E - Infn

Elettrostatica
• Mentre ci è molto familiare l’interazione gravitazionale
– soprattutto la forza peso,
– ma anche attraverso il moto ordinato dei pianeti attorno al sole
• Solitamente non riusciamo a percepire direttamente le interazioni
elettromagnetiche
– ma solo attraverso gli effetti secondari da esse prodotte
– come la forza elastica, reazioni vincolari, forze di attrito, etc.
• Comunque le proprietà dell’ambra (electron) strofinata di attirare
piccoli frammenti di foglie secche era nota sin dall’antichità (~600 ac)
– ora possiamo usare pezzi di plastica, l’astuccio di una penna a sfera
– si tratta di una forza intensa, sicuramente più intensa della forza peso
– piccoli pezzi di carta vengono sollevati
• Così come abbastanza familiari sono le scariche elettriche (lampi,
fulmini) nell’atmosfera in occasione di temporali
G.M. - Edile A 2002/03
La carica elettrica
• Le interazioni
elettromagnetiche si
manifestano tra
cariche elettriche.
• Oggi sappiamo che la
carica elettrica è una
proprietà
fondamentale dei
costituenti dell’atomo
• La carica si misura in C (coulomb)
– Non è una unità fondamentale di SI
– Si definisce attraverso l’ampere, l’unità della corrente elettrica.
•
1 C è la carica che attraversa in 1 s la sezione di un conduttore percorso da una
corrente di 1 A
G.M. - Edile A 2002/03
Due tipi di cariche
• Gli elettroni
• I protoni
• I neutroni
(carica negativa q=-e)
(carica positiva q=+e)
(neutri q=0)
• In un atomo ci sono esattamente tanti elettroni quanti
protoni
– L’atomo è complessivamente neutro
– La carica non dipende dalla velocità
• La carica è quantizzata
– Ogni particella ha una carica
e=1.602x10-19
C
n  p e 
• La carica elettrica si conserva
1031
– Stabilità del protone (vita media
anni) e dell’elettrone
– La carica viene conservata anche nei processi elementari
•
I quark
neut ro


neut ro

  e e

n eutro
Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni
G.M. - Edile A 2002/03
Il comportamento dei materiali
• Conduttori
• Isolanti
•
•
Sono caratterizzati da cariche che
possono muoversi in tutto il volume
occupato dal materiale
– Acqua pura, gas non ionizzato,
materiali plastici, vetro, etc
– Materiali metallici (rame, argento,
alluminio, etc.
• Elettroni
– Soluzioni
• Ioni positivi e negativi
– Gas ionizzati
• sia elettroni, che ioni positivi, che
negativo (gas elettronegativi)
Le cariche non sono libere di
muoversi all’interno del materiale
• Semiconduttori
•
•
•
Per esempio Silicio e germanio
hanno una limitata conducibilità
elettrica
partecipano alla conduzione sia gli
elettroni che le lacune (i posti
lasciati liberi dagli elettroni
G.M. - Edile A 2002/03
L’induzione elettrostatica
•
Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli
un certo numero di elettroni
•
Se si avvicina una carica ad un conduttore
– Le cariche mobili presenti nel conduttore saranno
attratte o respinte dalla carica esterna
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La forza di Coulomb
• Struttura simile alla legge di
gravitazione universale
z
m1m 2
ur
2
r
– Forza centrale (conservativa)
– Dipendenza da 1/r2
F  G
• Cariche di segno opposto si
attraggono
• Cariche dello stesso segno si
respingono
q2
Fq 2
r
q1
y
x
Fq 1
q1q 2
1 q1q 2
F  k 2 ur 
2 ur
r
4 o r
k=8.988x109 Nm2/C2
o=8.85x10-12C2/Nm2
G.M. - Edile A 2002/03
La forza elettrostatica è molto intensa
• Calcoliamo il rapporto tra la forza elettrostatica e la forza di
gravitazione universale tra due protoni all’interno del nucleo:
FG  G
mp mp
r2
1 q pq p
FC 
4 o r 2
1 qpqp
qpqp
FC 4 o r 2
1



