Le cause del moto: la situazione prima di
Galilei e di Newton
•
•
•
•
•
Ogni elemento ha una sua posizione naturale: la
terra e l’acqua sotto, l’aria e il fuoco sopra.
Ogni elemento cerca di raggiungere la sua
posizione naturale dopo di che rimane in quiete
Lo stato naturale dei corpi è la quiete
Per far muovere un corpo o per mantenerlo in
moto occorre esercitare un’azione su di esso!
Il moto dei corpi celesti era assicurato da
schiere di angeli(o dei) che spingevano i
pianeti, il sole (Apollo con il carro) e le stelle
nel loro moto attorno alla terra.
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
•
III legge di Newton
•
La visione attuale è condensata
nelle tre leggi di Newton.
Questi vanno considerati come dei
postulati, dei principi fondamentali,
non dimostrabili, formulati sulla
base delle intuizioni di grandi fisici,
Galilei, Newton, da cui si possono
far discendere tutte le altre leggi
che descrivono i fenomeni
particolari.
E’ dunque il confronto delle
previsioni dedotte dai principi
fondamentali con i risultati di
esperimenti che ci permette di
apprezzare la correttezza dei
postulati iniziali.
II legge di Newton
•
I legge di Newton
Le cause del moto: la visione attuale
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
La prima legge di Newton
o legge di inerzia
• I corpi isolati conservano il loro stato di moto rettilineo uniforme
• o di quiete (caso particolare del moto rettilineo uniforme)
• Lo stato naturale dei corpi non è la quiete ma il moto rettilineo uniforme (a
velocità costante): non è necessaria alcuna azione per mantenere in moto
(rettilineo uniforme) un corpo.
• Se il corpo è isolato, non ci sono interazioni con altri corpi, non c’è alcuna
possibilità di cambiare la sua velocità.
• Solo le interazioni con altri corpi possono far cambiare la velocità (il suo
modulo o la sua direzione) di un corpo.
• Se mi accorgo che un corpo cambia il suo stato di moto (la sua velocità cambia
in modulo o in direzione) allora vuol dire che nell’ambiente circostante esiste
almeno un altro corpo che sta esercitando un’azione sul corpo sotto
osservazione.
• Le azioni esercitate dagli altri corpi, capaci di far cambiare la velocità di un
corpo, si chiamano forze.
• I corpi possiedono l’inerzia (la massa) : la capacità di resistere a cambiamenti
del loro moto.
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Definizione operativa della massa inerziale
•
La massa inerziale misura la capacità di un corpo di opporsi a cambiamenti del
suo stato di moto (cambiamenti di velocità).
•
Prendiamo due corpi e provochiamo delle variazioni del loro stato di moto
v1
v2
molla
Osservazione sperimentale
•
Ragionamento
v1i = v2i = 0
Dv1= v1f - v1i = v1f
Dv2 = v2f-v2i = v2f
Dv1
= costan te
Dv2
– I due corpi subiscono una differente variazione di velocità perché hanno una diversa
capacità di opporsi a cambiamenti del loro stato di moto (una diversa massa
inerziale)
– Allora:
m 2 Dv 1
=
m1 Dv2
Scegliendo m1 come
campione di massa:
Relazione inversa: Il corpo con massa maggiore
subisce una minore variazione di velocità
Dv1
Dv1 Dv1
m2 = m1
= (1kg)
=
kg
Dv2
Dv2 Dv 2
La massa è uno scalare
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La seconda legge di Newton
•
La risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla massa del corpo per
l’accelerazione subita
åF = ma
é Fù = [ m ] [ a ]
ë û
kg m
SI:
=N
2
s
– Poiché l’accelerazione è un vettore e la massa è uno scalare
– La forza è un vettore.
• La seconda legge di Newton è una relazione vettoriale:
– Equivalente a tre equazioni scalari:
(å F) = å F
(å F) = å F
(å F) = å F
x
y
z
x
y
z
( ma) x = max
( ma) y = may
( ma) z = maz
å F = ma
å F = ma
å F = ma
x
x
y
y
z
z
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La terza legge di Newton
•
•
Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria
Formulazione più professionale:
“Se il corpo C esercita sul corpo
B una forza, FBC , allora anche il
corpo B esercita sul corpo C una
forza, FCB . Le due forze sono
uguali in modulo e direzione, ma
opposte in verso”.
