Apprendimento Bayesiano

Apprendimento Automatico:
Apprendimento Bayesiano
Roberto Navigli
Apprendimento Automatico: Apprendimento Probabilistico
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Caratteristiche dell’Apprendimento Bayesiano
• Ogni esempio di addestramento progressivamente
decrementa o incrementa la probabilità stimata che
un’ipotesi sia corretta
• La conoscenza pregressa può essere combinata con i
dati osservati per determinare la probabilità finale di
un’ipotesi
• I metodi Bayesiani possono fornire predizioni
probabilistiche (es. questo paziente ha il 93% di possibilità
di guarire)
• Nuove istanze possono essere classificate combinando le
predizioni di ipotesi multiple, pesate con le loro probabilità
• Anche quando i metodi Bayesiani sono intrattabili
computazionalmente, possono fornire uno standard di
decisione ottimale rispetto al quale misurare metodi più
pratici
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Richiamo di concetti di calcolo delle probabilità
•
•
•
•
Spazio di campionamento Ω è l’insieme degli esiti di una prova
 è l’esito di una prova (es. il lancio del dado ha esito 2)
A è un evento (sottoinsieme di Ω)
Indichiamo con P(A) la probabilità (massa di probabilità) di un evento A
(es: x=1, o x “pari”)
• Per ogni coppia di eventi A e B:
A
B
0  P ( A)  1
P (true)  1
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B )  P ( A  B )
dove P ( A  B )  P ( A  B )  0 se P ( A), P ( B ) mutuamente esclusive
es. (lanci dado) A  {1,3,5} B  {2,4,6}
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Probabilità congiunta
• Dati due eventi A e B, P(A) è la probabilità marginale
dell’evento A e P(B) quella dell’evento B
• La probabilità congiunta che si verifichino entrambi gli
eventi è P(A, B)
• Se i due eventi sono indipendenti, allora si ha:
– P(A, B) = P(A) P(B)
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Probabilità condizionata
• La probabilità condizionata dell’evento B dato l’evento A
(probabilità di un evento A supponendo che sia
verificato un evento B) è data da:
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)  0
P( B)
P( B | A) 
P( A  B)
P( A)
P( A)  0
 P( A  B)  P( A | B) P( B)  P( B | A) P( A)
A
AB
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B
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Teorema di Bayes
• Sfruttando la definizione di probabilità condizionata si
ottiene:
P( B | A) P( A)
P( A | B) 
P( B)
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Classificatore Naïve Bayes
• Si applica al caso in cui le ipotesi in H sono rappresentabili
mediante una congiunzione di valori di attributi e la
classificazione è scelta da un insieme finito Y. Le istanze x
in X sono descritte mediante m-uple di valori (x1,x2, ..., xm)
associati agli m attributi di x
• Il classificatore “naif” si basa sull’assunzione semplificativa
che i valori degli attributi siano condizionalmente
indipendenti, assegnato un valore della funzione
obiettivo, cioè, dato un nuovo esempio x da classificare,
calcoliamo:
cNB  arg max P(c j | x1 , x2 ,..., xm )  arg max
cY
cY
P( x1 , x2 ,..., xm | c) P(c)

P( x1 , x2 ,..., xm )
arg max P(c) P( x j | c)
cY
j
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Stima delle probabilità
• Le probabilità P(xi|c) vengono stimate osservando le
frequenze nei dati di addestramento D
• Se D include ni esempi classificati ci, e nij di questi ni
esempi contengono il valore xj per l’attributo j, allora:
P( x j | ci ) 
nij
ni
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Naïve Bayes: Esempio
•
•
•
Y = {allergia, raffreddore, in_salute} (possibili classi)
x1 = starnuti (sì, no) ; x2 = tosse (sì, no) ; x3 = febbre (sì, no) (attributi booleani)
x = (1, 1, 0) come lo classifico?
Prob
Dall’insieme D stimo
le prob. a priori
e condizionate
es:
{
in
salute
raffreddore
allergia
P(c)
0.9
0.05
0.05
P(x1 |c)
0.027
1.0
1.0
P(x2 |c)
0.027
0.5
0.5
P(x3 |c)
0.027
0.5
0.5
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Esempio (continua)
• 40 esempi, 36 classificati “in salute”, 2 raffreddore, 2
allergia
• Per stimare, ad esempio, P(x1=1|in-salute), contare sui 36
esempi nei quali c(x)= “in-salute” quanti hanno x1=1
se 1 su 36, P(x1=1|in-salute)=1/36=0,027
Analogamente avrò, ad es.:
- P(x1=1|raffreddore)=2/2=1
- P(x1=1|allergia)=2/2=1
- ecc.
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Esempio (continua)
•
•
 P( x
Devo calcolare il massimo al variare di c di: P(c)
Quindi ad esempio per c=raffreddore
j
| c)
j
P(raffreddore)P( x1  sì | raffr) P( x2  sì | raffr) P( x3  no | raffr) 
0,05  1 0,5  0,5  0,0125
•
Analogamente, troverò:
P(in  salute)P( x1  sì | sal ) P( x2  sì | sal ) P( x3  no | sal ) 
0,9  0.027  0,027  0,027  0,000017
P(allergia )P( x1  sì | all ) P( x2  sì | all ) P( x3  no | all ) 
0,05  1 0,5  0,5  0,0125
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Problemi con Naive Bayes
• Se D è piccolo, le stime sono inaffidabili (nell’esempio
precedente alcune stime sono = 1!)
• Un valore raro xk può non capitare mai in D e dunque:
– c:
P(xk | c) = 0.
• Analogamente, se ho un solo esempio di una classe c,
–  xk: P(xk | c) = 1 o P(xk | c) = 0.
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Smoothing
• Per tener conto di eventi rari, si operano degli aggiustamenti sulle
probabilità detti smoothing
• Laplace smoothing con una M-stima assume che ogni evento xj abbia
una probabilità a priori p, che si assume essere stata osservata in un
campione virtuale di dimensione M > del campione reale
nij  Mp
P( x j | ci ) 
ni  M
• Nell’esempio precedente, ad es.
P( x1  0 | raff ) 
0  M  0,5
2M
• M è una costante che determina il peso dello smoothing
• In assenza di altre informazioni, si assume p = 1/k dove k è il numero
di valori dell’attributo j in esame
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Un esempio
• Classificazione automatica di documenti
– Un documento rappresentato come un elenco di termini
tj (j=1,…,|V|), dove V è il vocabolario
– Rappresentiamo un documento x con il vettore x =
(x1,x2…,x|V|) dove xj=1 se il termine tj è presente (0
altrimenti)
– D = { (xi, yi) } insieme di addestramento di documenti
già classificati
– Y = { sport, politica, ..., scienze }
– Stimare, sulla base di D, le P(tj|c)
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