m pm p
FG
4

G
m
m
o
p p
G 2
r
1
1.6010 1 9 1.6010 1 9

1 2
1 1
2 7
2 7 
4  3.14 8.8510 6.67 10 1.6710 1.6710
10 3 9
40

 10
4 3.14 8.85 6.67
G.M. - Edile A 2002/03
Il principio di sovrapposizione
•
q3
Come abbiamo sempre fatto in
meccanica, se sono presenti più cariche,
q1, q2,q3,la forza complessiva su q sarà la
somma delle forze esercitate dalle singole
cariche, considerando come se ciascuna
di esse agisca da sola.
q
Fq
r
r1
q2
n
F  F1  F2  ...  Fi  ...  Fn 

i1
ri è il vettore posizione di
r1
1
q i q r  ri 
2
4 o r  ri r  ri
qi
r è il vettore posizione di q
Fq 1
x
y
r2
x
r
q1
q
r3
q1
z
z
y
Fq 
1
q1q r r 1
2
4 o r  r1 r  r1
G.M. - Edile A 2002/03
Il campo elettrico
•
•
•
•
•
•
z
Consideriamo la carica q1 nell’origine
Se andiamo a mettere la carica qp, carica di
prova
La forza elettrostatica su di essa sarà data da
qp
r
1 q1q p
F
2 ur
4o r
q1
– perché la presenza di una carica finita potrebbe
modificare la distribuzione delle cariche
– Attenzione all’operazione di limite
E  lim q p  0
Fq p
qp
y
Questa può essere scritta anche nella forma
1 q1
F  qpE
dove E 
2 ur
4 o r
E si chiama campo elettrico e rappresenta la
forza che subirebbe la carica unitaria (1 C)
messa in quella posizione.
Si preferisce definire il campo elettrico come
Fq p
x
E  lim
q p 0
F
qp
G.M. - Edile A 2002/03
Il principio di sovrapposizione per il
campo elettrico
•
•
•
Quando in una regione dello spazio
sono presenti n cariche elettriche,
q1, q2,… qi … e qn,
il campo elettrico in una qualsiasi
posizione dello spazio si può
calcolare applicando il principio di
sovrapposizione:
il campo elettrico totale è uguale
alla somma vettoriale dei campi
elettrici generati in quel punto da
ciascuna delle cariche come se
agisse da sola.
q3
z
r3
q1
x
E1
E3
E2
r
r1
y
r2
q2
E  E1  E2  ...  Ei  ...  E n 
n


i1
1
q1 r r i 
4o r  ri 2 r  ri
ri è il vettore posizione di
qi
r è il vettore posizione del punto in cui si vuole
valutare il campo elettrico
G.M. - Edile A 2002/03
Il concetto di campo e la terza legge di
Newton
•
•
Come fa la forza di reazione prevista dalla
terza legge di Newton ad essere istante per
istante uguale all’azione?
Questo va bene per le forze di contatto,
perché il punto di applicazione della forza
di azione è molto vicino a quello di
applicazione della reazione,
z
E(P' )
q1,prima
L’introduzione del campo da una soluzione
alle risposte precedenti
P'
y
– cosa succede quando le forze agiscono a
distanza?
– Come i concilia la terza legge di Newton co
il fatto che la velocità della luce è la
velocità massima per il trasferimento delle
informazioni?
•
E(P)
P
x
q1,dopo
ct
•
– La forza agente su una carica posta in P sarà •
data dal valore delcampo in quel punto per il
valore della carica.
Se la carica q1viene spostata dalla sua
posizione all’istante t
Dopo un intervallo di tempo t, solo i
punti interni alla sfera con centro nella
carira e raggio ct sapranno che la carica
si è spostata
G.M. - Edile A 2002/03
La rappresentazione del campo elettrico
• Le linee di forza:
•
•
Il campo elettrico è tangente alla linea di
forza in ciascuno dei suoi punti.
Due linee di forza non si intersecano mai
– Se si intersecassero il campo elettrico
nel punto di intersezione non avrebbe
una direzione definita
•
•
•
Le linee di forza nascono dalle cariche
positive (o all’infinito) e muoiono su
quelle negative (o all’infinito).
Il numero di linee che nascono o
muoiono è proporzionale alla carica.
La densità di linee di forza è
proporzionale all’intensità del campo
elettrico.
Linee di forza di una carica
puntiforme negativa
G.M. - Edile A 2002/03
Linee di forza generate da due cariche
puntiformi uguali ma di segno opposto
•
•
•
•
•
•
Qui la carica positiva è più vicina
di quella negativa,
Prevale l’effetto della carica
positiva
Qui le distanze delle due cariche
sono comparabili
Bisogna tener conto di entrambi i
contributi
Qui la carica negativa è più vicina
di quella positiva,
Prevale l’effetto della carica
negativa
G.M. - Edile A 2002/03
Linee di forza generate da due cariche
puntiformi uguali
•
•
•
•
•
•
Qui la carica positiva 1 è più vicina
della 2,
Prevale l’effetto della carica 1
Qui le distanze delle due cariche
sono comparabili
Bisogna tener conto di entrambi i
contributi
1
2
Qui la carica positiva 2 è più vicina
della 1,
Prevale l’effetto della carica 2
G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo del campo elettrico di una distribuzione
lineare di carica con il principio di sovrapposizione.
y
dq=dy
 y  dy
y