FBC = -FCB
• N.B.: L e forze di azione e reazione agiscono sempre su corpi diversi.
– Forze uguali ed opposte, ma agenti sullo stesso corpo, non possono essere quelle
previste dalla terza legge di Newton.
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I sistemi di riferimento inerziali
•
In cinematica noi non abbiamo posto molta attenzione al sistema di riferimento
usato per descrivere il moto.
– In genere abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui la descrizione del moto
risultava la più semplice possibile.
•
I sistemi di riferimento in cui valgono le tre leggi di Newton si chiamano
“Sistemi di riferimento inerziali”.
– Nei “Sistemi di riferimento inerziali” i corpi isolati si muovono di moto rettilineo
uniforme (accelerazione nulla).
•
Newton aveva ipotizzato l’esistenza di un sistema di riferimento assoluto,
legato alle stelle fisse, in cui valgono con precisione le leggi di Newton (i corpi
isolati hanno accelerazione nulla).
– La relatività Galileana ci dice che tutti i sistemi in moto traslatorio uniforme
rispetto a quello assoluto (legati cioè a corpi isolati) misurano la stessa
accelerazione, quindi sono anch’essi inerziali.
•
Il Sistema del Laboratorio, il sistema geocentrico e quello eliocentrico non
sono inerziali (sono legati a corpi non isolati, che non si muovono di moto rettilineo
uniforme rispetto alle stelle fisse).
– Però, per moti di breve durata rispetto al ciclo del sistema, questi sistemi possono
essere considerati inerziali.
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Osservazioni sulla seconda legge di Newton
• Se si conoscono le forze come funzione del tempo, della posizione ,
delle proprietà dei corpi interagenti (massa, carica, etc.), etc.,
• la seconda legge della dinamica ci permette di determinare
l’accelerazione
• una volta nota l’accelerazione, con i metodi che abbiamo discusso in
cinematica (risoluzione dell’eq. diff.), è possibile arrivare alla legge
oraria
• e quindi, arrivare a conoscere la posizione del corpo in funzione del
tempo, ovvero a descrivere il moto.
• Occorre quindi determinare le espressioni delle forze!
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Ulteriori osservazioni sulla seconda legge di
Newton
• La seconda legge di Newton richiede che tutte le forze agenti su un
corpo siano prese in considerazione.
åF = ma
• Come si fa ad includere tutte le forze?
– Nei sistemi di riferimento inerziali le forze sono dovute ad altri corpi presenti
nell’ambiente attorno al corpo di cui si vuol studiare il moto.
– Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che la
subisce e qual è il corpo che la genera
• Questo rende più facile anche l’applicazione della terza legge di Newton
– Per ricercare tutte le forze bisognerà cercare i corpi presenti nell’ambiente
circostante e che possono interagire con il corpo sotto osservazione.
– Alcune forze agiscono a distanza, altre per agire richiedono che ci sia
contatto tra i corpi interagenti.
– Quindi massima attenzione sui corpi a contatto con quello sotto
osservazione.
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Le leggi delle forze: la forza peso
– Galilei ha osservato che tutti i corpi nelle vicinanza della superficie terrestre
cadono verso il basso con la stessa accelerazione g=9,81 m/s-2
– Conosciamo quindi l’accelerazione subita da un corpo quando agisce la sola
forza peso.
– Applicando la seconda legge di Newton possiamo ricavare la forza subita
dal corpo:
P = mg
– il vettore g ha modulo 9,81 m/s-2, direzione verticale e punta verso il basso.
– Qual è il corpo che esercita la forza peso?
• La forza peso è dovuta alla presenza della Terra, è esercitata dalla Terra ed è una
delle forze che agisce a distanza, non è necessario il contatto del corpo con la Terra.
