onde2 - Sezione di Fisica

Onde 2
6 novembre 2014
Principio di Huygens
Riflessione e rifrazione, dispersione
Intensita` delle onde riflesse e rifratte
Birifrangenza, dicroismo
Legge di Malus
Propagazione delle onde
• La descrizione del moto delle onde deve render conto
dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti
– Riflessione
– Rifrazione
– Interferenza
– Diffrazione
• Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali
fenomeni
• Li dimostreremo nel caso della luce, ma le
considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni
ondulatori
2
Principio di Huygens (PdH)
• I punti che stanno su un fronte d’onda ad un istante t sono
sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il
fronte d’onda all’istante t+dt
•
•
NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza
massima nella direzione di propagazione
dell'onda primaria e decrescente
all’aumentare dell’angolo a tra tale direzione
e quella generica dell’onda elementare
Nelle trattazioni piu` accurate si introduce
quindi il fattore di obliquità f per l’ampiezza
t+dt
t
1  cos 
A   Af    A
2
3
Riflessione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• Definiamo come piano d’incidenza il piano individuato dalla
direzione dell’onda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla
superficie di separazione tra i due mezzi
• L’onda incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente)
genera un’onda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1
• La legge della riflessione stabilisce
che anche il raggio riflesso giace
sul piano d’incidenza e che l’angolo
di incidenza i e quello di riflessione
r sono uguali
r i
n
1
i
r
2
4
Riflessione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• Consideriamo un fronte d’onda O’’S’’ al tempo t0. Dopo un periodo
T, esso si sarà spostato in O’S’ e così via
• I fronti dell’onda incidente distano 1=v1T ove v1 è la velocità di
propagazione dell’onda luminosa nel mezzo 1
• Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O’,
O’’) emette onde sferiche elementari
S’’
S’
1
2
O’’
O’
O
• L’onda che viene emessa da O al tempo t0+2T è in fase con l’onda
emessa da O’ al tempo t0+T e con quella emessa da O’’ al tempo t0
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Riflessione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• L’inviluppo di queste onde sferiche è un fronte dell’onda piana
riflessa
R’’
S’’
S’
R’
1
2
r
O’’
O’
i
O
• I fronti dell’onda riflessa distano anch’essi =v1T
• Quindi O’R’=OS’= da cui segue l’uguaglianza degli angoli
r i
6
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche un’onda
rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2
• La legge della rifrazione (o di Snell, anche se scoperta da Ibn Sahl)
stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano d’incidenza e
che tra l’angolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la
relazione n2 sin t  n1 sin i
n
1
• ove, per ciascun mezzo, n e` una
costante caratteristica di valore
maggiore di 1, detta indice di
rifrazione
• L’angolo t e` minore di i se n2 > n1
n1
sin t  sin i  sin i
n2
i
Caso
n2 > n1
2
t
7
Riflessione totale
n1
• t e` invece maggiore di i se n1 > n2 : sin t  sin i  sin i
n2
• In tal caso, affinche’ il primo membro sia minore di 1, deve
accadere che
n1
n2
sin i  1
sin i 
n2
n1
• Ovvero i  arcsin n 2 n1   Q
n
2
• Cio` significa che si puo` avere un’onda
trasmessa nel mezzo con indice di
rifrazione minore solo se l’angolo i e`
minore di un angolo limite Q (o uguale, in
tal caso t = p/2)
• Se i supera tale valore non c’e` onda
trasmessa e si ha riflessione totale
Caso
n1 > n2
1
Q
8
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• Applichiamo il PdH al mezzo 2
• I fronti dell’onda trasmessa distano 2=v2T ove v2 è la velocità
di propagazione dell’onda nel mezzo 2
• Valgono le relazioni
O'R' O'Osin t
OS' O'Osin i
• Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i
fronti d’onda
2 sin t