O
•



R

dE 
•
•
P dEx
dE
x
dEy
1 dq
1
dy

4 o r 2 4o y2  R 2
1
dy
dE x 
cos
4o y2  R 2
y 
Ex 

dE x 
y 
y 

y 
1
dy
cos 
4o y2  R 2
R distanza di P dalla distribuzione
Solo le componenti perpendicolari alla
distribuzione contribuiscono
Le componenti parallele si annullano per la
simmetria del problema
y
 y  dy
y



P
r
x

G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo del campo elettrico di una distribuzione
lineare di carica con il principio di sovrapposizione.
y
y 
dq=dy
 y  dy
y

R

y 

P dEx
x
dEy
dE

Ex 

y 
1
dy
cos 
4o y2  R 2
L’angolo  dipende dalla
tang =
posizione del tratto dy sulla
distribuzione di carica
dtang  d  y 
1 d 1
=  


dy
dy R
cos 2  dy R
•

y 

dE x 
y 

O 
Ex 
y 
 
1
dy
cos  
2
2
4 o y  R

 

2

2
y
R
Rd
y  R Rd y  R
dy 


d
2
2
cos 
R
R
2
2
2
2
 
1

y 2  R2
1 
cos
d

2
2
4 o y  R
R
4 o R

2
 cos d 
 

2

2
1  
1 
1 
sen

1  1 

4 o R 
  4 o R
2 o R
2
G.M. - Edile A 2002/03
Calcolo del campo elettrico di una distribuzione
lineare di carica con il principio di sovrapposizione.
y
•
Ricapitolando



O 

P
R
E
x
1 
E
2o R
G.M. - Edile A 2002/03
Il flusso del campo elettrico
•
•
•
Consideriamo una superficie chiusa S immersa in un
campo elettrico.
consideriamo un suo elemento infinitesimo dS
L’elemento di superficie dS, può essere rappresentato
come un vettore dS con
dS
E
– modulo:
pari all’area dell’elemento selezionato, dS.
– direzione: perpendicolare alla superficie nel punto
considerato (perpendicolare al piano tangente)
– verso:
verso l’esterno della superficie chiusa.
•
Si definisce flusso del campo elettrico E attraverso la
superficie elementare dS la seguente quantità:
E
d  E  dS
•
•
dS
Il prodotto scalare del Campo elettrico per il vettore dS
Si definisce flusso del campo elettrico attraverso la
superficie chiusa S

 E  dS
G.M. - Edile A 2002/03
Stima del flusso del campo elettrico
attraverso le linee di forza
•
Carica positiva all’interno della
superficie
– d>0 anche il flusso totale >0
dS
E
•
Carica negativa all’interno della
superficie
– d<0 anche il flusso totale <0
•
dS
Il flusso è legato al numero di linee
che entrano o escono dalla
superficie chiusa
E
•
Se la carica all’interno della superficie chiusa è
nulla
– tante linee di forza entrano tante ne escono (=0)
G.M. - Edile A 2002/03
Il teorema di Gauss
•
il flusso del campo elettrico
attraverso una superficie chiusa è
uguale alla carica totale presente
all’interno della superficie chiusa
diviso per o.


dS
E
q in t
E  dS 
o
G.M. - Edile A 2002/03
Verifica del teorema di Gauss per una
carica puntiforme
•
•
Vogliamo determinare il flusso del campo
elettrico, generato da una carica puntiforme,
attraverso una superficie sferica il cui centro
corrisponde con la posizione occupata dalla
carica puntiforme.
Il campo elettrico E in qualunque punto P della
superficie sferica e il vettore dS, l’elemento di
superficie attorno al punto P, sono paralleli
dS
E
q
1 q
E  dS 
dS
4 o r2
•
Il flusso attraverso la superficie chiusa:

