parte 1

Teoria dei giochi
1. Introduzione ed esempi
Slides di Teoria dei Giochi,
Vincenzo Cutello
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Cos’è la teoria dei giochi?
Da Wikipedia:
 La teoria dei giochi è la scienza matematica che
– analizza situazioni di conflitto e
– ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite
modelli,
– anche in presenza di aspetti aleatori
 ovvero uno studio delle decisioni individuali in situazioni in
cui vi sono interazioni tra i diversi soggetti, tali per cui le
decisioni di un soggetto possono influire sui risultati
conseguibili da parte di un rivale, secondo un meccanismo
di retroazione.
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Strategia
 Nei modelli della "Teoria dei Giochi", tutti
devono essere a conoscenza delle regole
del gioco, ed essere consapevoli delle
conseguenze di ogni singola mossa.
 La mossa, o l'insieme delle mosse, che un
individuo intende fare viene chiamata
"strategia".
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Pay off (vincita finale)


In dipendenza dalle strategie adottate da tutti i giocatori
(o agenti), ognuno riceve un "pay-off" (vincita finale)
secondo un'adeguata unità di misura, che può essere
positivo, negativo o nullo.
Un gioco si dice "a somma costante" se per ogni vincita di
un giocatore vi è una corrispondente perdita per altri.
–

In particolare, un gioco "a somma zero" fra due giocatori
rappresenta la situazione in cui il pagamento viene corrisposto da
un giocatore all'altro.
Per trovare la giusta strategia, è talvolta necessario
calcolare e rendere massima la speranza matematica del
giocatore, che si ottiene moltiplicando i compensi possibili
(sia positivi sia negativi) per le loro probabilità.
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Troppa matematica ?
 Modelli:
– Deterministici
– Aleatori
 Probabilità ?
 Speranza Matematica ?
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Esempio 1: In TV
Partecipate ad una nota trasmissione televisiva assieme
ad altri concorrenti. Alla fine del gioco siete rimasti in tre,
ognuno con una busta chiusa in mano. Due buste sono
vuote, la terza contiene un assegno di € 10000. Avete tre
possibilità:
 aprire la vostra busta
 Scambiarla con quella di un altro concorrente
 Oppure accettare l’offerta di € 2000 che vi è stata fatta
dall’istrionico presentatore, per la vostra busta.
Cosa fate ?
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Esempio 2: Giocando a carte
A e B giocano a carte. Entrambi mettono un euro
nel piatto per giocare. A pesca una carta a caso
che non mostra a B. Può decidere di rilanciare
mettendo un altro euro nel piatto oppure fermarsi.
B può decidere di vedere la carta, mettendo un
altro euro nel piatto oppure di lasciarla vinta ad A.
A vince in questo caso, oppure se la carta estratta
è rossa. B vince se vede e la carta estratta è nera.
Cosa fareste se foste A oppure B ? :
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Esempio 3: Fiammiferi
 Due giocatori hanno davanti due mucchietti di 5
fiammiferi ciascuno (stato iniziale)
 a turno possono levare uno o più fiammiferi ma
da uno solo dei due mucchietti (evoluzione)
 sino a quando non ci sono più fiammiferi (stato
finale)
 chi toglie l’ultimo fiammifero perde (risultato)
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Esempio 4: Il Dilemma del
Prigioniero
 Due criminali vengono accusati con prove indiziarie di
aver compiuto una rapina. Gli investigatori li arrestano
entrambi per il reato di favoreggiamento e li chiudono in
due celle diverse impedendo loro di comunicare. A ognuno
di loro vengono date due scelte: confessare l'accaduto,
oppure non confessare. Viene inoltre spiegato loro che:
– se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena;
l'altro viene però condannato a 10 anni di carcere.
– se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a 5 anni.
– se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1
anno.
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Esempio 5: Roulette Russa
 Stato iniziale: due giocatori (evidentemente pazzi) con una rivoltella
a tamburo a sei colpi ed un solo proiettile nel tamburo.
 Evoluzione: ogni giocatore mette €10 nel piatto. Se il giocatore che
deve muovere per primo decide di passare mette altri €20 nel piatto.
Se invece decide di premere il grilletto, mette €10 nel piatto e porta la
pistola alla tempia. Se sopravvive allo sparo passa la pistola all’altro
giocatore che deve agire allo stesso modo.
 Stato finale: sopravvivenza o meno dei giocatori.
 Risultato: se entrambi sono vivi si dividono il piatto. Se solo uno dei
due sopravvive si prende tutto.
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Esempio 6: Sul valore e l’utilità
dell’informazione
 Tre fratelli Simone, Francesco e Sofia indossano un cappello, che può
essere rosso o nero. Ognuno vede il cappello degli altri ma non il suo.
 Entra un quarto fratello, Fabrizio, vede che tutti hanno un cappello rosso ed
esclama: “almeno uno di voi ha un cappello rosso”.
 Fabrizio chiede quindi a Simone: “Sai di che colore è il tuo cappello?”.
Simone risponde di no.
 Stessa domanda e stessa risposta per Francesco.
 Infine, Fabrizio chiede a Sofia: “Sai di che colore è il tuo cappello?”, e lei
risponde “Ovviamente si!” e dice il colore giusto. Come ha fatto ?
Ovvero come da una informazione apparentemente irrilevante si arrivi
alla soluzione di un gioco !
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Cosa faremo (più o meno)
 Matrici di payoff e strutture ed albero
 Equilibrio di giochi in forma estesa
 Forma estesa e forma strategica.
 Giochi a somma zero .
 Equilibrio di Nash.
Lettura consigliata: Roberto Lucchetti, Di duelli, scacchi e dilemmi. La
teoria matematica dei giochi.
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