I corpi in natura
• Gli oggetti che ci circondano si presentano come aggregati di punti
materiali (sistemi di punti materiali)
• Tre stati
– Solido
– Liquido
– Gassoso
Fluidi
• (c’è anche un quarto stato (plasma) )
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Le proprietà dei corpi solidi
•
•
•
•
•
•
•
•
Corpo solido <-----> corpo rigido
In realtà i solidi sottoposti a sollecitazione subiscono delle piccole deformazioni
Molti solidi hanno una struttura cristallina, altri sono amorfi
Il fatto che le deformazioni siano piccole dipende dalla struttura cristallina e dalle forze
molto intense che mantengono gli atomi nella loro posizione all’interno del reticolo
È l’intensità elevatissima delle forze tra gli atomi che fa rassomigliare i solidi a corpi
rigidi.
Gli atomi occupano posizioni definite
all’interno della struttura
sono in continua oscillazione attorno alla
posizione di equilibrio
con una ampiezza che dipende dalla
temperatura
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F
F
I diversi tipi di sollecitazione
•
L
Trazione
– Produce un allungamento del campione
•
Taglio
– Produce lo scorrimento di una sezione del campione
sull’altra
•
a)
b) - F
F
- F c)
DL
F
DL
L
Compressione idrostatica
Sforzo
– Forza applicata diviso per la sezione del campione
•
F
DL
– La forza in questo caso agisce su tutta la superficie del
campione ed è perpendicolare alla superficie stessa
– Produce una diminuzione del volume del campione
•
-F
Compressione
– Produce una accorciamento del campione
•
F
Deformazione relativa
– La deformazione prodotta diviso per il valore della
grandezza originaria
a)
F=
-F
b) - F
- F c)
F
A
DL
L
sforzo = modulo di elaticità ´ deformazione relativa
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Il comportamento dei materiali
F=
F
DL
=E
A
L
F=
F
DL
=G
A
L
•
E = modulo di Young (trazioni o compressioni)
G = modulo di taglio (per sollecitazioni di taglio)
I moduli di elasticità, E e G, si misurano
in N/m2
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Il comportamento dei materiali
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•
•
Un tondino di acciaio da costruzione ha raggio R=9.5 mm e lunghezza L =81
cm. Una forza di modulo 6.2 x104 N lo tira longitudinalmente. Qual è lo sforzo
nel tondino?
Quanto l’allungamento e la sua deformazione?
•
La sezione del tondino è data da:
)
-6
A = pR = 3.14 ´ 9.5 ´10
= 283 ´10 m
F
6.2 ´ 104
8 N
Lo sforzo:
F= =
=
2.19
´
10
A 283 ´ 10-6
m2
2
•
(
-3 2
Applicaz
ione
•
La deformazione:
•
L’allungamento:
2
DL F 2.19 ´ 108
= =
= 0.0011
L
E 200 ´ 109
F
2.19 ´10 8
DL = L =
´ 0.81 = 0.0011 ´ 0.81 = 0.00089m = 0.9mm
E
200 ´ 109
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Risonanza
•
•
•
Per realizzare una qualunque struttura
meccanica, dalla più semplice alla più
complicata, si utilizzano corpi solidi collegati
insieme
poiché i corpi solidi hanno un comportamento
elastico, ci aspettiamo altrettanto da una
qualunque struttura meccanica.
Sottoponendo la struttura ad una sollecitazione
rapida (un impulso),
–
–
•
Fcos(w f t )
d 2xy b dx
dy k
+
+
y
x
=
dt 2 m dt m
m
Essa entrerà in vibrazione
Le vibrazioni si smorzeranno più o meno
rapidamente a causa degli attriti
Però se le sollecitazioni sono periodiche
–
•
F cos(w f t )
le vibrazioni potranno sostenersi
Per avere un’idea di quello che succede si può
studiare l’oscillatore armonico sottoposto ad
una forza variabile nel tempo.
