Capitolo_2_Campo_e_potenziale_elettrostatico

ELETTROMAGNETISMO
Punto di arrivo: Equazioni di Maxwell (vuoto)
  E  ρ/εo
B
E  
t
B  0
E
  B   o εo
 o J
t
Statica: E , B COSTANTI
E , B comportamento distinto
  E  ρ/ε o
E  0
 B  0
  B  oJ
Elettrostatica
Magnetostatica
ELETTROSTATICA
Effetti sperimentali: forze attrattive/repulsive
Carica elettrica: strofinamento panno con
Vetro – carica vetrosa (+)
Resina – carica resinosa (–)
FORZE
+
(–)
+
(–)
+
–
Ugual segno
: REPULSIVA
Segno opposto : ATTRATTIVA
PROPRIETA’ DELLA CARICA
ELETTRICA
• si può trasferire per conduzione da un
punto ad un altro di un corpo conduttore
• si può trasferire per conduzione da un
conduttore ad un altro conduttore
• si conserva
• è quantizzata:
qmin = qe = 1.6e -19 Coulomb (C)
Conduttori
Isolanti
Conduttori: induzione elettrostatica
+
+
+
+
conduttore
neutro
+
-
+
+
+
+
+
Carica totale indotta = 0
Si ha solo una ridistribuzione
Conduttori: induzione elettrostatica
conduttore
neutro
La carica indotta sparisce se
si elimina carica inducente
LEGGE DI COULOMB (1785)
Cariche puntiformi q1 q2
F21
F12 
r12
q2
1
4 pe
o
q1
q 1 q 2 rˆ12
2
r12
F12
 - F 21
Ugual segno
: REPULSIVA
Segno opposto : ATTRATTIVA
eo= 8.85x10-12 F/m – S.I. (C2/ N m2)
1/4peo=
9x109
m/F – S.I.
(F=Faraday)
Considerazioni geometriche sul calcolo di F
y
y
F12
q1
r12
x
F21
F12 
x
x1-x2
q2
1
4pe
o
q 1 q 2 ^r12
r122
 - F 21
F12 : su q1 da parte di q2
(F12 ) x  F12 Cos( x )
(x1  x2 )
Cos( x ) 
r12
1 q1q2 ( x1  x2 )
(F12 )x 
4peo
r123
r12  (x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  (z1  z 2 ) 2
Considerazioni geometriche sul calcolo di F
y
y
q1
r12
x
F21
q2
F12
x
Analogamente per y:
(F12 ) y  F12 Cos( y )
( y1  y2 )
Cos( y ) 
r12
1 q1q2 ( y1  y2 )
(F12 ) y 
4peo
r123
Analogamente per z:
(F12 ) z  F12 Cos( z )
Con più cariche
q1, q2, q3.. qj .
S
q1 q j rˆ1j
F1 TOT. 

4pe o j 1 r12j
1
VETTORIALE
q3
F12
q1
F13
q2
F1 TOT
(F1 TOT ) x   F1j x   F1j Cos( 1j x )
j 1
j 1
(F1 TOT ) y   F1j y   F1j Cos( 1j y )
j1
j1
(F1 TOT ) z   F1j z   F1j Cos( 1j z )
j1
j 1
Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/20003
25 Settembre 2003
Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo
Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10
cm. Una piccola carica di prova positiva e valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro
della configurazione a quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova
1
nel punto C.e(0  8.85  10 -12 C 2 Nm 2
)
 9 10 9 Nm 2 C 2
4pe 0
+Q2
-Q2
q
C
L
-Q2
-Q2
IL CAMPO ELETTRICO
Fp2
rp2
q2
Fp 2 
1
q2 q p
4pe 0 rp22
E
Fp 2
qp
rˆ p 2
qp
1
q2
ˆ

r
p2 q p
2
4pe 0 rp 2
1
q2
rˆ2 p

2
4pe 0 rp 2
CAMPO ELETTROSTATICO
prodotto da q2 dove è qP
Più in generale:
Fp 2
E(r) 
qp
1 q2 rˆ

4πeo r 2
P1
r12
q2
E (r12)
qp
P3
r32
E(r32)
ovvero:
Fq
E(r )  lim
q 0 q

Fq (r )  qE(r )
[E] = V/m (N/C)
IL CAMPO ELETTRICO GENERATO
DA UNA CARICA PUNTIFORME q
1 q
ˆ
E(r) 
r
4πeo r 2
q positiva
Fq p  Eq p
Con più cariche q2, q3.. qj si avrà:
E TOT ( P1 ) 
1
4pe o

