Lezione sui relativi

NUMERI
RELATIVI
MAPPA CONCETTUALE
INSIEMI NUMERICI
nN
N
Qa
Q
NUMERI
NATURALI
NUMERI
RAZIONALI
NUMERI
RELATIVI
DEFINIZIONI E
PROPRIETA’
DEFINIZIONI E
PROPRIETA’
DEFINIZIONI E
PROPRIETA’
OPERAZIONI CON
I NUMERI
NATURALI
OPERAZIONI CON
I NUMERI
RAZIONALI
OPERAZIONI CON
I NUMERI
RELATIVI
ESPRESSIONI
ESPRESSIONI
ESPRESSIONI
Alcune grandezze, come la temperatura, l’altitudine, le somme
di denaro, possono assumere valori opposti rispetto a uno di
riferimento. Ad es.:
+5 °C ; -8 °C ;
+300 m s.l.m. ; -50 m s.l.m. ;
+ 200 € (credito) ; -100 € (debito).
Per rappresentare queste grandezze, e per eseguire sottrazioni
in cui il sottraendo è maggiore del minuendo ( es.:10-15),
sono stati introdotti i numeri relativi che diremo positivi se
preceduti dal segno (+) e negativi se preceduti dal segno (-).
OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
Addizione
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo avente lo
stesso segno e per modulo la somma dei moduli. Es.:
(+7) + (+8) = + 15 ;
(-5) + (-4) = - 9
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo avente il
segno dell’addendo di valore assoluto maggiore e per modulo la differenza
dei valori assoluti degli addendi. Es.:
(+9) + (-5) = +4 ; (+6) + (-9)= -3
La somma di due numeri relativi opposti è zero. Es.: (+6) + (-6) = 0
Quando si devono addizionare più numeri relativi,
applicando le proprietà commutativa e associativa
dell’addizione, conviene addizionare separatamente
tutti gli addendi positivi, poi tutti gli addendi negativi
ed infine addizionare le somme parziali ottenute. Es.:
(-8) + (-2) + (+10) + (-4) + (+15) =
(+10+15) + (-8-2-4) =
(+25) +(-14) =
+11
Sottrazione
La differenza di due numeri relativi è il numero relativo che si
ottiene aggiungendo al minuendo l’opposto del sottraendo.
Es.:
(+5) – (+4) = (+5) + (-4) = +1 ;
(+6) – (-8) = (+6) + (+8) = +14
(-7) – (+5) = (-7) + (-5) = -12 ;
(-8) – (-5) = (-8) + (+5) = -3
L’addizione e la sottrazione di numeri relativi non sono operazioni
distinte e assumono l’unico nome di addizione algebrica; si
chiama somma algebrica il risultato di addizioni e sottrazioni.
Per calcolare la somma algebrica di una espressione numerica
contenente le parentesi, si possono seguire due metodi:
1)
si eseguono le operazioni all’interno delle parentesi tonde, poi
delle quadre e infine delle graffe;
2)
si applica la regola che prende il nome di scioglimento di
parentesi:
per eliminare una parentesi preceduta dal segno (+), si toglie questo
segno e le parentesi e si scrivono tutti i termini entro parentesi
ciascuno col proprio segno; per eliminare una parentesi preceduta dal
segno (-), si toglie questo segno e le parentesi e si scrivono tutti i
termini entro parentesi cambiandoli di segno.
Calcolare la seguente espressione:
13 - {-2 - [ 4- (3-5)] + 1} – 22
Primo metodo:
13 - {-2 - [ 4- (-2)] + 1} – 22
13 - {-2 - [+6 ] + 1} – 22
13 - {-8 + 1} – 22
13 - {-7} – 22
20 – 22
-2
Secondo metodo
13 - {-2 - [ 4-3+5)] + 1} – 22
13 - {-2 –4+3-5+1} – 22
13 +2+4-3+5-1– 22
13+2+4+5-3-1-22
24-26
-2
Calcolare la seguente espressione:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – (11 + 3/4)]}
Primo metodo:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 47/4]}