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I fluidi
•
•
Per fluidi si intendono i gas ed i liquidi
le distanze tra le molecole sono in media più grandi rispetto ai solidi,
– le forze di interazione sono estremamente meno intense: nei fluidi le molecole sono
debolmente legate l’una all’altra
– esse non occupano posizioni predeterminate all’interno del fluido
– ma possono muoversi al suo interno.
•
I fluidi non oppongono alcuna resistenza a sollecitazioni di taglio
– Se suddividiamo in due parti il fluido con una superficie ideale è possibile far
scorrere le due parti di fluido l’una rispetto all’altra.
– Si immagini la lama di un coltello che scorre all’interno di un fluido.
•
Conseguenza:
– Se separiamo il fluido in due parti mediante una superficie qualsiasi le forze che
una parte di fluido esercita sull’altra hanno solo la componete normale alla
superficie.
– Questo vale per qualunque superficie.
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La pressione idrostatica
•
Sulla superficie immaginaria con cui abbiamo suddiviso il fluido in
due parti prendiamo una piccola area, DA, attorno al punto P
Si definisce pressione idrostatica nel punto P la grandezza scalare
attenuta facendo il rapporto della forza (normale) che una delle due
parti di fluido esercita sull’altra attraverso l’area DA, diviso per l’area
DA (eventualmente si fa il limite per DA che tende a zero) :
•
Fn
P=
DA
•
•
•
Le dimensioni
[ P] = [ Fn ][DA]-1 = [ MLT -2L-2 ]
Le unità di misura nl SI sono N/m2, che viene anche chiamata “pascal”, Pa.
Altre unità di misura della pressione:
–
–
–
Atmosfera (atm)=1 atmosfera è la pressione atmosferica al livello del mare
torr (o mm Hg) è la pressione che esercita una colonna di 1 mm di mercurio
1 bar= 105 Pa
1atm =1.013 ´10 5 Pa = 760torr
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La pressione sulle pareti del recipiente
•
Se la superficie ideale tracciata all’interno di un fluido viene sostituita da una superficie
reale
–
•
la parete del contenitore
Possiamo usare la stessa definizione per valutare la pressione sulle pareti del
contenitore
P=
•
•
•
Fn
DA
y
DA è una piccola areola attorno al punto P in cui si vuole misurare la
pressione
Fn è la forza normale esercitata dalla fluido sulla piccola porzione DA
della parete
A cosa è dovuta questa forza normale?
–
–
(
Agli urti delle particelle che costituiscono il fluido sulle pareti
Per un urto elastico su una parete liscia
)
(
1
1
m v2x + v 2y = m v' 2x +v 2y
2
2
)
v x = v' x Þ v' x = ±v x
2
2
ß
v' x = -v x
v'
F
v
x
La molecola subisce la forza F
dalla parete
Per il principio di azione e
reazione esercita sulla parete
G.M. - uguale
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una forza
e contraria.
La densità
•
Si definisce densità media del fluido
rm =
•
M
V
Si definisce densità del fluido
nel punto P
DM
r = lim DV®0
DV
– Il limite in senso “fisico”
•
I fluidi si distinguono in
– Comprimibili
– Incomprimibili
P
r=
dM
dV
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La legge di Stevino
•
•
•
•
•
•
Consideriamo in fluido incompribile
r è uniforme in tutto il volume del fluido
Consideriamo un fluido stazionario
Isoliamo idealmente una porzione di fluido racchiusa in
un cilindro di area di base A orizzontale e altezza h
(h=y1-y2)
Se tutto il fluido è stazionario, questa porzione è ferma
Applichiamo la secondo legge della dinamica
–
In particolare la sua componente verticale
P2 A - P1A - rA(y1 - y2 )g = 0
ß
P2 = P1 + r(y1 - y2 )g = P1 + rgh
•
•
•
h profondità
Punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione
Punti alla stessa pressione si trovano alla stessa profondità
–
La superficie di separazione tra l’aria e l’acqua è orizzontale
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•
A che profondità bisogna immergersi in mare perché la pressione raddoppi rispetto a
quella in superficie
•
Dalla legge di Stevino ricaviamo che la pressione alla profondità h in un
liquido conoscendo quella in superficie Po, è data da:
Applicaz
ione
P = Po +rgh
•
Vogliamo trovare h* in modo che P sia uguale a 2Po.