– Nel caso di un punto materiale la forza peso si indica con una freccia che parte dal
punto ed è diretta verso il basso
– Per corpi complessi il peso si applica al baricentro (centro di massa)
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La forza di Gravitazione Universale
•
E’ la forza che si esercita tra due qualunque corpi aventi massa.
m1m 2
FG = G 2
d
•
•
•
G = 6.67 ´ 10
-11 m 3
(s kg)
2
È una forza che agisce a distanza
è piuttosto debole
Calcolare la forza gravitazionale tra due corpi di 80 kg alla distanza di un metro e
confrontarla col al forza peso che agisce sui due corpi.
m1m 2
-11 80 ´ 80
-7
FG = G 2 = 6.67 ´ 10
=
4.3
´
10
N
2
d
1
P1 = m1g = 80 ´ 9.81 = 785N
•
La forza gravitazionale tra due corpi sulla superficie terrestre è normalmente
trascurabile rispetto alla forza peso
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Legame tra la forza Peso e la forza di
Gravitazione Universale
• La forza peso è la forza di interazione gravitazionale esercitata dalla
terra su un corpo posto sulla sua superficie
mM T
P=G 2
RT
• La distanza da considerare è proprio il raggio terrestre (RT=6.36x106
m)
P = mg = G
mM T
2
RT
Þ g=G
MT
2
RT
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La forza elettrostatica o di Coulomb
•
Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma coinvolge le cariche.
FC =
•
•
•
1 q1q 2
2
4peo d
e o = 8.85 ´ 10-12 F m
Anche la forza elettrostatica agisce a distanza
ed è abbastanza intensa
Le differenze con quella di gravitazione universale
– Esistono due tipi di cariche: positive e negative
– Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono
•
le interazioni elettromagnetiche sono l’origine delle altre forze che ora
introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle corde, le
resistenze passive etc.
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La reazione vincolare
•
•
Consideriamo un corpo fermo su di un tavolo
orizzontale.
La sua accelerazione è nulla.
N
– Dalla II legge di Newton ricaviamo che la forza
complessiva agente sul corpo deve essere nulla.
•
Il tavolo ha schermato la forza peso?
– No! Il tavolo esercita sul blocco una forza uguale e
contraria al peso in modo tale che la forza complessiva
agente sul corpo sia nulla.
– Il corpo è in equilibrio
åF = ma = 0
•
•
P + N = ma = 0
P
Þ N = -P
La forza richiesta per assicurare l’equilibrio è perpendicolare al tavolo.
Per questo si chiama “Componente normale della reazione vincolare”
– Normale vuol dire perpendicolare (al vincolo, in questo caso alla superficie del
tavolo).
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La reazione vincolare
•
Le reazioni vincolari si manifestano ogni volta che
esiste un vincolo, ossia un impedimento, al moto di un
corpo.
N
– Nel caso in considerazione, il piano orizzontale
impedisce al corpo di occupare una qualsiasi posizione
al di sotto del piano stesso: il corpo non può penetrare
nel piano orizzontale.
•
La reazione vincolare:
P
– Ha sicuramente una componente normale al vincolo
diretta verso la parte di spazio consentito (componente
Normale N)
• Se non ce l’ha vuol dire che non c’è contatto del corpo con
il vincolo
– può avere una componente parallela al vincolo
• se ce l’ha si chiama “Forza di attrito”
– Statico: il corpo è fermo rispetto al vincolo
– Dinamico: il corpo striscia sul vincolo.
•
La reazione vincolare agisce per contatto
åF = ma = 0
N.B.: La reazione vincolare
non ha una espressione che
permette di determinarla: essa
va determinata caso per caso
utilizzando le leggi di
Newton.
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Le componenti della reazione Vincolare
•
La reazione vincolare ha due componenti:
– la componente Normale (al vincolo)
– e la componente parallela (al vincolo) detta anche forza di attrito
• NB: La componente Normale c’è sempre se c’è il contatto tra il corpo e il
vincolo
• Quando la componente Normale è nulla vuol dire che non c’è più contato tra
il corpo ed il vincolo.
• Viceversa la componente parallela (o forza di attrito) a secondo del problema
può essere presente oppure non esserci per niente.
N
P
•
•
Nel caso di un corpo appoggiato su un piano orizzontale abbiamo visto che la
sola componente normale è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo.
La forza di attrito, ossia la componente parallelo al vincolo è nulla.
