Dal modello di Solow teorico al modello empirico

Modello neoclassico di crescita
esogena di R. Solow
• Equazione di stato stazionario dinamico per
l’output pro-capite
Y* 


ln    ln y *  ln A 
ln s 
ln( n  g   )
1
1
 L
Essendo
At  A0 exp( gt ), risulta
ln y *  ln A0  gt 

1
ln s 

ln( n  g   )
1
Modello empirico su crosssection/1
• Il tempo t e` fissato per tutti i paesi
ln y *  ln A0  k  1 ln s   2 ln( n  g   )
dove
k  gt

1
 2   1
1 
Modello empirico su crosssection/2
• Per passare dal modello teorico e deterministico
al modello empirico stocastico MRW(’92) fanno
le seguenti ipotesi:
1) ln A0i  a  vi , i  1,..., N
Y
2) ln    ln yi  ln yi*  ui
 L i
dove
ui ~ i.i.d .
vi ~ i.i.d .
ln yi   0  1 ln si   2 ln( ni  g   )   i ,  i  (ui  vi )
Dati sezionali: campione casuale
semplice(i.i.d.)
ln yi




ln si

 ~ i.i.d .
 ln( n  g   ) 
i


i  1,..., N
Modello empirico su crosssection/3
• MRW(’92) usano i dati tratti dalla Penn-Table costruita da Summers
e Heston(’88) che contiene dati annuali di contabilita` nazionale
• MRW guardano ai dati dal 1960 al 1985 e considerano 3 campioni di
paesi
• Il campione “Intermediate” contiene 75 paesi non produttori di
petrolio, non piccoli come popolazione nel 1960 e con qualita` dei
dati non bassa
Popolazione di interesse
• Specificazione del modello
• Separazione tra modello per la
popolazione e modalita’ di estrazione del
campione dalla popolazione
Cross-section con campionamento
i.i.d.
• Tutte le variabili sono stocastiche: i
regressori non sono fissi in campioni
ripetuti (caso diverso dai dati sperimentali
di laboratorio)
• L’ipotesi i.i.d. puo’ essere restrittiva anche
per dati sezionali !
Esempio: i dati a livello provinciale sulla
disoccupazione possono essere correlati
per province contigue.
Altri tipi di dati (campioni)/1
• Pooling di cross-sections: estraggo in istanti
temporali diversi dei campioni dalla stessa
popolazione e li metto insieme (NB: non sono gli
stessi individui della popolazione osservati piu’
volte)
E’ un campione indipendente ma non
ugualmente distribuito (perche’ le
caratteristiche della pop. cambiano nel tempo)
Altri tipi di dati (campioni)/2
• Cluster sampling (tipo di campionamento
stratificato): c’e` correlazione tra certe
unita`
Es: Alunni della stessa scuola.
Altri tipi di dati/3
• Serie temporali: l’indipendenza stocastica
e` irrealistica; anche l’uguale distribuzione
puo` venir meno se c’e` non stazionarieta`
Altri tipi di dati/4
• Dati longitudinali o panel: qui osserviamo gli stessi
individui della popolazione in istanti di tempo diversi.
Per N grande e T piccolo
 yi1 . yiT 


 wi1 . wiT  indipenden ti
c

.
c
iT 
 i1
i  1,..., N
Analisi asintotica
• Salvo casi particolari tutti i risultati sulle
proprieta` degli stimatori sono risultati
asintotici !
Modello lineare univariato e
campione i.i.d.
• Modello per la popolazione lineare nei parametri
• Regressori stocastici
y  0  1 x1   2 x2  ...   K xK  u
Condizioni necessarie e sufficienti
per la consistenza dello stimatore
OLS: caso cross-section i.i.d.
E u   0
cov x j , u   0 j  1,..., k
Condizione sufficiente affinche`tali
ipotesi siano verificate:
E u / x1 ,..., xk   E u / x   0
x vettore riga
Modello di regressione per la
popolazione
E y / x1, x2 ,..., xK   0  1 x1   2 x2  ...   K xK
Tipi di regressori
• Regressore esogeno: non correlato con
l’errore
• Regressore endogeno: correlato con
l’errore
Cause dell’endogenita`
• Omissione di variabili rilevanti correlate
con i regressori inclusi
• Errori di misura
• Simultaneita`