ritrova la formula di Eulero.
Nell’ultimo esempio (grafo non connesso) si ha c=2, a=4, v=4, f=3 e dunque f = a – v + c + 1, come
previsto.
Dalla formula di Eulero valida per i grafi planari connessi, si possono dedurre alcune conseguenze,
che possono essere utili per costruire esempi di grafi non planari.
Ricordiamo che un grafo non orientato è detto semplice se, comunque dati 2 vertici distinti, esiste
al più un arco che li collega.
Teorema. Sia dato un grafo planare connesso e semplice. Siano poi v il numero di vertici, a il
numero di archi. Allora, se il numero di vertici v è 3, si ha:
a  3v – 6
Dimostrazione. Sia f il numero di facce di una rappresentazione planare del grafo e siano
x1,x2,…..,xf le facce del grafo. Siano poi y1,y2,…..,ya gli archi del grafo.
Consideriamo dapprima un caso banale, quello in cui vi è una sola faccia (quella infinita): in tale
caso, come visto all’inizio della dimostrazione del Teorema sulla formula di Eulero, il grafo è un
albero, si ha v=a+1 e quindi:
3v-6 = v + 2v – 6  v + 6 – 6 = v = a+1 > a
e si ha la tesi.
Supponiamo ora che oltre alla faccia infinita vi siano altre facce finite.
Costruiamo una matrice booleana con f righe e con a colonne in cui facciamo corrispondere
ordinatamente le righe alle facce x1,x2,…..,xf, e le colonne agli archi y1,y2,…..,ya: in ogni casella
della matrice, all’incrocio fra la riga i e la colonna j, poniamo il valore 1 se la faccia xi
(corrispondente alla riga i) ha nella sua frontiera l’arco yj (corrispondente alla colonna j) mentre
poniamo il valore 0 in caso contrario.
Contiamo “per righe” il numero di 1 nella matrice: in ogni riga, per costruzione, vi è un numero di
valori uguali ad 1 che coincide con il numero degli archi del contorno della faccia corrispondente
alla riga. L’ipotesi che il grafo sia semplice implica che il contorno di una faccia ha almeno 3 archi
(un contorno con 2 soli archi implica che i 2 archi uniscono la stessa coppia di vertici, contro
l’ipotesi che il grafo è semplice), quindi ogni riga ha almeno 3 valori uguali ad 1, e la somma di tali
valori per tutte le righe è dunque 3f.
Contiamo poi “per colonne” il numero di 1 nella matrice: in ogni colonna, per costruzione, il
numero di valori uguali ad 1 coincide con il numero di facce che hanno nel loro contorno l’arco
corrispondente alla colonna. Ma un arco può essere contorno di non più di 2 facce, quindi ogni
colonna ha non più di 2 valori uguali ad 1, e la somma di tali valori per tutte le colonne è dunque
2a.
Eguagliando il numero di valori uguali ad 1 contati per righe e per colonne si ottiene 2a3f ossia
f(2/3)a.
Ricavando il numero di archi a dalla formula di Eulero e sostituendo, si ottiene:
a = v + f – 2  v + (2/3)a – 2 ; 3a  3v + 2a – 6 ; a  3v – 6
cioè la tesi.
Come applicazione di tale Teorema si ha il seguente risultato:
il grafo completo semplice con 5 vertici K5 non è planare.
Infatti il grafo K5 è un grafo semplice e connesso, e se per assurdo fosse planare, per l’ultimo
Teorema dimostrato si dovrebbe avere a  3v – 6 (dove a=numero degli archi, v=numero dei
vertici), e ciò non è vero perché a=10, v=5.
D’altronde lo stesso Teorema non può aiutarci per dimostrare che il grafo dei servizi K3,3 non è
planare: infatti il grafo K3,3 (connesso e semplice) soddisfa la diseguaglianza a  3v – 6, in quanto si
ha a=9, v=6.
Nella prossima lezione dimostreremo un altro Teorema sui grafi planari, la cui applicazione
permetterà di dimostrare la non planarità del grafo K3,3 .