q j rˆ1j
r12j
j
E2
q3
q2
E3
ETOT
Principio di sovrapposizione
Si consideri un sistema di due cariche puntiformi, ognuna di carica con modulo
Q = +1 C fissate agli estremi di un segmento lungo L = 1 m. Calcolare il campo
elettrico nel punto C, centrale e a distanza d = 2 m dal segmento.
Q
L
Q
d
C
Modulo di Fisica 3 A.A. 2002/20003
25 Settembre 2003
Si consideri un sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica
con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici di
un quadrato di lato L = 10 cm. Una piccola carica di prova positiva e
valore q = 1 nC è posta nel punto C, centro della configurazione a
quadrato. Calcolare: la forza esercitata sulla carica di prova nel punto C.
+Q2
-Q2
q
C
L
-Q2
-Q2
CAMPI ELETTRICI DA DIVERSE
DISTRIBUZIONI DI CARICA
_
+
+
_
Composizione vettoriale dei campi da ciascuna
carica in ogni punto dello spazio
+
_
dipolo elettrico
+
+
Distribuzione continua di carica in volume V
dq
 ( x, y, z ) 
dV
P1
r
V
rˆ
dE1 
dV
2
4peo r
dV
1
 ( x, y , z )
E1 
1
rˆ
r
4peo V
2
dV
Più in generale:
rˆ
Er  

dV
2

4pe 0 V r
1
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
F12
q 1 q 2 rˆ12

4pe o
r122
Forza centrale
1
.
q1
FCoul
FCoul
P
.
q1 dl
P1
r1
r
.
O
q2
1 q1q2 rˆ
LCoul.   FCoul. dl  
 dl
2
P1
4peo r
r1
r
P
r̂
dl
dr
rˆ dl  dr
1 q1q2 dr q1q2  1 1
LCoul  

  
2
4peo r
4peo  r1 r 
r1
r
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
.
q1
FCoul
P
FCoul
.
q1 dl
P1
r1
r
.
O
q2
q1q2  1 1
LCoul 
    U r1  U r 
4peo  r1 r 
Energia potenziale
Quindi:
il campo elettrostatico E(r)
è conservativo
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
.
q1
FCoul
P
FCoul
.
q1 dl
P1
r1
r
.
O
q2
se non ci sono altre forze in gioco:
LCoul
1
1
2
2
 U r1  U r   mv2   mv1 
2
2
cioè:
q1q2  1 1 1
1
2
2
    mv2   mv1 
4peo  r1 r  2
2
LAVORO ESEGUITO DAL CAMPO ELETTRICO
altrimenti:
LCoul  Lext
1
1
2
2
 mv2   mv1 
2
2
quindi, nel caso in cui:
1
1
2
2
T  mv2   mv1   0
2
2
segue che:
Lext
q1q2 1 1 
  LCoul 
  
4peo  r r1 
ENERGIA ELETTROSTATICA DI
SISTEMA DI CARICHE
.
q1
FCoul
.
q1 dl
P1
r1
FCoul
P
r
.
O
q2
q1q2  1 1
LCoul 
    U r1  U r 
4peo  r1 r 
Costruiamo la distribuzione cariche con q1
inizialmente all’infinito:
r1
∞ ; U(∞)=0
∞ ; U(∞)=0
r1
LCoul   Lext
Lext
q1q2  1

   Ur 

4peo  r 
1 q1q2
 U r  
4peo r
U(r) è pari al lavoro che una forza esterna
Fest = - F Coul compie contro l’azione della
forza del campo per portare q1 da distanza
infinita a distanza r.
.
Fest = - FCoul  0
q1
r =
Fest = - FCoul
Fest = - FCoul
.
q2 r
.
q1

1 q1q2 dr
1 q1q2
U (r)  

2
4peo r
4peo r
r
U(r) è quindi pari al lavoro che compie
una forza esterna Fest per costruire la
distribuzione di carica q1 q2 (a distanza r)
.
q1 iniziale
r =
finale
q2
.
r
.
q1

q1q2
U r    FC  dl 
4pe 0 r
r
1
U(r) è anche pari al lavoro che compie la
forza del campo FCoul per “distruggere” la
distribuzione di carica q1 q2 ri-portando q1
all’infinto
.
q1 finale
r =
.
iniziale
q1
r
q2
.
Per il principio di sovrapposizione
con più cariche q1, q2, q3:
1 q1q 2
U12 
4peo r12
1 q2 q3
U23 
4peo r23
1 q1 q3
U13 
4peo r13
UTOT  U12 U13 U23  LEst TOT
Sistema discreto di cariche : q1, q2… qj
U TOT 
U TOT
1
4pe o
qi q j

rij
tutte coppie
di cariche
1 1

2 4pe o
q 
i
i
j i
qj
rij
ESERCIZIO
Si consideri il sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna di carica
con modulo Q = 2 C e con segno come in figura, fissate ai vertici
di un quadrato di lato L = 1 m senza la carica di prova. Calcolare
l’energia elettrostatica del sistema di cariche.
+Q 1
-Q 2
L
-Q 4
+Q 3
IL POTENZIALE ELETTROSTATICO
2 cariche
puntiformi q, qp
U (P) 