1
1

O’’
2
R’’
 S’’
sin i
O’
R’
S’
t
i
O
9
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di
separazione tra due mezzi
• Esprimendo la lunghezza d’onda in termini di velocità
v 2 sin t

v1 sin i
• Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma
solo dalla natura dei due mezzi, quindi
 v 2  sin t  n1  const.
v1 sin i n 2
• Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la
velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due
angoli i, 
t cioè nel mezzo con indice di rifrazione
maggiore
10
Rifrazione
• Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, l’indice di
rifrazione vale 1 e la velocità vale c
c
c n
• quindi 
da cui v   c
v
1
n
• Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas)
l’indice di rifrazione
vale circa 1


• Introducendo l’indice di rifrazione relativo tra due
mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere
n2
sin t  n sin t  sin i
n1
11
Dispersione
• Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i,
l’angolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla
lunghezza d’onda) della luce
• Ciò equivale ad affermare che l’indice di rifrazione dipende
dalla frequenza dell’onda
sin t   
1
n 
sin i
• Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della
luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate
della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè
vengono ‘disperse’
• Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a
tutte le onde
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Dipendenza di n da 
• Normalmente per la luce visibile, n
e` una funzione decrescente di 
• Ne segue che l’angolo di
trasmissione t aumenta con  e
quindi per il rosso e` maggiore che
per il viola t R  tV
• Ovvero il raggio rosso e` deviato
meno di quello viola rispetto al
raggio incidente
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Ampiezza delle onde riflesse e rifratte
• Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra
le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa
• Tali relazioni sono diverse nel caso in cui l’onda sia
polarizzata nel piano di incidenza p o in direzione
perpendicolare 
Ei

E p
Er
r
i
Ei
Er
r
i
Et
t

E || 
Et
t
14
Ampiezza delle onde riflesse
• Il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico riflesso e quello
incidente è, nei due casi
E r 
sin i  t 
 Er  tg i  t 
   
  
sin i  t 
E i 
E
tg i  t 

p
i
Ei

E p
Er
r
i

Ei
Er
r
i
Et
t

E || 
Et
t
15
Intensità delle onde riflesse e rifratte
• Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di
Fresnel
2
2
2




Ir  E r  tg i  t 
Ir
Er
sin 2 i  t 
R        2
Rp        2
Ii  E i  sin i  t 
Ii p E i p tg i  t 
• Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, l’energia si
distribuisce tra l’onda riflessa e quella trasmessa, per cui i
coefficienti di trasmissione
sono
Tp 1 Rp

T 1 R

16
Angolo di Brewster
polarizzazione per riflessione
• È un caso limite che si presenta quando il campo è
polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la
condizione i+t=p/2 che comporta la divergenza del
denominatore di Rp e l’annullamento dell’onda riflessa
• L’angolo i=B corrispondente è detto angolo di Brewster
sin i sin  B
sin  B
n


 tg B
sin t
sin t
sin p /2   B 
• Se l’onda incidente non è polarizzata, essa può comunque
essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con
polarizzazione nel piano d’incidenza e l’altra in direzione
perpendicolare

• All’angolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa
e l’altra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che l’onda
riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano d’incidenza
17
Riflessione di luce non polarizzata
• Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e`
associata meta` della potenza dell’onda
• Per il fascio riflesso abbiamo
Rp  R
1
1
Pr  Prp  Pr  PRp  PR  P
 PR
2
2
2
• Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata
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Incidenza normale
• Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di
riflessione diventano (*)
i  t i 1 n i n 1
rp 


i  t i 1 ni n 1
i t
n 1
r  

it
n 1
• e i coefficienti di riflessione
n 12
Rp  R  

n 1
•
(*) per dimostrarlo
rp  lim
i 0

tg i  t 
tg i  t  i  t i  t
i t
 lim

lim

i 0
i 0
tg i  t 
i  t i  t tg i  t 
it
t
t
 i
  i

 lim
sin
i

sin
t
sin
i

sin
t




i 0
sin t
sin t
 sin i
  sin i

sin i  sin t sin i  1 n sin i n  1



sin i  sin t sin i  1 n sin i n  1
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Coefficienti di Fresnel
• In figura sono riportati i coefficienti in funzione dell’angolo di
incidenza per i due casi n1<n2 e n1>n2
•
Figura tratta da http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Fresnel
Polarizzazione
• Per un campo trasversale f, i gradi di libertà
trasversali sono due e corrispondono alle
componenti fy , fz
• Supponiamo che abbia la forma

