Genesi della Relatività Speciale

Genesi della Relatività Speciale
Albert Einstein nel 1905
Α Ulm (Impero Germanico) 1879
Ω Princeton (Stati Uniti) 1955
V 0.73
http://lopseudoprometeo.myblog.it
Genesi della Relatività Speciale
La situazione della Fisica a fine Ottocento:
• Meccanica newtoniana
Philosophiae Naturalis Principia mathematica
pubblicato nel 1686
• Elettromagnetismo di Maxwell
A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field
pubblicato nel 1865
Meccanica Newtoniana
i Vettori
La meccanica descrive i moti dei corpi nello spazio, in
funzione del tempo. Poiché lo spazio è tridimensionale,
non basta un semplice numero per caratterizzare la
posizione, velocità ed accelerazione, ma occorrono i
vettori:
Meccanica Newtoniana
la prima legge di Newton
Un oggetto che non è sottoposto a forze esterne si
trova in una delle seguenti condizioni:
A. Si muove di moto rettilineo uniforme
cioè la direzione della velocità è una linea retta ed il modulo
della velocità è costante
B. È in quiete
La condizione B è solo un caso particolare della A, quando il
modulo della velocità è pari a zero.
Meccanica Newtoniana
Sistemi Inerziali
Gli osservatori (sistemi di riferimento) per i quali vale la
prima legge di Newton si dicono “inerziali”.
Per l’appunto, sono tutti gli osservatori in moto rettilineo
uniforme tra loro. Non ci deve essere alcuna
accelerazione!
Ad esempio, un osservatore in rotazione NON è un
sistema di riferimento inerziale.
Tutte le leggi della Fisica assumono la stessa semplice
forma in tutti i sistemi di riferimento inerziale.
Nei sistemi non inerziali, bisogna introdurre forze
apparenti per descrivere il moto.
Meccanica Newtoniana
Sistemi Inerziali - II
Ogni osservatore inerziale considera se stesso in quiete
e vede gli altri in moto rettilineo uniforme.
Esiste un sistema di riferimento privilegiato che sia in
quiete in modo assoluto?
In figura, il sistema S’ si
allontana da S con velocità
costante v ed è ruotato rispetto
ad S ma con angoli fissi nel tempo.
Meccanica Newtoniana
Sistemi Inerziali - III
Newton, per motivi di ordine teologico, sostiene l’esistenza
dello Spazio assoluto e del Tempo assoluto (che sono noti a
Dio). In pratica, come spazio assoluto si prende quello in
quiete rispetto alle stelle fisse (che in realtà non lo sono).
La sua teoria funziona benissimo anche se ci limitiamo ai
sistemi di riferimento inerziali relativi tra loro.
Per passare da un sistema inerziale ad un altro si usano le
trasformazioni di Galileo.
Esse assumono che lo scorrere del tempo sia indipendente
dal moto relativo dei due osservatori.
Meccanica Newtoniana
Trasformazioni di Galileo
L’osservatore O2 si allontana dall’osservatore O1 con moto relativo
rettilineo ed uniforme lungo l’asse x, con velocità v0
x = x’ + v0∙t
y = y’
z = z’
t = t’
x’ = x - v0∙t
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Meccanica Newtoniana
Seconda Legge
Un oggetto sottoposto all’azione di forze esterne lascia lo
stato di quiete (o di moto rettilineo uniforme) e viene
accelerato, come descritto dalla famosissima equazione :
F = ma
•F è la somma di tutte le forze (gravitazionali, elettriche, di
attrito…) ed appare in grassetto perché è un vettore.
•m è la massa inerziale dell’oggetto (quantità di materia)
•a è l’accelerazione (variazione di velocità) ed appare in
grassetto perché è un vettore.
Questa equazione è uguale in tutti i sistemi di riferimento
inerziali!
Meccanica Newtoniana
Seconda Legge - II
Ricordiamoci che la velocità è un vettore, quindi
l’accelerazione provocata da una forza può variare:
•la direzione della velocità e/o
•il verso della velocità e/o
•il modulo della velocità
L’accelerazione provoca una variazione di velocità che è
indipendente dalla velocità che aveva il sistema di
riferimento prima dell’applicazione (come già detto).