P
qp
P
r
q
F Coul.  d l  q p


P
E  dl
Lavoro compiuto dal campo per portare qp
da P all’infinito
allora definiamo:
U
V(P) 

qp


P
E  dl
è il lavoro compiuto da E per portare
una carica unitaria da P all’infinito
V   Volts
 J /C
per una carica puntiforme:
V(P), E(P)
P
r
q
1 q rˆ
E( P) 
4peo r 2
dalla:
V(P) 


P
E  dl
segue:

1 q
1 q
V(P)  
dr 
2
4peo r
4peo r
r
e segue:
V()  0
Potenziale di una carica
positiva puntiforme
1 q
V(P) 
4peo r
V()  0
+
V=cost
^E
Superfici equipotenziali
Sistema
cariche
puntiformi
E(P) 
V(P)
2
j
o j
rj
qj

4pe
r
P
r2
q2
qj rˆj
1
r1
q1
1
4peo
qj
r
j
j
Sistema continuo di carica
r
P
dV
 ( x, y , z )
E(P) 
1
4peo V
rˆ
1 
dV V(P) 
dV
2

r
4peo V r
ESERCIZIO
Si consideri solito sistema di quattro cariche puntiformi, ognuna
di carica con modulo Q2 = 2 C e con segno come in figura,
fissate ai vertici di un quadrato di lato L = 10 cm senza la carica
di prova. Calcolare: a) il potenziale elettrostatico nel punto C
+Q2
-Q2
C
L
-Q2
-Q2
IMPORTANTE
dalla proprietà di U(P):
q
Pf
qp Pi
abbiamo che:
LCoul Pi  P f   U ( Pi )  U ( P f )
ricordando la definizione:
U
V(P) 

qp


P
E  dl
otteniamo:
LCoul.   qV  qVi  Vf 
LEst  q V  q V f  Vi 
E ANCORA:
dalla definizione di V(P):
V(P) 


P
E  dl

V( r ) 


r
E  dl
segue che:
 V  V(P f )  V(P f ) 

Pi
P
E  dl  
f
Pf
P

P
E  dl 
f

P
E  dl 
i
E  dl
i
in generale:
 V AB  V( B )  V( A )  
B
A
ci sarà utile in seguito
B
A E  d l
ESERCIZIO
Due cariche puntiformi positive Q = 10-4 C sono disposte ad una
distanza d = 1 m. Calcolare il lavoro eseguito dalla forza coulombiana
spostando una carica q = 10-6 C dal punto mediano dell’asse al punto B a
distanza R = d da una delle due cariche.
B
q
R
d
Q
A
Q
PROPRIETA’ E OPERATORI
DI CAMPO
1) Operatore gradiente
U ^ U ^ U ^
grad (U ) 
i
j
k
x
y
z
scalare
vettore
Operatore nabla
(“vettore” ?)
 ˆ  ˆ 
ˆ
  i
 j k
x
y
z
grad(U)
  U
Prodotto algebrico “vettore nabla” - scalare
IMPORTANTE
dalla definizione di V(r):
V(P) 


P
E  dl

V( r ) 


r
E  dl
segue:
E   V
V
V
V
Ex   ; Ey   ; Ez  
x
y
z
E(r) è un campo vettoriale
V(r) è un campo scalare
IMPORTANTE
dalle definizioni:
V(P) 


P
E  dl

V( r ) 
E   V
segue che:
dove E = 0
¨ V = cost.
•
E(r) = 0
V = cost.


r
E  dl
Superfici equipotenziali
V=cost
^E
+
V=cost
^E
+
_
dipolo elettrico
_
+
+
d
_
p
Es: molecola d’ acqua
p
-+1
- - +8-- -+1
- polare
--
Momento di dipolo
p=qä
Dipolo elettrico in un campo
elettrico “esterno”
Caso E uniforme:
F+q
F-q
-q
U  pE
ä
+q
E
U minima quando p // E
Ftot= 0
τ pE
Coppia meccanica che
“allinea” p a E
Le molecole polari in liquido (acqua)
vengono allineate da un campo E esterno
RIEPILOGO ELETTROSTATICA
definizioni:
F12 
1
4pe
o
q 1 q 2 rˆ12
r122
lim
F
E(P ) 
qp  0 qp
V( r ) 


r
E  dl
E     Vr
E è conservativo
LCoul.   LEst   qV  qVi  Vf 
+
d
_
Momento di dipolo
p=qä
RIEPILOGO: formule operative
1 q
V(r) 
4peo r
1 q
E(r) 
rˆ
2
4πeo r
E(r) 
qj rˆj
1

4pe
r
o j
E(r) 
1
4pe 
oV
U TOT 
1
4pe o
V(r) 
2
j
rˆ
dV
2
r
V(r) 
qj
1
4peo
r
1


j
4peo V r
j
dV
qi q j

tutte coppie
di cariche
rij
LCoul.   LEst   qV  qVi  Vf 
V  
Pf
P
i
τ pE
E  dl