forza centripeta

A. Martini
IL MOTO
CIRCOLARE UNIFORME
Un oggetto si muove di
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
quando:
Un oggetto si muove di
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
quando:
LA SUA TRAIETTORIA
E’
UNA CIRCONFERENZA
Un oggetto si muove di
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
quando:
LA SUA TRAIETTORIA
E’
UNA CIRCONFERENZA
Un oggetto si muove di
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
quando:
LA SUA TRAIETTORIA
E’
UNA CIRCONFERENZA
E LA SUA
VELOCITA’ TANGENZIALE
RIMANE COSTANTE NEL TEMPO
V1 = COST.
V1
E LA SUA
VELOCITA’ TANGENZIALE
RIMANE COSTANTE NEL TEMPO
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = COST.
Anche se la velocità tangenziale
rimane costante come intensità,
varia comunque, istante per istante
in direzione
V1
V1 = V2
V1
V2
V1 = V2
V1
R

Questo significa che il moto circolare uniforme è un moto
ACCELERATO
V2
V1 = V2
V1
R

Questo significa che il moto circolare uniforme è un moto
ACCELERATO
V2
V1 = V2
V1
R

Calcoliamo dunque
questa
ACCELERAZIONE
a = v/t
V2
V1 = V2
V1
R

V2
V2
V1 = V2
V1
R

-V1
V2
V2
V1 = V2
V1
R

-V1
V2
V2
V1 = V2
V1
R

-V1
V2
V2
V1 = V2
V1
-V1
R

V=V2-V1
V2
V2
V1 = V2
I due triangoli
colorati in
azzurro
sono simili, quindi
possiamo scrivere
questa
proporzione:
V1
R

S
V
-V1
V2
V2
V1 = V2
I due triangoli
colorati in
azzurro
sono simili,
perché formati da
rette
perpendicolari a
due a due,
quindi possiamo
scrivere questa
proporzione:
V
V1
R

S
V
=
S
V
R
-V1
V2
V2
V1 = V2
I due triangoli
colorati in
azzurro
sono simili,
perché formati da
rette
perpendicolari a
due a due,
quindi possiamo
scrivere questa
proporzione:
V
V1
R

S
-V1
V
=
S
V
R
V =
V S
R
V2
V2
V1 = V2
per determinare
l’accelerazione
dividiamo ambo
i membri
dell’equazione
per t
V
V1
R

S
-V1
V
=
S
V
R
V =
V S
R
V2
V2
V1 = V2
per determinare
l’accelerazione
dividiamo ambo
i membri
dell’equazione
per t
V
V1
R

S
-V1
V
=
S
V
R
V =
V S
R
V S
R t
V =
t
V2
V2
V1 = V2
e poiché s /t è
la velocità
tangenziale v,
e V /t è
l’accelerazione a ,
si può scrivere:
V
V1
R

S
-V1
V
=
S
V
R
V =
V S
R
V S
R t
V =
t
V2
V2
V1 = V2
e poiché s /t è
la velocità
tangenziale v,
e V /t è
l’accelerazione a ,
si può scrivere:
V
V1
R

S
-V1
V
=
S
V
R
V =
V S
R
V S
R t
V =
t
V2
V2
V1 = V2
e poiché s /t è
la velocità
tangenziale v,
e V /t è
l’accelerazione a ,
si può scrivere:
V
V1
R