Nota: la forza può essere funzione della velocità (ad
esempio, la resistenza dell’aria).
Meccanica Newtoniana
Seconda Legge - III
Vediamo un esempio di un corpo che subisce una forza
diretta verso un punto fisso (potrebbe essere l’attrazione
gravitazionale esercitata dal Sole su un pianeta).
Il pianeta tenderebbe a muoversi di
moto rettilineo lungo la tangente
alla sua traiettoria, ma la forza Fc
lo costringe a muoversi lungo una
circonferenza. La forza cambia
continuamente direzione, poiché è
diretta sempre verso il punto centrale.
Meccanica Newtoniana
Terza Legge (Principio di Azione e Reazione)
Una forza che agisce su un corpo A non nasce dal nulla.
Deve esistere un secondo corpo B che origina la forza FBA
su A. Però anche A genera la forza FAB su B, con la stessa
direzione, stesso modulo, ma verso opposto.
Esempio banale: il Sole attrae la Terra, ma anche la Terra
attrae il Sole con la stessa forza. I due corpi ruotano
attorno al loro baricentro. La massa del Sole
è molto maggiore di quella della Terra ed il
baricentro si trova entro il diametro solare.
Ma non sempre è così. La figura si riferisce
alla coppia Plutone/Caronte (il baricentro è
indicato dalla crocetta rossa).
Meccanica Newtoniana
Legge della Gravitazione Universale
Ogni corpo attrae qualsiasi altro corpo con una forza data
dalla legge riportata in figura, dove:
•G è la costante gravitazionale
•m1 e m2 sono le masse gravitazionali
dei due corpi in questione
•r è la distanza che li separa
Nota: come dalla III legge, la forza è in realtà una coppia di forze
Ora sappiamo (teoria della Relatività Generale) che questa
legge è valida solo quando l’intensità della Gravitazione è
bassa (ad es. lontano dal Sole) e per velocità basse
rispetto a quella della luce
Meccanica Newtoniana
Osservazioni
• Un corpo, sotto l’azione di forze opportune, può essere
accelerato ad una velocità infinita (no in Rel. Speciale).
• Il tempo scorre uniformemente per tutti gli osservatori
inerziali (no in Rel. Speciale).
• Azione a distanza: la forza gravitazionale agisce
istantaneamente nel vuoto fra i corpi, a qualsiasi distanza.
Newton non riuscì a trovare una spiegazione e scrisse la
famosa frase Hypotheses non fingo (no in Rel. Generale)
•Il valore numerico della massa inerziale e quello della
massa gravitazionale sono gli stessi (no in Rel. Generale).
g = accelerazione dei gravi sulla terra
MINgrave ∙ g = G ∙ MGRgrave ∙ MTerra / r2Terra → g ≈ 9,8 m/s2
Elettromagnetismo
Inizi
• Il magnetismo, ossia il fatto che pezzi di ossidi di ferro si
attraggono reciprocamente, era noto già agli antichi greci.
• Lo studio dell’elettromagnetismo comincia quando Volta
inventa la pila elettrica (fine Settecento). Essa genera una
corrente continua di elettricità per lunghi periodi di tempo.
• Nel 1820 il danese Oersted scopre che l’ago magnetico della
bussola è deviato da una corrente elettrica che fluisce nei
pressi.
•Il francese Ampère dimostra che due fili percorsi da corrente
elettrica esercitano un’interazione magnetica allo stesso modo
di due calamite. Ipotizza che l’origine del magnetismo nella
materia sia la circolazione di correnti elettriche elementari in
essa (1821).
Elettromagnetismo
Faraday
• Nel 1831 l’autodidatta Faraday mostra che i magneti possono
produrre correnti elettriche. Fa muovere una calamita in una bobina
di filo conduttore ed un galvanometro misura il passaggio di
corrente. Così si completa la simmetria fra elettricità e magnetismo
(però il magnete deve essere in movimento).
