Triangoli e parallelogrammi

GEOMETRIA
TRIANGOLI E
PARALLELOGRAMMI
CONGRUENZA DEI
TRIANGOLI
E SUE CONSEGUENZE
FIGURE CONGRUENTI
• Due triangoli sono congruenti se esiste un
moviemnto rigido con il quale essi possono
essere sovrapposti in modo da coincidere.
• Questo movimento farà coincidere i vertici,
i lati e gli angoli del primo triangolo con i
vertici e gli angoli corrispondenti del
secondo triangolo.
C
A
C1
B
B1
A1
ABC A1B1C1  AB  A1B1,
AC A1C1,
lati omologhi o corrispondenti
BC C1B1,
A A1,
B B1,
angoli corrispondenti
C C1
Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente
congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa).
Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.
•
PROPRIETA’
• L’inverso di un teorema è una proprietà
PRIMO CRITERIO DI
CONGRUENZA
• Se due triangoli hanno rispettivamente
congruenti due lati e l’angolo tra loro
compreso, essi sono congruenti.
• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti
stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a
lati congruenti sono opposti
angolicongruenti.
C
A
C1
B
B1
•
IPOTESI: AC A1C1
AB  A1B1
CABC1A1B1 angolo
lato
lato
•
TESI: ABCA1B1C1
triangolo
A1
Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i
due angoli sono uguali.
DIMOSTRAZIONE
(verifica sperimentale)
• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1
• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,
anche le due semirette (lati dei triangoli) si
sovrapporranno.
• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che
contiene A1C1.
• AB si sovrappone ad A1B1.
• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,
Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro
che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.
• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.
• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.
TEOREMA
• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono
congruenti.
C
IPOTESI: ACBC
TESI: CABCBA
A
E
B
DIMOSTRAZIONE
• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.
• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:
CE in comune
CA CB per ipotesi
ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice
•
I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno
3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.
Il triangolo ACE  CBE, quindi l’angolo CAB  ABC,
C.V.D.(come volevasi dimostrare)
ANGOLI SUPPLEMENTARI
•
1.
Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono
congruenti tra loro.
Angoli supplementari di uno stesso angolo.
i due angoli supplementari sono uguali
π-

π-
π-
2.
Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro.
a
b

o
a1
b1

o
Angoli   
Anche gli angoli supplementari π -   π -  saranno congruenti
PROPRIETA’
•
Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono
congruenti.

1.
2.
+ +
- -



TEOREMA
•
Angoli opposti al vertice sono congruenti
A

B

O
Angolo AOB
Da dimostrare   
1.
 e  sono supplementari dello stesso angolo AOB
π- AOB= 
π- AOB= 
per la definizione di angoli supplementari
2.
ππ
AOB  AOB
π-AOB  π- AOB

perché sono differenze di angoli congruenti
SECONDO CRITERIO DI
CONGRUENZA
•
Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso
congruenti, essi sono congruenti.
C
C1
D
A
B
IPOTESI:
Angolo A  A1
Angolo B  B1
TESI:
Triangolo ABC  A1B1C1
A1
AB A1B1
B1
DIMOSTRAZIONE
per assurdo
• IPOTESI: vera
• (Nego la TESI) non TESI: vera
• Se ottengo una contraddizione o un
assurdo…non potendo essere vera la non
TESI, non TESI: falsa
• Vuol dire che la TESI è vera
• TESI: vera
DIMOSTRAZIONE
1. IPOTESI: lato AB  A1B1
angolo CAB  C1A1B1
angolo ABC  A1B1C1
TESI: triangolo ABC  A1B1C1
2.
Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1
ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversi
ACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro;
esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD  A1C1
Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:
AB  A1B1 per ipotesi
CAB  C1A1B1 per ipotesi
AD  A1C1 per costruzione
Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza.
I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:
angolo ABD  A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.
•
3.
4.
Angolo CBA  C1B1A1
ABD  A1B1D1
per la proprietà transitiva della congruenza.
Ma angolo ABD  CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte
di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC.
Resta dimostrata la verità della TESI.
C
C1
D
A
B
A1
B1
2° TEOREMA DELL’ANGOLO
ESTERNO
•
1.
E’ UNA PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI
In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei
due angoli interni ad esso “non adiacenti”.
2.
La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è
congruente ad un angolo piatto.
- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°.
se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno
congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli
congruenti)
Pag. 79 n° 17
• IPOTESI:
ABC triangolo
DAC angolo esterno
• TESI:
angolo DAC  angoli CAB + ACB
• DIMOSTRAZIONE:
Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna all’angolo
CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse
formano:
- gli angoli corrispondenti DAH e ABC  per la proprietà delle rette
parallele.
Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano:
- gli angoli alterni interni HAC e BCA  per la proprietà delle rette
parallele.
Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC  CBA + ACB
perché somme di angoli congruenti.
LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI
UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180°
• La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un
triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18):
- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono
complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo;
- In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente
alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del
triangolo equilatero;
- Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente
congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti;
per differenza di angoli congruenti.
Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato
2° CRITERIO
GENERALIZZATO
• Due triangoli aventi rispettivamente
congruenti un lato e due angoli qualsiasi,
purché ugualmente disposti, sono
congruenti.
1° CRITERIO DEL
TRIANGOLO ISOSCELE
• Sapendo che un triangolo ha 2 angoli
congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1°
criterio
2° CRITERIO DEL
TRIANGOLO ISOSCELE
• Sapendo che un triangolo ha 2 lati
congruenti, il triangolo è isoscele, per
definizione
2^ PROPRIETA’ DEL
TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele la bisettrice
dell’angolo al vertice è pure altezza e
mediana relativa alla base.
3^ PROPRIETA’ DEL
TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele la mediana alla base
è pure altezza e bisettrice al vertice.
4° PROPRIETÀ DEL
TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele l’altezza relativa
alla base è anche mediana e bisettrice
dell’angolo al vertice.
SOMMA DEGLI ANGOLI
INTERNI DI UN POLIGONO
• La somma degli angoli interni di un
poligono convesso è congruente a tanti
angoli piatti quanti sono i lati del poligono
meno 2.
CONGRUENZA DI 2
TRIANGOLI RETTANGOLI
Per essere congruenti devono avere:
1. un cateto  : secondo il 1° criterio
2. un cateto e l’angolo acuto adiacente  : per il 2°
criterio
3. L’ipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criterio
generalizzato
4. un cateto e l’angolo acuto opposto: per il 2°
criterio generalizzato
5. L’ipotenusa ed un cateto
PARALLELOGRAMMO
• È un quadrilatero avente i lati opposti
paralleli
PROPRIETA’ DEL
PALALLELOGRAMMO
• In ogni parallelogrammo:
1. Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in
2 triangoli congruenti
2. I lati opposti sono congruenti
3. Gli angoli opposti sono congruenti
4. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono
supplementari
5. Le due diagonali hanno lo stesso punto medio
CRITERI DEL
PARALLELOGRAMMO
•
1.
2.
3.
4.
In ogni parallelogrammo:
Se le diagonali hanno lo stesso punto medio
Se i lati sono congruenti
Se gli angoli opposti sono congruenti
Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono
supplementari
5. Se ha due lati opposti congruenti e paralleli
PROPRIETA’ DEL QUADRATO
E DEL RETTANGOLO
• Parallelogramma avente 4 angoli retti
PROPRIETA’ DEL QUADRATO
E DEL RETTANGOLO
• Le diagonali sono congruenti
• Il centro è equidistante dai vertici
CRITERIO DEL
RETTANGOLO
• Un parallelogramma, avente le diagonali
congruenti, è un rettangolo