Diapositiva 1

Grandezze Fisiche: dirette
“La fisica è una scienza sperimentale”
Una grandezza fisica ha significato se e solo se è possibile misurarla.
Pertanto occorre definire:


un campione
un metodo di misura per confrontare la grandezza con il campione.
Pertanto il campione deve essere:


Accessibile ed invariabile
Nel 1889 è stato istituito l’organo internazionale “La conferenza
Generale dei Pesi e Misure”.
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1
Sistema Internazionale, SI


7 grandezze fondamentali
 Lunghezza [L]
 Massa
[M]
 Tempo
[T],
 Corrente elettrica
 Temperatura
 Intensità luminosa
 Quantità di materia
metri (m)
kilogrammi (kg)
secondi (s)
ampere (A)
kelvin (K)
candele (cd)
moli (mol)
Più due supplementari
 Angolo
 Angolo solido
radianti (rad)
steradianti (sr)
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2
SI multipli e sottomultipli








deca
hetto
kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Esa
10
100
103
106
109
1012
1015
1018
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da
h
k
M
G
T
P
E








deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
d
c
m
m
n
p
f
a
3
Unità di misura della lunghezza
Il metro ha cambiato diverse volte definizione nel corso della sua esistenza

Rivoluzione francese (nascita)
 1 m = la decimilionesima parte della distanza tra il Polo Nord e
l’equatore lungo il meridiano terrestre passante per Parigi
 1889: il primo campione internazionale
 1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio, posta
alla T = °C.

1960
 1 m = 1 650763,73 volte la lunghezza d’onda della luce rossaarancione emessa da una lampada di 86Kr. Precisione inferiore a 1
parte su 109

1983
 1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di
tempo pari a 1/(299 792 458) secondi
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4
Unità di misura del tempo
Qualsiasi fenomeno ripetitivo può essere usato con misura del tempo:
il secondo
 Prima del 1960 il campione tempo era definito in termini del giorno solare
medio: 1 s = 1/86400 del giorno solare medio
 Gli orologi al quarzo si basano sulla vibrazione periodica di un cristallo di
quarzo eccitata da un campo elettrico. Precisione di 1 s su 200 000 anni;
 Dal 1967 il secondo viene definito usando la frequenza caratteristica di
radiazione emessa da un atomo di cesio: come il tempo richiesto a una
radiazione emessa ad un atomo di cesio-133 per compiere: 9 192 631 770
oscillazioni. Precisione di 1 s / 20 milioni di anni.
Fig. 1.3
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Unità di misura delle masse
Massa: il chilogrammo kg.
 Il campione del kg è conservato all’International Bureau di Pesi e Misure di
Servres: costituito da un cilindro di platino iridio e mantenuto ad una
temperatura di 0 °C.
 Le masse di altri corpi si confrontano usando una bilancia a bracci uguali
con una precisione di 1 parte su 108
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Analisi Dimensionale

Le grandezze corrispondenti ai campioni di unità fondamentali sono anch’esse
fondamentali. In meccanica:




massa, M
lunghezza L,
tempo, T
Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate da quelle
fondamentali attraverso “relazioni” che legano ciascuna grandezza a quelle
fondamentali

la velocità allo spazio percorso ed al tempo impiegato è data da
d
v


L’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s
t
Ad ogni grandezza misurata o calcolata si associa una dimensione:
È sempre utile effettuare l’analisi dimensionale dell’espressione ottenuta!!!
equazione dimensionale [v] = [d][t] -1 = [L][T] -1
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Altre grandezze derivate

aree
Triangolo: 1/2 base x altezza
 Parallelogramma: base x altezza
 Cerchio: p x raggio al quadrato
Le dimensioni
[S] = [L2]
L’unità di misura il m2.
Il campione: un quadrato di lato 1 m.





Volumi
Parallelepipedo:Area di base x altezza
 Sfera: 4/3 p x raggio al cubo
Le dimensioni
[V] = [L3]
L’unità di misura il m3.
Il campione: un cubo di spigolo 1 m.