•Faraday introduce la nozione di campo elettromagnetico: in ogni
punto dello spazio sono presenti delle linee di forza
che rappresentano la presenza delle forze
elettriche e di quelle magnetiche. Questo
è il contrario del principio di azione a
distanza di Newton.
In figura: la limatura di ferro segue le linee di forza di un magnete.
Elettromagnetismo
Maxwell
• Lo scozzese Maxwell (morto a 48 anni) trasformò in equazioni
matematiche tutti i risultati sperimentali di Faraday.
•Queste sono equazioni alle derivate parziali che, in ogni punto
dello spazio, mettono in relazione le variazioni del campo
magnetico con le variazioni del campo elettrico indotto. Un campo
può variare sia nello spazio che nel tempo. Ad esempio, la
variazione parziale del campo elettrico nello spazio genera
variazioni nel tempo del campo magnetico.
•Ne risulta la propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto
con la velocità della luce! È il primo indizio che la luce non è altro
che un’onda elettromagnetica.
•Nel 1888, dopo la morte di Maxwell, il tedesco Hertz trovò la
conferma sperimentale di tutto ciò.
Elettromagnetismo
Equazioni di Maxwell
Elettromagnetismo
Equazioni di Maxwell - II
Commentiamo la diapositiva precedente:
•Come al solito, i simboli in grassetto indicano grandezze vettoriali.
•E è il campo elettrico
•B è il campo magnetico
•ρ è la carica elettrica
•J è la densità di corrente elettrica
•ε0 e μ0 sono delle costanti che mettono a posto le unità di misura
•Lo studio matematico di queste equazioni mostra che
corrispondono ad onde che si propagano alla velocità della luce
Elettromagnetismo
Equazioni di Maxwell - III
Commentiamo ancora le equazioni:
•La prima dice semplicemente che il campo elettrico E su una
superficie chiusa viene generato dalle cariche elettriche ρ presenti
all’interno della superficie stessa.
•La seconda dice che non esistono cariche magnetiche (poli
magnetici) isolate. Esistono solo i dipoli che hanno il polo positivo
e quello negativo fusi assieme.
•La terza (legge di Faraday) dice che un campo magnetico B
variabile nel tempo genera “induce” un campo elettrico E.
•La quarta (legge di Ampère) dice che le correnti elettriche J e le
variazioni nel tempo del campo E generano un campo magnetico
B.
Elettromagnetismo
Etere
•Dopo due secoli di meritato trionfo del meccanicismo di Newton, i
contemporanei di Maxwell (egli compreso) sentono il bisogno di
inserire l’elettromagnetismo in un quadro meccanico.
•Come le onde sonore hanno bisogno dell’aria per propagarsi, così
le onde elettromagnetiche devono oscillare nell’etere, sostanza che
deve permeare tutto lo spazio. Possiede caratteristiche misteriose:
da un lato non deve offrire resistenza al passaggio dei corpi (ci
siamo immersi dentro), dall’altro deve essere elastico per vibrare e
deve essere molto rigido per consentire una velocità di
propagazione altissima come quella della luce.
Elettromagnetismo
Etere - II
•Newton sostenne la teoria corpuscolare della luce e, grazie alla sua
fama, essa rimase in auge nella prima parte del ‘700. Ricordiamoci
che Newton progettò e costruì il primo telescopio (mentre Galileo
costruì un cannocchiale).
•In questa teoria il problema dell’azione a distanza si risolve
facilmente: la luce è in grado di attraversare lo spazio vuoto
proprio grazie ai corpuscoli dai quali è costituita.
•La teoria ondulatoria della luce, che ben presto prese il
sopravvento, aveva bisogno di un mezzo per la propagazione delle
onde: l’etere luminifero, che fu poi consacrato trionfalmente dalle
equazioni di Maxwell.
•Adesso la meccanica quantistica afferma che le interazioni
avvengono tramite i bosoni, che sono sia onda che particella.
Elettromagnetismo
Esperimento di Michelson-Morley
•La teoria dell’etere luminifero, che aveva ricevuto nuovo vigore
dalle equazioni di Maxwell, fece tornare in auge il concetto di
spazio assoluto sostenuto da Newton. Magari questo etere poteva
essere proprio lui lo spazio assoluto.
