Onde elettromagnetiche e corpo nero

Corso di Chimica Fisica II
2011
Marina Brustolon
2. Onde elettromagnetiche e corpo nero
Onde elettromagnetiche
1. Dipolo elettrico
2. Onde elettromagnetiche
3. Emissione di onde a varie temperature
4. Il corpo nero
5. La teoria di Planck
6. La quantizzazione dell’energia
Il momento di dipolo
Due cariche di segno
opposto ad una certa
distanza tra di loro sono
un dipolo elettrico. Le
linee di forza del campo
elettrico prodotto dal
dipolo sono mostrate in
figura.
+
Nella materia sono presenti momenti di
dipolo che si comportano come oscillatori.
Se la distanza tra le cariche varia nel
tempo, anche il campo elettrico dipende dal
tempo.
Secondo le equazioni di Maxwell un campo elettrico che
varia nel tempo dà origine ad un campo magnetico, e
viceversa. L’effetto del dipolo oscillante è di produrre di
un’onda elettromagnetica.
B
E
Onde elettromagnetiche

B
E
L’onda è formata da un campo elettrico e un campo
magnetico perpendicolari tra loro e che viaggiano alla
velocità della luce c = 2.99 108 m/s (nel vuoto). La
frequenza dell’onda è quella del dipolo oscillante. La
propagazione dell’onda è in linea retta nei mezzi uniformi.
La distanza tra due punti equivalenti dell’onda è la
lunghezza d’onda  .
Grandezze e unità di misura per le onde
elettromagnetiche
  2
 frequenza in Hz
 
1


c
 frequenza angolare in s-1

 lunghezza d’onda in m
 numero d’onda in cm-1
Relazione tra lunghezza d’onda e frequenza: Per misurare la frequenza
dell’onda, conto quante creste dell’onda passano in 1 secondo:
In 1 secondo passano c metri di onda. Se li dividiamo per la
lunghezza d’onda  otteniamo il numero di creste che passano
in un secondo, cioè la frequenza. Quindi la relazione tra
frequenza e lunghezza d’onda è :

c

Lo spettro elettromagnetico: tutti i
tipi di radiazione elettromagnetica
Per farsi un’idea delle lunghezze d’onda nello
spettro elettromagnetico…
Tutti i corpi contengono dipoli elettrici, che sono
soggetti a moto armonico.
Dal momento che i dipoli soggetti a moto armonico
emettono radiazione... …tutti i corpi emettono
radiazione
La frequenza della radiazione dipende dalla frequenza di
vibrazione dei dipoli.
Aumentando la temperatura aumenta anche la frequenza
di vibrazione, e quindi la frequenza della radiazione
emessa.
Per esempio, i corpi dei mammiferi, più caldi
dell’ambiente, emettono più radiazione infrarossa, che
può essere fotografata se si ha una pellicola sensibile
all’infrarosso:
Questa è una
rappresentazione in “falsi
colori” dell’intensità delle
radiazioni infrarosse: si va
dal blu al rosso man mano
che l’intensità ( e quindi la
temperatura) aumenta.
I pezzi di metallo a
temperatura ambiente
emettono radiazioni a bassa
frequenza (quindi alta
lunghezza d’onda), e quindi per
noi invisibili (li “vediamo”
perché riflettono la luce
dell’ambiente).
Ma nel metallo arroventato e quindi ad alta temperatura la
frequenza della radiazione emessa è più alta, ed è
nell’intervallo di frequenza per il quale il nostro occhio si è
evoluto, la radiazione visibile.
Si noti come la parte che si è già raffreddata e quindi è a
temperatura più bassa emette luce rossa, quella a
temperatura più alta emette luce più bianca (che quindi
contiene frequenze più alte del rosso).
Il corpo nero
• Per studiare la relazione tra l’emissione di
radiazione e la temperatura del corpo servirebbe
un materiale che assorba a tutte le frequenze (non
deve avere “preferenze” per un tipo di radiazione a
causa della sua composizione).
• Questa materiale modello viene indicato come
“corpo nero”.
• Un corpo che assorba tutte le radiazioni sarebbe
anche un emettitore ideale, cioè ad una certa
temperatura emetterebbe il massimo dell’energia
possibile a quella temperatura.
• Il corpo nero è importante per la storia della
Fisica, vedremo perché.
Il corpo nero : le misure
 max 
b
T
Legge di Wien
b =2.8978×10−3 m K
Osservazione sperimentale dell’emissione del corpo
nero. Il massimo dell’emissione si sposta a lunghezze
d’onda minori e quindi a frequenze maggiori
all’aumentare della temperatura. Infatti l’energia a
disposizione aumenta e i dipoli elettrici vibrano a
frequenze più alte.
We can use the color of hot objects to estimate their
temperatures from about 1000 K, as the peak wavelength
moves into the visible spectrum.
The tungsten filament light bulb, the
most common source of light on earth,
glows at about 2854 K.
The emission from the surface of
the sun, with its average
temperature around 5800 K, gives us
our definition of white; its peak
wavelength near 550 nm is mirrored
in the maximum sensitivity of our
eyes in the same region, reflecting
our evolutionary progress while
exposed to the light of the sun.
Il corpo nero : il modello
Come si può spiegare l’emissione del corpo nero a diverse lunghezze
d’onda?
Attorno al 1890 molti fisici studiavano l’emissione del corpo nero
e cercavano di spiegarla con un modello termodinamico.
Modello del corpo nero: dipoli
oscillanti a frequenze diverse
emettono radiazioni alla stessa
frequenza di quella alla quale
oscillano.
Basterà quindi calcolare quanti
oscillatori hanno una certa
frequenza ad una certa
temperatura usando il
principio termodinamico
dell’equipartizione dell’energia.
Il corpo nero : il risultato del modello
considerando oscillatori classici
Ogni oscillatore ad una determinata lunghezza d’onda
alla temperatura T ha, per il principio di equipartizione
dell’energia, energia kT.
L’ energia degli oscillatori tra λ e λ+d λ sarà:
dU ( )  kT  dN ( )
Numero di
oscillatori
con
lunghezza
d’onda tra λ
e λ+d λ
Calcolando il numero di oscillatori con lunghezza
d’onda tra λ e λ+d λ, Rayleigh e Jeans
trovarono:
Come si vede, al
8kT
diminuire di λ la
dU ( ) 
 d
4