Po
rg
P
1atm
*
h = o =
=
rg 1.024 ´ 103 kg3 9.81 m2
2Po = Po + rgh * Þ h* =
•
Da cui:
m
h
s
1.01 ´ 10 Pa
=
= 10.05m
3 kg
m
1.024 ´ 10 3 9.81 2
5
m
•
•
Ogni 10 m di profondità la pressione aumenta di un atmosfera
Se al posto dell’acqua c’è un gas,
–
•
•
s
la densità del gas è circa 1000 volte più piccola di quella dell’acqua
Alla profondità di 10 m in un gas la pressione sarebbe cambiata solo di 1
millesimo di atmosfera
Per recipienti di piccolo volume, entro i 10 m di profondità, possiamo considerare
la pressione costante in tutto il recipiente.
P = Po + rgh
se rh ® 0
P = Po = costan
te
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La misura della pressione
•
•
Barometro
– Per la misura assoluta della
pressione atmosferica
0 = Po +rg(-h)
Manometro a tubo aperto
– Misura la differenza di pressione tra
due ambienti
– Misura relativa di pressione
P = Po +rgh
Po = rgh
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Il principio di Pascal
•
Consideriamo un fluido contenuto in un cilindro racchiuso
da un pistone mobile
Indichiamo con Pest la pressione esercitata dal pistone sul
fluido
La pressione in tutti gli altri punti sarà:
•
•
P = Pest + rgh
•
•
•
•
Supponiamo ora di variare la pressione Pest , per esempio
variando il carico sul pistone.
Sia DPest la variazione di Pest.
In tutti gli altri punti del fluido osserveremo una variazione
di pressione:
Se produco una variazione di pressione in un punto del fluido questa si ripercuote su
tutto il fluido.
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La leva idraulica
•
•
•
Consideriamo due cilindri pieni di un fluido incomprimibile (olio)
In condizioni di riposo entrambi i pistoni sono alla stessa altezza e la pressione del fluido
subito sotto i pistoni è la pressione atmosferica
Se spingiamo il pistone Ai con una forza Fi, facciamo cioè aumentare la pressione del
fluido in uno dei rami del pistone, allora la pressione aumenterà dappertutto della stessa
quantità
DP =
•
Il secondo pistone sarà quindi in grado di esercitare
sull’ambiente esterno una forza
Fo = DPAo = Fi
•
•
•
Fi
Ai
Ao
Ai
La forza risulta amplificata per un fattore pari al
rapporto tra le aree
Si osservi che lo spostamento del secondo pistone è
ridotto rispetto a quello del primo dello stesso
fattore.
Il lavoro da fare per sollevare un oggetto pesante è
sempre lo stesso
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Il principio di Archimede
•
•
•
•
•
•
La Spinta di Archimede è la forza a cui è soggetto un corpo
quando è immerso nel fluido
Consideriamo, in un fluido stazionario, la porzione di fluido
racchiusa in una superficie chiusa che riproduce perfettamente
la superficie esterna di un corpo.
Questa porzione di fluido è in equilibrio (fluido stazionario)
La risultante delle forze che la porzione di fluido all’esterno del
contorno esercita su quella all’interno del contorno è proprio
uguale al peso del fluido racchiuso all’interno del contorno.