•Michelson, un americano nato in Polonia, studiò e costruì uno
strumento (interferometro) per misurare la velocità della Terra
rispetto all’etere (1887).
•Un interferometro sfrutta le proprietà ondulatorie della luce. Se
due onde vengono sovrapposte (vedi figura), forma una immagine
che consente
di stabilire se sono o meno
“in fase”.
Elettromagnetismo
Esperimento di Michelson-Morley - II
•Lo strumento consiste di due bracci (di identica lunghezza) che si
congiungono ad angolo retto.
All’estremità di ciascun braccio è
posto uno specchio. Nel punto di
congiunzione è posto uno specchio
semiriflettente: metà della luce passa
attraverso la superficie non riflettente
mentre l’altra metà viene riflessa ad
angolo retto lungo il secondo braccio.
I due raggi di luce rimbalzano sugli
specchi alle estremità e si incontrano nuovamente nel rilevatore,
interferendo l’uno con l’altro. Solo se il tempo impiegato dalla luce
per percorrere i due bracci è lo stesso, i due raggi si incontreranno in
fase.
Elettromagnetismo
Esperimento di Michelson-Morley - III
•Se il tempo impiegato non è lo stesso, nell’oculare dello strumento
si osservano delle “frange di interferenza” simili a quelle in figura.
Essendo i due bracci identici,
la fisica classica dice che può accadere solo
se la velocità della luce è diversa nelle due
direzioni (salto i passaggi matematici).
Ad esempio, il braccio
orizzontale si potrebbe trovare proprio nella direzione di
scorrimento dell’etere (tangente al moto di rivoluzione della Terra).
L’esperimento fu eseguito parecchie volte, a diverse ore del giorno
ed in diversi mesi, cambiando anche la direzione dello strumento.
Non fu mai osservata alcuna frangia di interferenza indicante
velocità diverse.
Elettromagnetismo
Esperimento di Michelson-Morley – IV
•L’esito dell’esperimento di Michelson-Morley suscitò scalpore fra i
fisici di fine Ottocento.
•Furono formulate delle ipotesi: la forza elettromagnetica dell’etere
in moto rispetto al braccio dello strumento ne aveva accorciato la
lunghezza, agendo sulle molecole elettricamente cariche del metallo
(contrazione di FitzGerald-Lorentz).
•L’esperimento fu ripetuto con bracci in legno, ma l’esito era sempre
uguale.
•Einstein non diede importanza all’esperimento. Per lui l’esito era
scontato.
•Egli confidava nella forza del ragionamento (esperimenti pensati) e
nella creatività dell’intuizione. Chiaramente, le ipotesi andavano poi
suffragate dagli esperimenti.
Relatività Speciale
Einstein
•Einstein crede fermamente nel principio di relatività galileiano: le
leggi fisiche sono identiche per tutti gli osservatori inerziali.
Ciascuno di tali osservatori può giustamente affermare di essere in
quiete, mentre gli altri sono in moto rettilineo uniforme rispetto a
lui. Non è quindi possibile escogitare un esperimento per trovare un
osservatore in quiete assoluta (spazio assoluto).
•Le leggi fisiche comprendono sia le equazioni meccaniche di
Newton che le equazioni elettromagnetiche di Maxwell.
•Come conseguenza, Einstein considera ovvio il fatto che
l’esperimento di Michelson-Morley non abbia determinato la
presenza dell’etere (spazio assoluto).
Relatività Speciale
Einstein – Esperimento pensato
•Einstein sa che le leggi di Newton NON impediscono ad un
osservatore di raggiungere la velocità della luce. Basta che venga
accelerato per un tempo abbastanza lungo da una forza per quanto
piccola.
•Raggiunta la velocità della luce, questo osservatore può viaggiare
alla stessa velocità di un’onda elettromagnetica, ad esempio di
forma sinusoidale.