S
V
=
S
V =
-V1
V
R
V S
R
V = V S
R t
t
a= V V
R
V2
V2
V1 = V2
V1
R
V
-V1
S

QUINDI:
a= V V
R
V2
V2
V1 = V2
V1
R
V
S

QUINDI:
2
V
a=
R
-V1
QUESTA E’ LA FORMULA DELL’ACCELERAZIONE CHE,
ESSENDO DIRETTA VERSO IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA,
SI CHIAMA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
V1 = V2
V
R
aC
2
V
aC =
R
PER STUDIARE IL MOTO CIRCOLARE UNIFORME
CON FACILITA’
OCCORRE DEFINIRE ALCUNE NUOVE GRANDEZZE
IL PERIODO
LA FREQUENZA
IL RADIANTE
LA VELOCITA’ ANGOLARE
IL PERIODO
T
V
R
aC
Il PERIODO è il tempo T
impiegato dal corpo
a percorrere un’intera
circonferenza,
la cui lunghezza è:
c  2R
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
LA FREQUENZA
f
V
R
aC
La FREQUENZA f è
il numero di giri
fatti dal corpo
nell’unità di tempo
(di solito 1 sec)
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
f
1
E’ PASSATO
1 SECONDO!
f
1
E’ PASSATO
1 SECONDO!
e il corpo ha fatto
1 giro e un po’
(per es. 1,85 giri)
f
1
E’ PASSATO
1 SECONDO!
e il corpo ha fatto
1 giro e un po’
(per es. 1,85 giri)
allora la sua frequenza è:
f = 1,85 Hz
f
Hz è l’unità di misura della frequenza: 1Hz = 1 giro/sec
1
E’ PASSATO
1 SECONDO!
e il corpo ha fatto
1 giro e un po’
(per es. 1,85 giri)
allora la sua frequenza è:
f = 1,85 Hz
IL RADIANTE
IL RADIANTE
è
UNA NUOVA UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI
QUESTA E’ LA SUA
DEFINIZIONE:
A
Se dividiamo la circonferenza
in 360 parti tutte uguali, ognuno
di questi archi (A) risulta “sotteso”
da un angolo che chiamiamo
GRADO SESSAGESIMALE
Supponiamo ora di scegliere
un arco di circonferenza più
grande di A.
Supponiamo ora di scegliere
un arco di circonferenza più
grande di A.
R
R
E precisamente scegliamolo
in modo che la sua
LUNGHEZZA
sia uguale a quella del
RAGGIO
L’ angolo che sottende
questo arco lungo come R
prende il nome di
R
RADIANTE
L’ angolo che sottende
questo arco lungo come R
prende il nome di
RADIANTE
R

 = 1 Rad
R
R

Poiché la circonferenza
ha lunghezza
c=2R
significa che essa è divisa
in 2archi ciascuno
lungo come il raggio R
e quindi tutta la
circonferenza
è sottesa da un angolo
2radianti
Questa allora è la relazione
che permette di passare dai
radianti ai gradi
sessagesimali e viceversa:
R

2  Rad
360°
X Rad
= °
Questa allora è la relazione
che permette di passare dai
radianti ai gradi
sessagesimali e viceversa:
R

2  Rad
360°
X Rad
= °
360
° = 2  X Rad
X Rad =
2
360
°
E’ BENE RICORDARE QUESTE RELAZIONI:
90 

Rad
2
180  =  Rad
3
270  =  Rad
2
360  = 2  Rad
LA VELOCITA’ ANGOLARE
La VELOCITA’ ANGOLARE
è definita come il rapporto tra
l’angolo “spazzato” in un certo tempo
ed il tempo impiegato a “spazzarlo”


t
Prova da solo a dimostrare queste relazioni che
ti consiglio di imparare a memoria!

2
T
  2 f
1
f =
T
v  R
2
v
ac 
R
2
ac   R
LA FORZA CENTRIPETA
COME ABBIAMO VISTO, UN OGGETTO CHE SI MUOVE DI
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
E’ SOTTOPOSTO AD UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
V1 = V2
V
R
aC
V2
aC =
R
QUESTA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
V1
ESSENDO PERPENDICOLARE ALLA VELOCITA’
NE CAMBIA CONTINUAMENTE LA DIREZIONE
= V2
V
R
aC
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
V1 = V2
V2
aC =
R
QUINDI, SE C’E’ UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
SIGNIFICA CHE C’E’ ANCHE UNA
V1 = V2
FORZA CENTRIPETA
V
R
aC
V2
aC =
R
QUINDI, SE C’E’ UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
SIGNIFICA CHE C’E’ ANCHE UNA
V1 = V2
FORZA CENTRIPETA
V
FC
R
V2
aC =
R
QUINDI, SE C’E’ UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
SIGNIFICA CHE C’E’ ANCHE UNA
V1 = V2
FORZA CENTRIPETA
V
FC
m
R
2
V
FC = m
R
QUINDI, SE C’E’ UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
SIGNIFICA CHE C’E’ ANCHE UNA
V1 = V2
FORZA CENTRIPETA
V
FC
R
m
OPPURE:
2
V
FC = m
R
QUINDI, SE C’E’ UNA
ACCELERAZIONE CENTRIPETA
SIGNIFICA CHE C’E’ ANCHE UNA
V1 = V2
FORZA CENTRIPETA
V
FC
R
m
OPPURE:
FC = m 2R
LA FORZA CENTRIPETA
VERIFICA SPERIMENTALE

Sappiamo che quando una massa m ruota legata ad un filo (come
mostrato in questa figura) ad una velocità angolare costante, l’angolo  si
mantiene esso pure costante.