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Richiami di trigonometria
q
r
y
senq 
r
x
cos q 
r
y senq
tan q  
x cos q
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y
r
q
x
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Relazioni trigonometriche
2
2
sen q  cos q  1
sen     sen cos  cos  sen
cos     cos  cos  sen sen
Meno utilizzate:
2
2 
cos


cos

sen
cos2  cos2   sen 2 
2
2



sen2  2sen cos 
sen  2sen cos
2
2
 

sen  sen   2sen
cos
2
2


sen  sen   2sen
cos
2
2
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Formule di
bisezione
Formule di
prostaferesi
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I Vettori
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Grandezze scalari e vettoriali
 Grandezza scalare: univocamente determinata dal suo modulo ed unità di
misura (il volume (V), la temperatura (T), la pressione (P)..etc)
 Grandezza vettoriale: univocamente determinata dal modulo, direzione e verso

(la velocità (v, opp. v) l’accelerazione (a), la forza (f), la quantità di moto (p), etc..)

A
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
B
A e B sono due vettori uguali: se
paralleli, cioè stessa direzione e verso, e
con stesso modulo.
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Operazione con vettori: somma
  
c  a b
Regola del parallelogramma:
  
c  a b

a
Somma delle componenti

b
c x  a x  bx
c y  a y  by
c z  a z  bz
 L’operazione di somma è commutativa!!
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   
a b  b a
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Operazione con vettori: differenza
 

   
c  a b  a  b
Sottrarre un vettore b ad a equivale a sommare al vettore a il vettore opposto di b
ossia -b
  
c  a b
  
c  a b

b
  
c  a b

a

b
Regola del parallelogramma
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Componenti di un vettore
Le componenti di un vettore A si ottengono proiettando il vettore su due o
più rette che non siano parallele fra loro.
Se le rette sono orientate come gli assi di un sistema di coordinate
cartesiane, le proiezioni si chiamano componenti cartesiane del vettore.



j

Ay
 

A  Ax  Ay
Nel piano
y

A

A  A  Ax2  Ay2

Ax

i
x
  tan
1
Ay
Ax
Ax  Acos 
Ay  Asen 
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I versori




A  Ax i  Ay j  Az k

k
Az
O
Ay

j

A

i
Ax
y
Versore: vettore di modulo unitario
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Prodotto di un vettore per uno scalare
Sia k un numero reale qualunque

kA


kA  k A
 
 

kA

kA
x
y
 k  Ax 
 k  Ay 
k=2

j
y

A

2A

i
x
La direzione non cambia!!
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Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori a e b è una grandezza scalare!!
 
a  b  ab cos 
 Si può ottenere moltiplicando a per la proiezione
di b nella direzione di a oppure, come prodotto di b
per la proiezione di a su b

b


a

b

b



a
 In coordinate cartesiane:

a
 
a  b  axbx  a y by  az bz
 È commutativo
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   
a b  b  a
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Prodotto vettoriale

 
a b
Il prodotto vettoriale di due vettori a e
b è una grandezza vettoriale!!
 
a b
 Modulo
 
a  b  absen

b

 Direzione: ortogonale al piano definito da a e b

a
 Verso: di avanzamento di una vite che ruota concordemente ad a che si sovrappone a b
 Non è commutativo:
 In coordinate cartesiane:
 
 
a  b  b  a
Ax  a y bz  a z by
Ay  a z bx  a x bz
Az  a x by  a y bx
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Prodotto scalare e vettoriale: casi particolari
f = 0°

a
 
a  b  absen0  0
 
a  b  ab cos 0  ab
 
a  b  absen90  ab
 
a  b  ab cos 90  0
b


a
f = 90°

b

f = 180°
a

b
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 
a  b  absen180  0
 
a  b  ab cos180  ab
20
La cinematica
Descrive il moto in termini di spazio e tempo,
indipendentemente dalle cause del moto.
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21
Coordinate spaziali

Punto materiale: corpo privo di dimensioni ovvero con dimensioni
trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui può muoversi o degli altri
corpi con cui può interagire.