•Ora se l’osservatore si muove di fianco ad un picco della sinusoide
(ad esempio), NON vede più l’andamento oscillatorio richiesto dalle
equazioni di Maxwell.
•Pertanto o le equazioni di Maxwell sono sbagliate o è impossibile
che un osservatore viaggi alla velocità della luce.
Relatività Speciale
Trasformazioni di Galileo
•Einstein sa che dalle equazioni di Maxwell si può ricavare la velocità
della luce:
e che tale valore è una costante; μ0 e ε0 sono delle costanti che
descrivono le proprietà elettromagnetiche del vuoto.
•Per il principio di relatività, tutti gli osservatori inerziali devono
misurare questa stessa velocità per la luce, indipendentemente dalla
loro velocità relativa.
•Pertanto le trasformazioni di Galileo, che consentono di sommare la
velocità della luce a quella di un sistema di riferimento, sono
sbagliate.
Relatività Speciale
Trasformazioni di Galileo - II
Ecco due sistemi di riferimento inerziali S e S’; S’ è una
astronave che si allontana da
S a velocità v nel riferimento S,
a sua volta S’’ si allontana da S
a velocità (costante) ω sempre
lungo l’asse delle x.
Le trasformazioni galileiane
dicono che la velocità V di S’’
rispetto a S’ ha direzione
lungo l’asse delle x e modulo:
V= ω-v
Supponiamo che S’’ sia un fotone con ω = c e che v = c/2 , ne
consegue V = c - c/2 = c/2 , che contraddice l’invarianza della
velocità della luce (teoria di Maxwell).
Relatività Speciale
I Precursori
•Einstein è un autodidatta
•Quando pubblica la sua teoria (nel 1905, all’età di 26 anni) è un
impiegato dell’ufficio dei brevetti di Berna e non ha alcun contatto col
mondo degli scienziati e neppure ha accesso alle pubblicazioni
specializzate. Quindi non sa che l’anno prima alcuni scienziati si erano
avvicinati ai suoi risultati.
•L’olandese Lorentz aveva trovato le trasformazioni con le quali le
equazioni di Maxwell non cambiano forma col sistema di riferimento,
ma non capisce che esse devono sostituire anche le trasformazioni
galileiane per la meccanica.
•Il francese Poincaré intuisce che la meccanica deve essere rinnovata,
per far valere il principio di relatività anche per l’elettromagnetismo,
ma non riesce ad abbandonare il concetto di spazio e tempo assoluti.
Relatività Speciale
Annus Mirabilis - 1905
Nel 1905, l’Anno delle Meraviglie, Einstein pubblica quattro articoli
rivoluzionari:
1.Un punto di vista euristico sulla produzione e la trasformazione
della luce: sull’effetto fotoelettrico ed i quanti di energia. Questo
saggio gli valse il premio Nobel nel 1921.
2.Il moto di piccole particelle sospese in liquidi in quiete, secondo la
teoria del calore: sul moto browniano, la meccanica statistica e
l’esistenza degli atomi.
3.Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento: è la relatività
speciale!
4.L'inerzia di un corpo dipende dal contenuto di energia?: è un
approfondimento dell’articolo precedente, dove si ricava la
famosissima equazione E = mc2
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper
Questo breve saggio inizia presentando due postulati:
•Postulato di relatività: il principio di relatività di Galilei deve valere
per tutte le leggi della fisica, e non solo per la dinamica; in
particolare deve valere anche per l’elettromagnetismo. Ciò implica
che leggi di trasformazione delle coordinate spaziotemporali nel
passaggio da un sistema inerziale ad un altro non possono essere
quelle di Galilei.
•Postulato dell’invarianza della velocità della luce nel vuoto: questo
valore non cambia nel passaggio da un sistema di riferimento ad un
altro. Il fatto che la velocità della luce non si componga con la
velocità del sistema di riferimento implica che la legge di
composizione delle velocità non sia semplicemente additiva.
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper - II
Il saggio continua così:
•Il concetto di “etere luminifero” diventa superfluo, perché la
teoria non ha bisogno di uno spazio assoluto con proprietà
particolari.