Questa è una condizione di stazionarietà.
Studiamone le forze in gioco.


P

Rv
P
Dato che la sferetta si muove di
moto circolare uniforme, essa
deve essere sottoposta ad una
forza centripeta

Rv
P
Dato che la sferetta si muove di
moto circolare uniforme, essa
deve essere sottoposta ad una
forza centripeta

Rv
F
c
P
Dato che la sferetta si muove di
moto circolare uniforme, essa
deve essere sottoposta ad una
forza centripeta

Rv
F
c
P
C’è una relazione fra queste tre forze?
E’ evidente che
la forza centripeta Fc
(della cui esistenza siamo certi,
dato che la sfera si muove di
moto circolare uniforme)
è la risultante
della forza peso P
e della reazione vincolare Rv

Rv
F
c
P
E’ evidente che
la forza centripeta Fc
(della cui esistenza siamo certi,
dato che la sfera si muove di
moto circolare uniforme)
è la risultante
della forza peso P
e della reazione vincolare Rv

Rv
F
c
P
E’ evidente che
la forza centripeta Fc
(della cui esistenza siamo certi,
dato che la sfera si muove di
moto circolare uniforme)
è la risultante
della forza peso P
e della reazione vincolare Rv

Rv
F
c
P
Se aumenta la velocità di
rotazione (la velocità
angolare ) aumenta
contemporaneamente la
forza centripeta Fc ,
necessaria a mantenere in
rotazione la massa m:
Fc = m 2 r

Rv
F
c
P
Se aumenta la velocità di
rotazione (la velocità
angolare ) aumenta
contemporaneamente la
forza centripeta Fc ,
necessaria a mantenere in
rotazione la massa m:
Fc = m 2 r

Rv
F
c
P
Se aumenta la velocità di
rotazione (la velocità
angolare ) aumenta
contemporaneamente la
forza centripeta Fc ,
necessaria a mantenere in
rotazione la massa m:
Fc = m 2 r

Rv
F
c
P
Se l’angolo  non
aumentasse
contemporaneamente,
dovrebbero aumentare
contemporaneamente sia P
che Rv (altrimenti la
risultante Fc non avrebbe
direzione perpendicolare
all’asse di rotazione, come
deve essere, dato che la
traiettoria della pallina sta
su un piano perpendicolare
a questo asse)

Rv
F
c
P
Se l’angolo  non
aumentasse
contemporaneamente,
dovrebbero aumentare
contemporaneamente sia P
che Rv (altrimenti la
risultante Fc non avrebbe
direzione perpendicolare
all’asse di rotazione, come
deve essere, dato che la
traiettoria della pallina sta
su un piano perpendicolare
a questo asse)

Rv
F
c
P

Rv
Infatti:
m
F
c
P

Rv
m
F
c
P

Rv
m
F
c
P

Rv
m
F
c
P

Rv
m
F
c
P
Ma è ovvio che P non può
aumentare
improvvisamente da solo!

Rv
m
F
c
P
Ma è ovvio che P non può
aumentare
improvvisamente da solo!

Rv
m
F
c
P
Deve quindi cambiare 

Rv
m
F
c
P
Deve quindi cambiare 

Rv
m
F
c
P
Deve quindi cambiare 

Rv
m
F
c
P
Deve quindi cambiare 

Rv
m
F
c
P

Rv
m
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
tg  =
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
tg  =
Fc
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
Fc
tg  =
P
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
Fc
tg  =
P
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
m2r
tg  =
P
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
m2r
tg  =
mg
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
m
m2r
tg  =
mg
F
c
 P
Possiamo dunque scrivere:

Rv
2r
tg  =
g
m
F
c
 P
E poichè è: 
= 2 /T

Rv
2r
tg  =
g
m
F
c
 P
E poichè è: 
= 2 /T

Rv
2r
tg  =
g T2
m
F
c
 P
Fotograferemo, con la tecnica della foto stroboscopica,
il moto di una pallina legata ad un disco
collegato all’albero di un motore:
motore
albero
disco
filo a
piombo
L
scala graduata
questa è la formula che utilizzeremo:
motore
albero
disco
filo a
piombo
L
scala graduata
2r Lreale
tg  =
g T2 Lfoto
motore
albero
disco
filo a
piombo
L
asta graduata
2r Lreale
tg  =
g T2 Lfoto
COME EFFETTUARE
LE MISURE
motore
albero
disco
filo a
piombo
L
asta graduata