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Le forze di attrito
•
•
•
•
Nei casi in cui la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare è
non nulla si parla di Forza di attrito
Si parla di Forza di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la
superficie su cui il corpo è poggiato
Si parla invece di Forza di attrito dinamico quando c’è scorrimento tra il corpo
e la superficie su cui il corpo è poggiato
Nelle prossime slide verranno descritte le caratteristiche di queste due forze
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La forza di attrito statico
•
•
•
Consideriamo un corpo poggiato ( e fermo) su un tavolo orizzontale.
Applichiamo al corpo una forza orizzontale fo.
Si osserva che:
– Per piccoli valori della forza applicata il corpo resta ferma.
– Se si aumenta la forza applicata il corpo continua a rimanere fermo finchè, superato
un certo valore il corpo si mette in movimento.
•
Consideriamo per ora il caso in cui il corpo resta ancora fermo.
y
Rv
fo
P
x
Px + Rvx + fox = 0
P + R v + fo = ma = 0
Þ
Py + Rvy + foy = 0
Pz + Rvz + foz = 0
componenti
modulo
componenti
R vx + fo = 0
- mg + R vy = 0
R vz = 0
R vx = -fo
R vy = mg
R vz = 0
Il valore massimo
della forza di attrito statico
•
Non esiste una espressione per determinare la forza di attrito statico (intensità,
direzione, verso)
– La forza di attrito statico si determina applicando le leggi di Newton.
– Nel caso precedentemente analizzato abbiamo trovato:
• L’intensità uguale a quella della forza orizzontale applicata
• direzione quella della forza orizzontale applicata
• verso opposto.
•
Abbiamo anche osservato che aumentando l’intensità della forza orizzontale
applicata, raggiunto un certo valore, il corpo si mette in moto.
– Il modulo della forza di attrito statico è limitato superiormente, non può aumentare
oltre un certo valore!
Fas £ ms N
– Il valore massimo della forza di attrito statico dipende
• dal modulo della componente normale N della reazione vincolare.
• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (ms)
• dalla temperatura
– Non dipende
• Dalla superficie di appoggio
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Perché la forza di attrito statico non dipende
dalla superficie di appoggio
•
•
•
•
Il contatto avviene in un numero finito di asperità.
Nei punti in cui avviene il contatto le asperità si
deformano. Si manifestano delle forze
proporzionali alle deformazioni.
Ci possono essere poche asperità molto deformate
oppure molte asperità poco deformate
L’area di effettivo contatto è
–
–
•
proporzionale alla deformazione complessiva
che è proporzionale alla forza complessiva
esplicata (N).
L’area di effettivo contatto è la stessa nei due casi
mostrato nella figura qui sotto (N è lo stesso nei
due casi).
Pochi punti molto deformati
Molti punti poco
G.M. - deformati
Edile-Architettura 2004/05
La forza di attrito dinamico
•
•
Se le superfici a contatto sono scabre e c’è scorrimento tra esse.
Nel caso dell’attrito dinamico è possibile determinare tutto: modulo, direzione
e verso.
– È diretta in verso apposto al moto (stessa direzione della velocità ma verso
opposto)
– Il modulo della forza è dato da:
Fad = m d N
•
La forza di attrito dinamico
– dipende
• dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (md)
• dalla componente normale (N)
• dalla temperatura
– non dipende
• dalla superficie di appoggio
• dalla velocità di scorrimento delle superfici a contatto
•
Superfici lisce: i
coefficienti di attrito
statico e dinamico
sono nulli!
La reazione vincolare
ha solo la
componente normale
La forza di attrito dinamico è sempre più piccola del valore massimo della forza
di attrito statico (md< ms)
– Infatti nel caso dell’attrito statico si formano delle vere e proprie saldature nei punti
di effettivo contatto, che non hanno il tempo di formarsi nel caso dinamico.
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I coefficienti di attrito
ms
md
Legno su legno
0.25-0.5
0.2
Vetro su vetro
0.9-1.0
0.4
0.6
0.6
0.09
0.05
1.0
0.8
0.04
0.04
0.04
0.04
Superfici
Acciaio su acciaio, superfici
pulite
Acciaio su acciaio, superfici
lubrificate
Gomma su cemento armato
asciutto
Sci di legno cerato su neve
secca
Teflon su teflon
Questi numeri sono indicativi, i coefficienti di attrito dipendono molto
dallo stato delle superfici, dalla temperatura, dall’umidità, etc.