Quando metteremo il corpo, la parte di fluido esterna al
contorno del corpo è la stessa , continuerà ad esercitare sempre
la stessa forza:
La spinta di Archimede è pari al peso della massa di acqua
spostata dal corpo
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La dinamica dei fluidi
• Due modi di studiare la dinamica dei fluidi
– Scomporre il fluido in elementi infinitesimi (particelle di fluido) e
seguirne il moto (Lagrange)
• Bisogna conoscere le forze agenti sulle particelle di fluido
– Si rinuncia alla determinazione delle evoluzione della singola particella
ma si determina come cambia la densità e la velocità di ogni punto del
fluido. (Eulero)
• L’attenzione è rivolta a capire cosa avviene in ogni istante in un particolare
punto del fluido piuttosto che seguire cosa succede ad una particella di fluido
• Tutte le grandezze usate per la descrizione dello stato di un fluido devono
esser conosciute in tutti i punti del fluido.
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La dinamica dei fluidi: considerazioni
generali
•
Il moto di un fluido può essere stazionario o non stazionario
– Si dice stazionario se le grandezze come pressione, densità, velocità punto per
punto sono costanti nel tempo. Esse possono differire da punto a punto ma fissato il
punto non dipendono dal tempo
– In generale il moto turbolento non è stazionario
•
Il moto di un fluido può essere rotazionale o irrotazionale
– Per scoprire se un moto è rotazionale si immerge una girandola in un fluido in
moto: se la girandola si mette a girare attorno al proprio asse il moto è rotazionale
(presenza di vortici): se si muove senza ruotare su se stessa il moto è irrotazionale.
•
Un fluido può essere comprimibile o non comprimibile
– Un fluido è non comprimibile se la densità non dipende dalla pressione (essa è la
stessa in tutti i punti del fluido e non varia con il tempo)
– I liquidi possono essere considerati incomprimibili, ma in alcuni casi anche i gas si
comportano come fluidi incomprimibili
•
Un fluido può essere viscoso o non viscoso
– L’attrito viscoso è quello che si manifesta quando una superficie di un fluido scorre
rispetto ad un’altra (l’abbiamo studiato come resistenza passiva: la forza di attrito
viscoso è proporzionale all’opposto della velocità.)
– Un fluido non viscoso è quello in cui l’attrito viscoso è nullo
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La dinamica dei fluidi
• Studieremo il moto stazionario e irrotazionale di un fluido non viscoso
e incomprimibile.
• Moto stazionario
– Fissato un punto del fluido la velocità del fluido in quel punto resta
costane nel tempo.
– Questo significa che ogni elemento di fluido che ad un certo istante passa
per quel punto seguirà lo stesso percorso dell’elemento di fluido che l’ha
preceduto (o che lo seguirà) (linea di corrente)
• Linea di corrente (flusso)
– La linea di corrente rappresenta la traiettoria seguita da un elemento di
fluido
– In ogni punto è tangente alla velocità posseduta dal fluido in quel punto
– Per ogni punto passa una ed una sola linea di corrente
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I tubi di flusso
• Consideriamo tutte le linee di corrente che passano per una curva
chiusa.
Q
P
A2
A1
• Queste linee di corrente delimitano un tubo di flusso, nel senso che una
particella di fluido che entra nella Sezione A1 non può uscire dalla
superficie laterale (le linee di corrente non si possono intersecare) e
deve necessaria mente uscire dalla sezione A2
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I tubi di flusso
• Indichiamo con v1 la velocità delle particelle che entrano nella sezione
A1, e con v2 la velocità delle particelle che escono dalla sezione A2 (le
due sezioni devono essere prese perpendicolari alle rispettive velocità)
Q
P
A2
A1
• Possiamo sempre suppore che le dimensioni di A1 e A2 piccole
abbastanza da poter considerare costanti le velocità in tutti i punti di A1
e di A2.