4 – {13/3 – [ - 161/12]}
4 – 213/12 = - 55/4
Secondo metodo:
4 – {13/3 – [ - 2 + 1/3 – 11 - 3/4)]}
4 – {13/3 + 2 - 1/3 + 11 + 3/4}
4 – 13/3 –2 + 1/3 –11 – 3/4
- 165/12 = - 55/4
Moltiplicazione
Il prodotto di due numeri relativi è il numero relativo che ha per
valore assoluto il prodotto dei valori assoluti; il segno è positivo
se i due numeri sono concordi, negativo se sono discordi.
Es. :
(+5) (+8) = +40 ;
(-6) (-7) = +42 ;
(+9) (-4) = -36 ;
(-3/4) (+3/5) = (-9/20)
Divisione
Il quoziente di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore
assoluto il quoziente del valore assoluto del dividendo per il valore
assoluto del divisore; è positivo se dividendo e divisore sono concordi
(stesso segno), è negativo se sono discordi (segno diverso).
Es.:
(+15):(+3) = (+5) ;
(-20):(-5) = (+4) ;
(+30):(-6) = (-5) ;
(-2/5):(+3/7) = (-2/5) x (+7/3) = - 14/15
Elevamento a potenza
La potenza di un numero relativo è il prodotto di più
fattori tutti uguali a quel numero.
Il numero si chiama base; il numero dei fattori si chiama
esponente.
Es.:
 23   2 2 2   8
+2 = base
3 = esponente
La potenza di un numero relativo positivo è sempre positiva; la potenza
di un numero relativo negativo è positiva se l’esponente è pari, è
negativa se l’esponente è dispari.
Es.:
(+3)4 = +81
(+4)3 = +64
(-2)3 = -8
(-2)4 = +16
(-2/3)3 = -8/27
(-2/3)2 = +4/9
Esempio n. 1
7 – [(2-5) – (-4+5-7+2)]
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
7 – [(-3) – (-4)]
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
7 – [-3+4]
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:
7 – [+1]
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:
7-1 = +6
Esempio n. 2
(19-35) + [5- (18-22)] – [13 + (12-42)]
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
(-16) + [5- (-4)] – [13 + (-30)]
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
-16 + [5+4] – [13 -30]
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi quadre:
-16 + [+9] – [-17]
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:
-16 + 9 + 17 = +10
Esempio n. 3
1  1 5  1 
5  1  1 1 4  1
        3          
6  3 9  2 
2  2  3 9 9  2
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
1  9  15  1   6  5  1   3  1  4  1
 
 
 

6  27  2  2  2  
9
 2
1  24  1  1  1   8  1
           
6  27  2  2  2   9  2
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:
1 8 1 1 1  8 1
   
 
6  9 2 2 2  9 2
24 24 : 3 8


27 27 : 3 9
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:
1 8 1 1 1 8 1
     
6 9 2 2 2 9 2
Eliminiamo i termini opposti :

8 8
 0
9 9
Ottenendo:
1 1 1 1 3  3
5
  

6 2 2
6
6

1 1
 0
2 2
Esempio n. 4
2 5  
 3 5   1   2 5  
    1          1    
3 6  
 4 2   6   3 4  
Eseguiamo le operazioni nelle parentesi tonde:
 3  10   6  1   8  15    6  4  5  

  
  

 
6
 4   6   12  
 
 7   5   7   5  
              
 4   6   12   6  
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi tonde:

7  5  7 5 
    
4  6  12 6  
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi quadre:

7 5 7 5 
   
4  6 12 6 
Eliminiamo i termini opposti :

5 5
 0
6 6
Ottenendo:

7  7
  
4  12 
Applichiamo la regola scioglimento di parentesi per eliminare le parentesi graffe:

7 7  21  7
28
7




4 12
12
12
3
FINE