•Critica del concetto di simultaneità: possiamo sapere se due
orologi, in quiete nel nostro sistema di riferimento, sono
sincronizzati. Basta misurare la distanza fra di essi, ponendo
una serie di metri l’uno accanto l’altro, poi ci mettiamo nel
punto mediano e diciamo a collaboratori posti vicino agli
orologi di inviare dei segnali di luce quando i rispettivi orologi
segnano ad esempio le sette. Se i due segnali arrivano
simultaneamente nel punto mediano, allora sappiamo che i
due orologi sono sincronizzati.
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper - III
Relatività della simultaneità
Due eventi che appaiono simultanei ad osservatori in stato di
quiete, appaiono tali anche ad osservatori in stato di moto?
Immaginiamo un osservatore in stato di quiete a metà strada fra i
due orologi per eseguire la prova di prima e che proprio mentre
comincia l’esperimento un osservatore in movimento passi per tale
punto mediano. Entrambi gli orologi in stato di quiete segnano le 7
ed emettono un segnale luminoso, come convenuto. Dal punto di
vista dell’osservatore in stato di quiete che si trova a metà strada, i
due segnali si incontrano simultaneamente alcuni istanti dopo.
Invece, dal punto di vista dell’osservatore in movimento, questo non
accade!
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper - IV
Relatività della simultaneità (continuazione)
L’osservatore in moto si sta muovendo verso una delle due luci e si
sta allontanando dall’altra, quindi la distanza percorsa dal primo
segnale verso di lui è minore di quella percorsa dalla seconda luce.
Per il postulato dell’invarianza della velocità della luce, il primo
raggiungerà l’osservatore in anticipo rispetto al secondo.
L’osservatore in movimento sosterrà che i due orologi non sono
sincronizzati. Il tempo misurato da un osservatore in moto è diverso
da quello misurato dall’osservatore in quiete. È una conseguenza del
fatto che la velocità della luce non è infinita. Gli orologi in stato di
moto vanno più lentamente di quelli in stato di quiete.
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper - V
Ecco le trasformazioni per passare da un sistema di riferimento
inerziale all’altro (dette trasformazioni di Lorentz):
È evidente che il tempo t’ scorre diversamente dal tempo t.
L’osservatore O1 vede che il tempo t’ in O2 scorre più lentamente di
quello t misurato nel suo stesso sistema O1 (dilatazione del
tempo).
O1 si accorge pure che un righello, fermo lungo l’asse x, è più corto
rispetto alla misura ricavata in O2 (contrazione della lunghezza).
Relatività Speciale
Zur Elektrodynamik bewegter Körper - VI
Nella diapositiva precedente, compare il fattore moltiplicativo detto
fattore di Lorentz:
Dal grafico di γ in funzione di v,
si vede che esso tende all’infinito
per v → c.
Sempre dalla diapositiva precedente, si può vedere che per
c che si avvicina ad infinito (c → ∞), le trasformazioni di Lorentz
diventano quelle di Galileo.
Relatività Speciale
Contrazione della Lunghezza
Ecco la derivazione matematica della
contrazione della lunghezza.
Nel sistema S’, che si allontana da S con
velocità v lungo l’asse delle x, poniamo un
regolo di lunghezza L’ tra i punti x’A e x’B .
Chiaramente è:
L’ = x’B - x’A
Scriviamo le trasformazioni di Lorentz:
x’A = γ(xA - v∙t)
x’B = γ(xB - v∙t)
Di conseguenza il regolo, nel sistema S, ha lunghezza pari a:
L = xB - xA = (x’B - x’A)/ γ + v∙t - v∙t = L’/γ (1/γ è < 1)
La lunghezza di un regolo dipende dal sistema di riferimento in cui la
si misura ed assume il valore massimo quando viene misurata nel
sistema di riferimento in cui il regolo è in quiete.