f ( x, t )  f y 0 sinkx  t  ˆj  f z 0 sinkx  t kˆ
fy
f
fz
• Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto
armonico lungo un segmento la cui proiezione
lungo y va da -fy0 a fy0 e lungo z da -fz0 a fz0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in
fase, è detta polarizzata linearmente
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Polarizzazione
• Supponiamo che il campo f abbia forma

f ( x, t )  f 0 sinkx  t  ˆj  f 0 coskx  t kˆ
fy
f
fz
• Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio
di raggio f0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate
di p/2, è detta polarizzata circolarmente
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Birifrangenza
• Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono
otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo
diverso a seconda della direzione in cui si propaga la
luce
• Se un raggio di luce incide su una sostanza
birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio
ordinario e quello straordinario
• I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni
mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità
diverse e possono anche propagarsi in direzioni
diverse, a seconda dell’orientamento relativo tra il
materiale e l’onda incidente
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Birifrangenza
• Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per
ciascun raggio: no e ns, tenendo conto che l’indice di
rifrazione del raggio straordinario dipende dall’angolo tra
un asse caratteristico del cristallo e il campo E
• Nota:
• Per l’onda straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens,
ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma
ellissoidali
• L’inviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte d’onda e la
direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al
fronte d’onda
• La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al
raggio straordinario
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Birifrangenza
• In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i
due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta
asse ottico della sostanza
• Se la luce incide parallelamente all’asse ottico, non accade nulla di
insolito
• Se la luce incide con un certo angolo rispetto all’asse ottico, ma
perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in
direzioni diverse
• Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dell’onda, il raggio
straordinario ruota nello spazio
raggio ordinario
raggio straordinario
asse ottico
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Birifrangenza
• Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e
all’asse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a
velocità diversa
• Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che
dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza d’onda 
della luce incidente
• In una lamina a quarto d’onda, lo spessore è tale che, all’uscita dal
cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è p/2
• Una lamina a quarto d’onda permette di creare un fascio polarizzato
circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente
raggio ordinario
raggio straordinario
asse ottico
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Assorbimento selettivo
• E` il fenomeno per cui in alcune
sostanze (tormalina, erapatite)
l’assorbimento della luce dipende dalla
sua polarizzazione
• Le molecole che formano tali sostanze
sono allungate e permettono agli
elettroni di muoversi preferenzialmente
in tale direzione, assorbendo l’onda
incidente polarizzata parallelamente
asse ottico
E||
asse di
trasmissione
E
onda incidente
• La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni
non possono muoversi in questa direzione)
• Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente
parallela all’asse ottico viene eliminata e rimane solo quella
perpendicolare
• Rimane cosi’ definito un asse preferenziale del materiale,
ortogonale all’asse ottico, detto asse di trasmissione
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Polarizzazione
• Un polarizzatore a birifrangenza separa le due
componenti di polarizzazione, mentre uno ad
assorbimento ne elimina una delle due
• In entrambi i casi è possibile selezionare una delle
due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo
polarizzatore, detto analizzatore
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Legge di Malus
• Consideriamo un’onda di intensità I0,
incidente su un polarizzatore
• Supponiamo che sia polarizzata
linearmente col campo E in un piano
parallelo al polarizzatore, ma inclinato
di un’angolo  rispetto al suo asse

E
E cos
analizzatore
• Possiamo immaginare l’onda incidente come composta da
un’onda polarizzata lungo l’asse con ampiezza Ecos e un’onda
polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin
• La componente parallela passa indisturbata, mentre quella
perpendicolare viene assorbita
• L’intensità dell’onda che passa il polarizzatore è quindi
I  E 2 cos2  ovvero
I   I0 cos2 
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Legge di Malus
• Se l’onda incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo
– un’onda polarizzata parallelamente all’asse del polarizzatore
1
– con intensità uguale a metà di quella incidente
I I
2
0

polarizzatore
• Infatti per un’onda non polarizzata le due componenti sono presenti
con lo stesso peso e il polarizzatore ne elimina una
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