Sistema di riferimento: la posizione di un punto P è univocamente
determinata da una, due o tre coordinate se su una linea, nel piano o nello
spazio, rispettivamente. Un sistema di coordinate consiste in:


Un punto di riferimento fisso O, detto origine
Un insieme di assi, ciascuno con scala di misura
z

Sistema di coordinate cartesiane:
P (xpyp,zp),
zp
O
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x
xp
yp
y
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Coordinate spaziali
Coordinate polari: la posizione di P è individuata rispetto ad O dalla
distanza dall’origine al punto P e dagli angoli q e 
z
x p  rsen q cos 
P
q
y p  rsen qsen
r
O

y
z p  r cos q
x
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Spostamento & distanza percorsa
 Una particella che assume posizioni diverse P1, P2..in istanti successivi t1, t2,..è in
moto.
 L’insieme delle posizioni occupate nel moto costituisce la traiettoria.
 Lo stato di moto e la forma della traiettoria sono relative al sistema di riferimento
dal quale viene osservato il punto materiale.

r
z
P1

r1
s
P2

r t 

r2
O
y
x




r t   xt i  y t  j  z t k
individua la posizione del punto nel tempo
  
r  r2  r1
r spostamento del punto nell’intervallo di tempo t. Non coincide con
la lunghezza s dell’arco P1P2 effettivamente percorso dal punto.
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Velocità media
Definiamo velocità media: il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo t
  

r r2  r1
vm 

t
t
Unità di misura:
 Può essere sia negativa che positiva a
seconda del segno dello spostamento
[v] = L T-1 = m s-1

 r1
z
 P1
r t 

r1
 Non dipende dal particolare percorso
seguito
 È la pendenza della retta che congiunge
Pinziale a Pfinale
vm2
P2

r2

r3
O
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P3

r2
vm3
 La
descrizione
del
moto
è
insoddisfacente  vedi la posizione
occupata in t intermedio!!
Per intervalli sempre più piccoli il
vettore spostamento cambia in modulo e
direzione, così come il vettore velocità
media.
25
Velocità istantanea
 Quanto più si riduce l’ampiezza degli
intervalli di tempo t tanto migliore è la
descrizione del moto!
 Al limite per t  0 la pendenza della
retta
congiungente
Pfinale-Piniziale
approssima la tangente la curva in P



r dr
vt   lim t  0

t dt
Si definisce Velocità istantanea in P
Se il sistema di riferimento è fisso, in coordinate cartesiane:


 dx  dy  dz 


d 
vt  
xi  yj  zk 
i
j
k
dt
dt
dt
dt
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Accelerazione media ed istantanea
Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia:
 accelerazione media nell’intervallo di tempo t finale – t iniziale:

 
v

v

v
finale
iniziale
am 

t
t finale  tiniziale
 l’accelerazione istantanea:
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[L][T] -2 = m/s2




v dv d 2 r
a (t )  lim t 0

 2
t dt dt
27
Determinazione del moto: 1 dimensione
Possiamo passare dal vettore allo scalare..
v
t
dv
a
 dv  adt   dv   adt
dt
v0
t0
v
t
v0
v  v 0   adt
t0
t
a0
a  cost
v  v 0  cost
v  v 0  at
t
Moto uniformemente
accelerato
Moto rettilineo uniforme
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Determinazione del moto: 1 dimensione
x
v
t
t
d
x  dx  vdt   dx   vdt
dt
x0
t0
x  x 0   vdt
t0
a  cost
v0
x  x 0  cost
v  cost
Corpo in quiete
x  x 0  v0 t
v  v 0  at
1
x  x 0  v 0 t  at 2
2
Moto rettilineo uniforme
Moto uniformemente
accelerato
x
x0
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t
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Applicazione: distanza di frenata
Determinare la distanza di frenata di un’auto supponendo una velocità iniziale di
50 km/h, una accelerazione di -6m/s2 e che il tempo di reazione duri 0.5s
0
x
d2
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30
Applicazione: accelerazione di gravità
Se trascuriamo l’attrito con l’aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza
della superficie terrestre si muove verso il basso con una accelerazione costante
pari a circa 9. ms-2
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31
Applicazione: caduta libera (v0=0)
1 2
y (t )  gt
2
hh
tc 
2h
g
Tempo di
caduta
tc 
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2h
g
Velocità al suolo
vc  2hg
32
Applicazione: lancio verso l’alto
Supponiamo che una palla venga lanciata
verso l’alto con modulo della velocità pari
a 15m/s. Determinare:
a) il tempo che impiega per raggiungere la
quota massima;
b) l’altezza massima;
c) gli istanti di tempo per i quali la palla
passa ad 8m dalla posizione iniziale;
d) il tempo totale prima di tornare tra le
mani del lanciatore;
e) la velocità in questo istante.
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