Relatività Speciale
Dilatazione del Tempo
Relatività Speciale
Dilatazione del Tempo
Dal teorema di Pitagora si ricava:
( ½ct )2 - (½vt)2 = L2
t è il tempo del sistema in moto
Ricordiamoci che:
T = 2L/c
T è il tempo del sistema in quiete
Sostituendo:
⅟₄ (ct)2 - ⅟₄ (vt)2 = ⅟₄c2T2
Si ricava:
Relatività Speciale
Composizione delle Velocità
Ecco due sistemi di riferimento inerziali S e S’; S’ è una
astronave che si allontana da
S con velocità v nel riferimento S,
a sua volta S’’ si allontana da S
con velocità (costante) ω sempre
lungo l’asse delle x.
Le trasformazioni relativistiche
dicono che la velocità V di S’’
rispetto a S’ ha direzione lungo
l’asse delle x e modulo:
V = (ω – v) / (1 - ω∙v/c2)
Supponiamo che S’’ sia un fotone con ω = c e che v = c/2 , ne
consegue V = ½c / (1 - ½) = c , in pieno accordo con l’invarianza
della velocità della luce (teoria di Maxwell).
Relatività Speciale
E = mc2
•L’ultimo saggio del 1905 in sole tre pagine ricava dalla teoria della
Relatività Speciale questa equazione fondamentale ed inattesa:
E = mc2 (dove E è l’energia, m è la massa del corpo).
•Se l’osservatore è in quiete rispetto al corpo, m è la massa a riposo
(m0) corrispondente alla massa inerziale di Newton; E indica
l’energia immagazzinata all’interno del corpo stesso.
•Se invece il corpo è in moto rispetto all’osservatore, m è la massa
relativistica (che aumenta con la velocità) ed E è la somma
dell’energia interna e dell’energia cinetica dovuta al moto stesso.
Relatività Speciale
E = mc2
Esiste la seguente relazione relativistica tra l’energia totale
E di una particella e il modulo p della sua quantità di moto:
E2 = p2c2 + m2c4
dove m è la massa a riposo.
Questa equazione è storicamente importante perché,
dopo averla introdotta nelle equazioni quantistiche delle
particelle libere, è stata scoperta l’esistenza delle
antiparticelle.
Una spiegazione semplicistica potrebbe essere questa:
E2 corrisponde ai due valori +E e –E, rispettivamente della
particella e della sua antiparticella.
Relatività Speciale
E = mc2 - Applicazioni
•Il fisico inglese Dirac introdusse le formule relativistiche dell’energia
e della quantità di moto all’interno della meccanica quantistica. Ciò
consentì di predire l’esistenza dell’antimateria (1928). L’antielettrone
(o positrone) venne scoperto poco dopo, nel 1932.
•È risaputo che la massa del protone è molto maggiore di quella
dell’elettrone (1836 volte). Invece pochi sanno che questa massa è
dovuta al frenetico movimento dei quark e dei gluoni che formano
internamente il protone, simile all’agitarsi di una mosca intrappolata
in una mano. L’energia cinetica di questi movimenti si converte nella
massa del protone.
Relatività Speciale
Spaziotempo di Minkowski
Minkowski, che era stato un insegnante di Einstein, si
accorge che la Relatività dimostra che lo spazio ed il tempo
sono uniti in uno spaziotempo quadridimensionale.
Un evento è qualunque cosa accada in un dato luogo e in
un dato istante.
Possiamo caratterizzarlo con le tre coordinate spaziali che
indicano dove ha avuto luogo, associate alla coordinata
temporale che indica quando si è verificato.
Usiamo i simboli x, y, z per indicare le tre coordinate
spaziali e la variabile t per indicare quella temporale.
Un evento è univocamente determinato dalla quaterna
(x, y, z, t).
Spazio euclideo
Distanza tra due punti
La distanza tra
i punti A e B è
data dalla
formula:
_________________
d = √ (xB – xA)2 + (yB – yA)2
(2 dimensioni)
__________________________________
d = √ (xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2 + (tB – tA)2
(4 dimensioni)
Relatività Speciale
Spaziotempo di Minkowski – Intervallo
Sappiamo che i punti della geometria quadridimensionale
di Minkowski si chiamano eventi. La distanza tra due eventi
A e B si chiama intervallo e qui lo indichiamo con d:
d2 = c2(tB - tA)2 – (xB - xA)2 – (yB - yA)2 – (zB – zA)2
Questo valore è una invariante per qualsiasi osservatore
inerziale. E’ l’analogo della distanza euclidea, ma
confrontandolo con la diapositiva precedente, si vede che è
diverso, a causa della comparsa del segno “-”.
