elettricita`-4 - Sezione di Fisica

Elettrostatica 4
23 maggio 2011
Angolo solido
Flusso del campo elettrico
Legge di Gauss
Angolo solido
• Consideriamo una
superficie sferica di raggio r
• Una curva chiusa definisce
una superficie
• L’area è proporzionale al
quadrato del raggio
A
 2
• L’angolo solido è definito
r
come il rapporto tra area e
raggio al quadrato
Asfera 4r 2
• L’angolo corrispondente a
 spazio  2  2  4
tutto lo spazio è
r
r
2
Flusso del campo elettrico
• Procediamo per generalizzazioni successive
• Campo uniforme perpendicolare ad una
superficie
 ( E | S )  EA
• Campo uniforme inclinato rispetto alla
superficie


( E | S )  E  A  EA cos   EA
• Campo non uniforme
 
( E | S )   E  dA
S
3
Flusso di E: carica al centro di una
sfera
• Flusso del campo di una carica puntiforme
positiva attraverso una superficie sferica
centrata sulla carica
 
Q 2
( E | S )   E  dA   EdA   k 2 r d  kQ d  4kQ
r
S
S
S
S
Il segno di E, e quindi di 
e` dato dal segno di Q
• Idem per una carica negativa
• Il flusso elementare attraverso l’angolo solido
d non dipende dal raggio della sfera
 
Q 2
d  E  dA  EdA  k 2 r d  kQd
r
4
Flusso di E: carica interna ad una
superficie chiusa
• Flusso del campo di
una carica puntiforme
attraverso una
superficie chiusa
qualunque che la
contiene

dA
dA
Q
d

E
 
 ( E | S )   E  dA
S
  EdA cos    EdA
S
S
Q 2
  k 2 r d
r
S
 kQ d  4kQ
S
dA
5
Flusso di E: carica esterna ad una
superficie chiusa
• La superficie chiusa si
può considerare come
l’unione di due superfici
aperte che sono viste
dalla carica secondo uno
stesso angolo solido 
• I due flussi sono uguali e
contrari, perché i prodotti
scalari elementari hanno
segno opposto sulle due
superfici
 
 ( E | S )   E  dA 
S
 
 
  E  dA   E  dA
S1
 
 E  dA
S 1 S 2
S2
   EdA   EdA
S1
S2
 kQ  kQ  0
6
Legge di Gauss
• Flusso del campo
di più cariche
puntiformi
attraverso una
superficie
qualunque
• Legge di Gauss
• 1a equazione
dell’e.m.
 
 ( E | S )   E  dA
S


 n    n
    E j   dA   E j  dA
j 1 S
S  j 1

n
n
j 1
j 1
   ( E j | S )   4kQint
j
 4kQ 
int
tot
int
Qtot
0
7
Forma differenziale della legge di
Gauss
• Consideriamo l’equazione
• Applicando il teorema della
divergenza, l’integrale di
superficie si può trasformare
in un integrale nello spazio
• La carica si può pure
esprimere come un integrale
nello spazio
• La legge di Gauss si può
quindi riscrivere
• L’uguaglianza degli integrali
implica l’uguaglianza degli
integrandi
int
  Qtot
 E  dS 
0
 
 
 E  dS    EdV
S
S (S )
S
Qtot 
int
 dV
S (S )
 
   EdV 
S (S )
  
E 

dV

S (S ) 0
0
8
Esercizi sulla legge di Gauss
• Campo elettrico di
– Piano indefinito con densità superficiale di carica
uniforme
– Filo indefinito con densità lineare di carica uniforme
– Sfera, con densità di carica spaziale uniforme
• Campo all’interno di conduttori pieni e cavi
– Caso particolare di sfere concentriche
• Direzione del campo alla superficie di un
conduttore
9
Intensita` del campo E sulla
superficie di un conduttore
• Consideriamo una SdG
cilindrica S di base molto
piccola parallela alla
superficie del conduttore
• Superficie laterale: parallela
al campo esterno
• Il flusso del campo E
attraverso S è dato dal solo
termine relativo alla base
esterna (di area A)
• Detta Q(S) la carica
contenuta in S, per la LdG
• Quindi il campo sulla
superficie vale
S
 ( E )  EA
E=0
 ( E )  EA
( E ) 
Q( S )
0
A

0

E
0
10
Variazione discontinua di En
attraverso uno strato di carica
n
1
• Una superficie cilindrica S
+++++++++++++++++++++
con base piccola e altezza
ancor più piccola
2
• Il flusso di E attraverso S ha
tre pezzi: base 1, base 2,
   
( E, S )  E1  A1  E2  A2  ( E, Slat )
superficie laterale
• Trascuriamo il flusso sulla
( E , S )  En1 A1  En 2 A2
SL, in quanto l’altezza può
 En1 A1  En 2 A1
essere presa piccolissima
• Nota la carica contenuta in
Q( S ) A1
( E ) 

S, per la LdG
0
0
• E la variazione della

E

E

11
n1
n2
componente normale di E è

0