densità di energia
radiante aumenta!
densità di energia radiante alla
lunghezza d’onda λ.
Il corpo nero: il calcolo classico
Rayleigh e Jeans cercarono di spiegare
teoricamente l’andamento di emissione del
corpo nero. La teoria era basata sull’ipotesi
8kT che i dipoli oscillanti potessero avere
  4 qualsiasi energia, e che la distribuzione di

energia tra di loro fosse secondo una
statistica termodinamica classica. Ecco quello
che ottennero!
E’ evidente che secondo questa teoria la densità
di radiazione prevista dovrebbe aumentare
indefinitamente al diminuire di .
Catastrofe
ultravioletta!
Quindi, a tutte le temperature i
corpi dovrebbero emettere
radiazione anche ad alta (UV) e
altissima frequenza (raggi X e )!!
Il corpo nero : il modello
considerando oscillatori classici
Dove sta l’errore ???
Il calcolo è impeccabile secondo la fisica classica, perché
è basato sui principi della termodinamica e della
meccanica classica:
Principio termodinamico: Ogni oscillatore ha energia kT,
qualunque sia la sua frequenza.
Proprietà dell’oscillatore classico: l’energia di ogni oscillatore può
essere qualsiasi perché è proporzionale al quadrato
dell’elongazione:
1 2
E  kA
2
In conclusione, secondo la teoria classica:
A seconda della temperatura, il moto di oscillazione
dei dipoli a tutte le frequenze avrà ampiezza più o
meno grande, ma non c’è nessuna restrizione che limiti
la frequenza massima dei dipoli. Quindi, anche a
temperatura ambiente, i corpi dovrebbero emettere
anche radiazione luminosa, raggi UV, raggi X ecc.
Max Planck
1858-1947
Cosa ha scoperto Planck?
Che era sbagliato
considerare che gli
oscillatori potessero
avere qualsiasi energia;
e che l’energia dipende
dalla frequenza.
Planck: gli oscillatori alla frequenza 
possono avere solo energie date da
multipli interi di h : E = nh
dove n = 0,1,2. . .e h è una costante: h = 6.62 x 10-34Js
Che catastrofe poveri Rayleigh e Jeans!
Mi è venuta un’idea: ho provato a vedere
cosa si ricavava assumendo che l’energia di
ogni oscillatore non potesse variare a
piacere ma potesse assumere solo
determinati valori che dipendono dalla
loro frequenza.
Max Planck
1858-1947
Per ogni oscillatore alla frequenza 
ho supposto che le energie possibili
fossero uguali a
E = nh , dove n = 0,1,2. . .e h è una
costante: h= 6.62 x 10-34Js
Tutti ora la chiamano
costante di Planck!
Secondo l’ipotesi di Planck, un oscillatore che
oscilli alla frequenza  può assumere energie
che siano multipli di h , e quindi l’energia minima
è:
Emin = h
Ma allora i dipoli devono fare i conti con l’energia
termodinamicamente disponibile: un dipolo con una
frequenza  alta ha bisogno per essere attivo di un’energia
minima h che è maggiore dell’energia disponibile
termodinamicamente. La conseguenza è che a
temperature ordinarie non ci sono dipoli oscillanti a
frequenze elevate, e quindi le radiazioni ad alta energia
sono assenti.
Il corpo nero 3