La geometria di Minkowski è pseudo-euclidea.
Non è uno spazio curvo (vedi Relatività Generale).
Relatività Speciale
Spaziotempo di Minkowski – Intervallo II
Supponiamo che l’evento A corrisponda all’emissione di un
segnale luminoso e che l’evento B corrisponda all’arrivo di
questo segnale luminoso. Per la definizione di velocità:
(xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB – zA)2
–––––––––––––––––––––––– = c2
(tB – tA)
Si ricava immediatamente (vedi diapositiva precedente) che
l’intervallo che separa i due eventi “invio di un segnale
luminoso” e “arrivo di un segnale luminoso” è uguale a
zero. Questo è vero per qualsiasi osservatore.
Relatività Speciale
Classificazione degli intervalli
Il quadrato dell’intervallo (che è indipendente dal sistema
di riferimento) può essere:
• Nullo: l’intervallo è detto di tipo luce (come già visto)
• Positivo: l’intervallo è detto di tipo tempo.
E’ il caso di due eventi separati spazialmente nel sistema S; si trova
che esiste un sistema S’ in cui i due eventi occupano la stessa
posizione nello spazio. Se i due eventi sono relativi alla stessa
particella materiale, l’intervallo tra essi è sempre di tipo tempo.
• Negativo: l’intervallo è detto di tipo spazio.
E’ il caso di due eventi che avvengono in istanti differenti nel sistema
S; si trova che esiste un sistema S’ in cui i due eventi avvengono
simultaneamente.
La prossima diapositiva (il Cono di Luce) chiarisce questi concetti.
Relatività Speciale
Cono di Luce
Per comodità, è
raffigurata una sola
dimensione spaziale.
A e B sono eventi
separati da un intervallo
di genere tempo.
A e C sono eventi
separati da un intervallo
di genere spazio.
Relatività Speciale
Cono di Luce: commenti
•Tutti gli eventi interni al cono luce e corrispondenti a istanti
successivi a quello di A costituiscono il futuro assoluto di A, qualsiasi
sia il sistema di riferimento inerziale. Esiste però un sistema di
riferimento in cui i due eventi occupano lo stesso punto dello spazio.
•Tutti gli eventi esterni al cono luce costituiscono l’altrove assoluto di
A. Questi eventi rimangono, in qualsiasi sistema di riferimento, in
punti dello spazio diversi da A. Non esiste alcun sistema nel quale
uno di tali eventi coincida spazialmente con l’evento A. Però esistono
dei sistemi nei quali esso è successivo ad A, oppure esso precede A,
oppure esso accade simultaneamente ad A.
•Il confine del cono è costituito dai raggi di luce che partono da A o
arrivano in A.
Osservazioni conclusive
•Nel 1905, il tempo era ormai maturo per la nascita della Relatività
Speciale. Fin dai tempi di Maxwell i migliori scienziati discutevano
sull’etere e la velocità della luce.
•Alcuni, per amore di polemica, dicono che lo scopritore della
relatività fu Poincaré, subito prima di Einstein.
•In realtà Poincaré sostenne sempre l’esistenza dello spazio assoluto
(anche se non poteva essere identificato) ed inoltre ragionava su
modelli fisici particolari (ad esempio, la materia è formata da
elettroni sferici piuttosto che ellittici…).
•Einstein usò invece ragionamenti puramente geometrici, di validità
generale e di stile filosofico.
•Einstein portò all’estremo il suo stile di ragionamento, che dava
molta importanza alla intuizione ed alla creatività, arrivando alla
titanica teoria della Relatività Generale (RG) nel 1915.
•L’unica sconfitta di Einstein fu contro la nascente Meccanica
Quantistica (MQ). Tuttora RG e MQ sono due teorie irriducibili.