E  dS 

1 q
q
dS

4 o r2
4 o

costan te
dS
r2
dS
ma 2  d
r
•
d è l’angolo solido con cui viene
vista la superficie dS dalla carica q,
in questo caso il centro della sfera.
G.M. - Edile A 2002/03
Verifica del teorema di Gauss per una
carica puntiforme
•
Sostituendo
 E  dS  
dS

1 q
q
dS
dS


2
2
4 o r
4 o r
E
costan te

q
4 o

d

q
q
4 
4 o
o
q
ango lo solido
to tale= 4
•
Questo è un punto delicato
– Nella definizione di angolo solido, l’esponente di r è esattamente 2.
– Se il teorema di Gauss risulta verificato, significa che anche l’esponente di r nella
legge di Coulomb è esattamente 2
•
Poiché anche la forza di gravitazione universale ha a stessa dipendenza da
1/r2, il teorema di Gauss è valido anche per questa forza.
– molte delle considerazioni che svilupperemo per la il campo elettrico si applicano
anche alla forza di gravitazione universale (per es. la forza gravitazionale è nulla
G.M. - Edile A 2002/03
all’interno di un guscio sferico)
Determinazione del campo elettrico con
il teorema di Gauss
s 
dq
dS
•
•
•
Carica distribuita uniformemente su una
superficie sferica (guscio sferico) di raggio R.
N.B. Il teorema di Gauss da solo non è in
grado di determinare alcunché, sono
necessarie ulteriori informazioni, per esempio
quelle derivanti dalla simmetria presente nel
problema.
In questo caso la simmetria del problema ci
dice che:
– Il campo elettrico in P è diretto lungo la
congiungente il centro della distribuzione di
carica con P
– L’intensità del campo elettrico sarà la stessa
per tutti i punti a distanza r dal centro della
distribuzione
•
Scegliamo come superficie chiusa a cui
applicare il teorema di Gauss una superficie
sferica passante per P con centro coincidente
con quello della distribuzione di carica
(raggio r)
q
q

2
Sto t 4R
s
R
P
r
E
punto in cui si vuole determinare il
campo elettrico
G.M. - Edile A 2002/03
Determinazione del campo elettrico con
il teorema di Gauss
•
Per le osservazioni precedenti, per ogni
elemento di superficie dS
dS
– Il campo elettrico è parallelo a dS
– Il modulo del campo elettrico è lo stesso in
tutti i punti della superficie sferica
E
s
R
P

E  dS 
E p arallelo
a dS

EdS
E
il mo dulo del
camp o elettrico
E è co stan te

dS
 E4r 
2
q
o
r
E
superficie to tale
della sfera
2
= 4 r
1 q
E
4 o r 2
punto in cui si vuole determinare il
campo elettrico
il guscio sferico, per i punti esterni, si comporta come se la carica q
fosse puntiforme concentrata al centro della distribuzione stessa
G.M. - Edile A 2002/03
Guscio sferico: punti interni al guscio
•
•
•
Tutte le considerazioni fatte nel
caso precedente sono tuttora valide
Ora però la carica all’interno della
superficie di Gauss è nulla
Quindi
 E  dS   EdS
E p arallelo
a dS
•
 dS
E
il modulo del
camp o elettrico
E è co stante
s
R
 E4r  0
2
superficie to tale
della sfera
2
= 4 r
P
r
E
il campo elettrico nei punti interni
alla distribuzione di carica è nullo.
E
E
1 q
4 o r 2
punto in cui si vuole determinare il
campo elettrico
Superficie di Gauss, raggio r.
E=0
R
r
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione sferica uniforme

•
•
Per i punti esterni, ci ritroviamo
nelle stesse condizioni del guscio
sferico:
Il campo elettrico, per punti esterni
alla distribuzione di carica, è
uguale a quello di una carica
puntiforme, pari alla carica totale,
posta al centro della distribuzione
1 q
E
4 o r 2

dq
dV

q

Vto t
q
4 R3
3
R
P
r
E
punto in cui si vuole determinare il
campo elettrico
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione sferica uniforme