8hc

5

1
e hc / kT  1
mi ha procurato
il Nobel!
L’accordo con i dati
sperimentali è ora perfetto!
E’ stata
un’idea
geniale,
quasi
come le
mie
Nobel a
Planck,
1918
La quantizzazione
dell’energia
Il risultato di Planck si può esprimere in questo
modo: nel caso di oscillatori di dimensioni atomiche,
l’energia degli oscillatori non può variare a piacere
come per gli oscillatori classici.
L’energia è scambiabile solo in quanti. Per un
oscillatore alla frequenza  l’energia possibile è data
da E = nh , dove n è un numero quantico = 0,1,2. . .,
e h è la costante di Planck.
L’energia si dice “quantizzata”.
Il limite classico
Come vedremo ancora molte altre volte, la MQ non è una
teoria in contrasto con la meccanica classica.
La MQ è una teoria più generale della MC, e la
comprende. Per esempio nel caso del corpo nero
l’equazione ricavata dalla MQ spiega le leggi dell’emissione
del corpo sia alle frequenze basse che alle alte, come
abbiamo visto dal grafico.
Man mano che si considerano frequenze minori (o lunghezze
d’onda maggiori), l’espressione quantistica si avvicina alla
classica:
Si può espandere in serie l’esponenziale, e per 
8hc
1
grandi ci fermiamo al secondo termine:
  5  hc / kT
hc
hc
 e
1
hc / kT
e
 1  (1 
 ...)  1 
kT
kT
8hc kT 8kT uguale al risultato classico
 5 
 4

hc

Esercizio
Chiediamoci: se l’energia di un oscillatore secondo la MQ
è quantizzata, come mai possiamo trattare un oscillatore
macroscopico come se la sua energia fosse continua?
Consideriamo l’oscillatore classico già visto: una pallina con
massa di 100 g attaccata ad una molla elastica con costante
di forza k = 15 Nm-1.
Supponiamo che l’elongazione A sia di 4 cm. Quant’è la sua
energia calcolata secondo la MC?
1 2
E  kA
2
f x s = Joule
2
1
4
2
15(kg  m  s )( m ) 16 10 m
E
 120 104 (kg  m  s 2 )  m
2
4 cm = 4 x 10-2 m
E  1.2 10 2 J
Energia “classica”
Chiediamoci adesso: rispetto a questa energia
dell’oscillatore, quanto grandi sono i quanti ?
E = h
Abbiamo visto che   2 Hz. Quindi:
E  6.62 10
34
1
( J  s)  2(s )  1.3 10
33
J
E’ evidente che il quanto di energia è in questo caso
2
E

1
.
2

10
J
così piccolo rispetto all’energia totale
da essere non percepibile.
Quindi, l’energia è sempre quantizzata, ma per gli
oggetti classici il quanto è così piccolo da poter
considerare con ottima approssimazione l’energia come
un continuo.
Riassunto delle puntate precedenti
Meccanica classica (MC), riepilogo:
1. Moto rettilineo ed uniforme, conservazione del
momento angolare. Energia cinetica.
2. Energia potenziale, moto uniformemente accelerato.
3. Oscillatore armonico classico
4. Moto circolare classico
5. Il momento angolare e quando si conserva
Le onde elettromagnetiche: lunghezza d’onda, numero d’onda
frequenza.
Con la MC qualcosa non torna. . .il corpo nero
La quantizzazione dell’energia degli oscillatori microscopici secondo
Planck E= nh