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Si consideri un corpo di massa m appoggiato su un piano inclinato rispetto
al piano orizzontale con inclinazione variabile con continuità da zero a Applicazi
one
90°. Sperimentalmente si osserva che quando l'angolo raggiunge il valore
qs=30° il corpo inizia a muoversi.
Se, una volta che il corpo di massa m si è messo in moto, si mantiene
costante l'angolo al valore qs=30°, si osserva che il corpo si muove di
moto rettilineo uniformemente accelerato.
Se, invece, subito dopo aver messo in moto il corpo, l'inclinazione viene
rapidamente diminuita e portata al valore qd=25°, il moto risulta essere
rettilineo uniforme.
Determinare i valori dei coefficienti di attrito statico e dinamico ms e md tra
il piano inclinato e il corpo di massa m e l’accelerazione nel caso in cui
l’inclinazione del piano viene mantenuta uguale a qs=30°.
m
q
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Innanzitutto introduciamo un sistema di riferimento inerziale.
Conviene prendere l’asse y perpendicolare al piano inclinato e l’asse x Applicazi
one
parallelo al piano in modo che il piano xy sia verticale
Fissiamo l’origine nella posizione iniziale del punto materiale.
y
Determiniamo le forze agenti
• La forza peso
• La reazione vincolare esercitata dal piano
inclinato
• Componente Normale
• Forza di attrito
N
Fa
s
Possiamo anche predire la direzione e il verso
della forza di attrito:
• È opposta alla componente della forza
peso parallela al piano
P
x
y
N
Costruiamo il diagramma del corpo libero
Fa
P
Scriviamo la seconda legge di Newton
P + N + Fa = ma
x
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P + N + Fas = ma
Scriviamo la seconda legge di Newton
Applicazi
one
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
y
mgsen q - Fa = ma x
N - mgcosq = ma y
z
0 = ma z
y
Fa
s
ax = 0
Per q < qs il corpo rimane fermo:
ax = 0
q @ qs Þ
Fa = Fsmax
Si ottiene:
N
max
Fs
Famax = mgsenq s
ay = 0
P
q
x
= m sN
N = mg cosqs
Fa
mgsenq s sen qs
ms =
=
=
= tan qs
N
mgcosq s cosqs
max
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
P + N + Fad = ma
Se l’angolo viene mantenuto a qs
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
y
mgsen q - Fad =
N - mg cosq = ma y
z
0 = ma z
Durante il moto il corpo rimane sempre
appoggiato al piano inclinato
y(t) = 0 Þ vy = a y = 0
Applicazi
ma x
one
Fad = m d N
y
N
Fa
s
Si ottiene:
P
N = mg cosqs
Fad = md N = md mg cosqs
q
mgsenqs - Fad mgsenqs - md mgcosqs
ax =
=
= g( senqs - md cosqs )
m
m
x
L’accelerazione è costante: il moto sarà uniformemente accelerato
1 2
a xt
2
=0
x(t) = x o + vxo t +
xo = 0
v xo
1
x(t) = g(senq - md cosq)t 2
2
Se il piano è liscio, md=0
1
a x = gsenq
x(t) = gsen qt 2
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2 2004/05
P + N + Fad = ma
Se l’angolo viene ridotto a qc
Applicazi
one
Troviamo le equazioni scalari proiettando
sugli assi coordinati.
x
y
mgsen q - Fad = ma x
N - mg cosq = ma y
z
0 = ma z
Per q = qc il corpo si muove lungo
l’asse x a velocità costante
ax = 0
q @ qc Þ
Fa = Fad
Si ottiene:
y
N
Fad
ax = 0
ay = 0
P
q
x
Fad = m d N
Fad = mgsenq c
N = mg cosqc
Fad mg senqc sen qc
md =
=
=
= tan q c
N mg cosqc cosqc
G.M. - Edile-Architettura 2004/05