•
dq
dV

q

Vto t
q
4 R3
3
Per i punti interni, solo la carica
all’interno della superficie di Gauss
va considerata
– I gusci esterni alla superficie di
Gauss non contribuiscono al campo
elettrico in P
q
 4 3
R
3
 q in t 
 E  dS   EdS
E
il mo dulo del
camp o elettrico
E è co stan te
 43 r3
 dS
q
4
3
r
3
4
3
R
3
r3
q 3
R
R
r
P
E
3
q r
 E4r 
 o R 3 punto in cui si vuole determinare il
superficie to tale
della sfera
2
= 4 r
q r
E
4 o R 3

2
campo elettrico
E
E
R
1 q
2
4 o R
r
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione rettilinea uniforme
•
La simmetria del problema in questo caso ci permette
di affermare

– Il campo elettrico non può avere una componente
parallela alla distribuzione
• Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la
distribuzione
• Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione
rettilinea di carica

h
dq
dL
q in t  h
r
– Nel piano perpendicolare
• è diretto radialmente
• tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere
la stessa intensità del campo
– Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata
lungo la distribuzione di carica
•
Usiamo come superficie di Gauss una superficie
cilindrica
–
–
–
•
•
Concentrica con la distribuzione di carica
Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r)
Di altezza arbitraria h
Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS)
Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante)
 E  dS 
 E dS
Basi
0
E è p erp endicolare adS


EdS  E
Sup erficie
laterale


 E dS 
Sup erficie
laterale
dS  E2rh 
Sup erficie
laterale
2 rh
h
o
1 
E
2
G.M. - Edile
A 2002/03
o r
Distribuzione piana
•
In questo caso la simmetria del problema ci
consente di affermare
dq
s  dS
– Il campo elettrico non può avere alcuna
componente parallela alla distribuzione
• Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla
distribuzione piana
– L’intensità del campo elettrico non può dipendere
dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma,
eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P
dalla distribuzione.
– Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti
simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto
alla distribuzione
P
r
E
r
G.M. - Edile A 2002/03
Distribuzione piana
•
Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro
dq
s  dS
– con l’asse perpendicolare alla distribuzione di
carica
q in t  sA
– di area di base arbitraria A
– di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto
P dalla distribuzione
– simmetrico rispetto alla distribuzione
•
Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo
– E è perpendicolare a dS
•
Sulle basi E è parallelo e concorde con dS

E  dS 

E  dS 
Basi

E  dS
Sup erficie
laterale


EdS  E
Basi

dS  E2A 
Basi
2A
sA
o
0
E è p erp endicolare adS
•
•
Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno
dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica
Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica
s
E
2 o
G.M. - Edile A 2002/03
Doppia distribuzione piana
•
Consideriamo due piani paralleli carichi
– con densità +s e -s rispettivamente
– A distanza arbitraria d tra di loro
•
•
•
Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti
dello spazio con il principio di
sovrapposizione
Applicando Gauss abbiamo determinato il
valore del campo elettrico per ciascuna delle
due distribuzioni
Il campo elettrico complessivo si otterrà
sommando i valori dei ottenuti quando
ciascuna distribuzione agisce separatamente



s
2o



s
2o
s
2o


E0 



s
2 o






s
o


E0
G.M. - Edile A 2002/03
Moto di cariche in un campo elettrico
•
•
•
Consideriamo un campo elettrico uniforme
realizzato mediante due distribuzioni uniformi
piane di carica, diretto lungo l’asse y
Consideriamo una carica q che si muove con
velocità v lungo l’asse x
F  qE
La particella subisce una forza
y
-- - - - - - - - - - v
+ + + + + + + + + +
– Supponendo q positiva la forza sarà diretta come
il campo elettrico
– Per q negativa avrebbe avuto verso opposto
x
L
F  qE  ma
Applicando la seconda legge di Newton
Proiettando lungo gli assi e tenendo
moto


0

ma
x  vt
x 
uniforme
conto delle condizioni iniziali (xo=0,

yo=0, vox=v, voy=0)
 

motouniformente
1 qE 2
• Il moto è simile al moto del
qE  ma y 
y

t

accelerato

2
m
proiettile (traiettoria parabolica)
•
Questa tecnica viene
L
*
*
Tempo impiegato a percorrere la zona
utilizzata per deflettere gli
L  vt  t 
in cui è presente il campo elettrico
elettroni negli oscillografi
v
•
•
Deflessione all’uscita dal campo
elettrico
y
1
2

qE
t
m
* 2
2 •
2

1
2
qE L 

m v 
1
2
qEL
mv 2
o per deflettere gocce di
inchiostro nelle stampanti a
getto di inchiostro
G.M. - Edile A 2002/03