• Nell’intervallo di tempo Dt la massa che entra in A1 è data da: Dm1 = r1A1v1Dt
• Quella che esce da A2 è data da Dm2 = r2 A2v2Dt
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Portata
• In condizioni stazionarie non ci può essere accumulo di massa
all’interno del tubo (r(P)=cost)
• Se la massa non può entrare od uscire da altre parti allora Dm1 = Dm2
r1 A1v1Dt = r2 A2 v2 Dt
r1 A1v1 = r2 A2 v2
r Av = cost
• Se il fluido è incomprimibile
r1 = r2
A1v1 = A2 v2
• Dove la sezione del tubo di flusso è più grande, la velocità è più
piccola
• Av si chiama portata e si misura in m3/s
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• Ma se gli elementi di fluido subiscono una variazione di velocità vuol
dire che subiscono una accelerazione
• Se supponiamo che l’accelerazione sia dovuta a forze di pressione vuol
dire che che la pressione è più piccola dove la velocità è più grande
• Solo così la forza di pressione è diretta verso i punti in cui la velocità è
più elevata.
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L’equazione di Bernoulli
• Consideriamo un tubo di flusso com ein figura
• Il flusso sia stazionario ed irrotazionale, il fluido non viscoso e
incomprimibile
• La sezione A1 sia posta alla altezza y1
• La sezione A2 sia posta alla altezza y2
• Indichiamo con P1 la pressione che agisce sulla sezione A1 e
• P2 quella che agisce sulla sezione A2
• Indichiamo infine con v1 la velocità del fluido entrante nella sezione
A1 e v2 la velocità del fluido uscente dalla sezione A2
• Consideriamo infine la quantità di fluido contenuto nel cilindro di
sezione A1 e altezza Dl1 alla quota y1
• La forza dovuta alla pressione P1 spinge il fluido cosichè la parte di
fluido di cui al punto precedente me lo ritrovo alla quota y2 nel
cilindretto di sezione A2 e altezza Dl2
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L’equazione di Bernoulli
• La relazione energia lavoro ci dice che
DEm = Wnc
Þ Em2 - Em1 = Wnc
Þ EK 2 + EP 2 - ( EK1 + EP1 ) = Wnc
• Le forze agenti sono:
– La forza peso (conservativa)
– Le forze di pressione (non conservative)
• Ne segue
1
1
r A2 Dl2 v22 + r A2 Dl2 gy2 - r A1Dl1v12 - r A1Dl1gy1 = P1 A1Dl1 - P2 A2 Dl2
2
2
1
1
r A2 Dl2 v22 + r A2 Dl2 gy2 + P2 A2 Dl2 = P1 A1Dl1 + r A1Dl1v12 + r A1Dl1gy1
2
2
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L’equazione di Bernoulli
A2 Dl2 = A1Dl1
• Poiché il fluido è incomprimibile si avrà
• Dividendo per A2 Dl2 (= A1Dl1 ) l’equazione precedente si ottiene:
1 2
1
rv2 + r gy2 + P2 = P1 + rv12 + r gy1
2
2
• Ovvero
1
P + rv 2 + r gy = costante
2
• Che è l’equazione di Bernoulli
• Essa contiene l’equazione di Stevino nel caso stazionario v1=v2=0
P2 + rgy2 = P1 + rgy1
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Equazione di Bernoulli
• Se il tubo è orizzontale ovvero y1= y2 si avrà:
1
1
P2 + rv22 = P1 + rv12
2
2
• Che conferma la nostra intuizione: quando la velocità è più elevata la
pressione è più bassa.
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Teorema di Torricelli
• Un recipiente, contenente un liquido di densità r presenta
sulla parete un piccolo foro di sezione trascurabile rispetto
alla sezione del recipiente a profondità h dalla superficie
libera del liquido. La pressione dell’ambiente in cui si
trova il recipiente è quella atmosferica po. Determinare la
velocità con cui il fluido esce dal foro.
• Applicando la equazioen di Bernoilli tra la superficie
libera del fluido e il foro abbiamo
1
1
p2 + r v22 + r gy2 = p1 + r v12 + r gy1
2
2
superficie libera ye =h,v2 =0, p2 = po
foro y1 =0,v1 =?, p1 = po
1
1
p0 + r gh = po + r v12 Þ r gh = r v12
2
2
v1 = 2gh
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