Esercizi e complementi di
Economia dei Sistemi Industriali 2
(teoria degli oligopoli)
Introduzione alla Teoria dei Giochi
Parte seconda
1
GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA
Le scelte dei giocatori vengono effettuate secondo una certa sequenza
temporale
L'informazione che ciascun giocatore possiede quando è il suo turno di
scelta è un elemento costitutivo del gioco e svolge un ruolo cruciale nella
determinazione della soluzione
PROBLEMA CENTRALE: CREDIBILITÀ
descrizione di un gioco non cooperativo
forma normale o strategica
forma estesa
Per i giochi dinamici viene spesso utilizzata la forma estesa
2
LA DESCRIZIONE IN FORMA ESTESA
specifica i seguenti elementi:
1) un insieme di giocatori N =1, 2, ..., n
2) l'ordine delle mosse del gioco (chi muove e quando)
albero del gioco costituito da un insieme ordinato di nodi dotati di
una relazione di precedenza
attribuzione dei nodi ai giocatori che specifica a chi è intestato
ciascun nodo
Z insieme dei nodi terminali (nodi senza successori) associati ai
payoff
3) le informazioni disponibili per ciascun giocatore iN ogni volta che
ha diritto alla mossa
Di classe degli insiemi di informazione del giocatore i (partizione
dell'insieme dei nodi attribuiti ad i)
di Di generico insieme di informazione del giocatore i
3
4) le scelte disponibili per ciascun giocatore i N ogni volta che
ha diritto alla mossa:
Ai (di ) insieme di azioni o mosse ammissibili per il
giocatore i in tutti i nodi non terminali dell'albero che
appartengono a di
ai Ai (di ) generica azione ammissibile per il giocatore i
5) i payoff conseguiti da ciascun giocatore in corrispondenza di
ogni combinazione di mosse che può essere scelta dai
giocatori
una funzione di payoff ui : Z R per ciascun giocatore i
N
ui (z) è il payoff ottenuto dal giocatore i se viene
raggiunto il nodo terminale z Z
4
ESEMPIO 9
1
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S2
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ESEMPIO 10
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112 109
10 19
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185 142
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102 100
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50 54
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Una strategia di un giocatore è un piano completo di
azione (specifica un'azione ammissibile del giocatore
per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere
chiamato ad agire)
I payoff conseguiti da ciascun giocatore sono indicati
in corrispondenza dei nodi terminali dell'albero del
gioco (in corrispondenza di ogni combinazione di
mosse che può essere scelta dai giocatori)
7
INSIEMI INFORMATIVI
Un'insieme di informazione del giocatore i, di Di , è un
insieme di nodi decisionali che soddisfano le seguenti
condizioni:
in corrispondenza di ogni nodo dell'insieme informativo
il giocatore i ha diritto alla mossa
quando lo svolgimento del gioco raggiunge un nodo
dell'insieme informativo, il giocatore i non sa quale
nodo dell'insieme informativo è stato raggiunto.
OSSERVAZIONE
In ogni nodo decisionale appartenente ad un insieme
informativo, il giocatore deve avere lo stesso insieme di azioni
ammissibili Ai (di ) altrimenti sarebbe in grado di capire quale
nodo dell’insieme informativo è stato raggiunto.
8
DEFINIZIONI
Un gioco G è caratterizzato da informazione perfetta se ogni
insieme di informazione è costituito da un singolo nodo
Un gioco G è caratterizzato da informazione imperfetta se vi
è almeno un insieme di informazione composto da più di un
nodo
GIOCHI DINAMICI CON INFORMAZIONE COMPLETA E
PERFETTA
Esempio: esempio 10
I giocatori muovono in successione
Tutte le mosse precedenti sono conoscenza comune
Sono conoscenza comune anche i payoff per ogni
combinazione di mosse
9
GIOCHI DINAMICI, CON INFORMAZIONE COMPLETA E
IMPERFETTA
Esempio: esempio 9
I giocatori muovono in successione
Non tutte le mosse precedenti sono conoscenza
comune
Sono conoscenza comune anche i payoff per ogni
combinazione di mosse
10
NOZIONE DI SOTTOGIOCO
definizione
Un sottogioco di un gioco in forma estesa è un sottoinsieme
dei nodi dell'albero che:
comincia da un nodo decisionale che appartiene ad un
insieme informativo di cui è l'unico elemento
comprende tutti i nodi decisionali e terminali successivi (ma
nessun nodo che non sia successivo)
mantiene la stessa struttura di insiemi di informazione del
gioco a cui si riferisce (non spezza alcun insieme
informativo)
Un sottogioco si dice proprio se non coincide con il gioco a cui
si riferisce
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ESEMPIO 10
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P2 P1
P2
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P2 P1
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102 100
78
90
55
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50 54
154 145
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ESEMPIO 9
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S1
S2
2
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S1
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S2
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P2 P1
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24 26
10 19
112 109 100 187
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P2 P1
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185 142
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169 104
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102 100
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154 145
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DEFINIZIONE
Def. (Selten, 1965) Un equilibrio di Nash è perfetto nei
sottogiochi se le strategie dei giocatori costituiscono
un'equilibrio di Nash in ogni sottogioco.
Un equilibrio perfetto nei sottogiochi aggiunge alla nozione di
equilibrio di Nash il requisito che la strategia di ogni giocatore i
sia ottimale rispetto a ciò che fanno gli altri anche in ogni
sottogioco proprio.
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EQUILIBRIO di NASH nell’esempio 10
1
S1
S2
2
2
S1
P1
1
S2
P2
2
S1
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2
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P2 P1
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112 109
10 19
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16 15
185 142
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86 96
102 100
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50 54
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PROCEDURA RISOLUTIVA:
Backwards induction (induzione a ritroso)
In un gioco con informazione completa e perfetta la
procedura di backwards induction elimina le minacce non
credibili.
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s
d
2
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3
1
2
d
s
1
2
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1
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0
0
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RAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO DINAMICO IN FORMA NORMALE
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0
0
Nel gioco statico strategia ed azione coincidevano
STRATEGIA di un giocatore è un piano completo di azione,
specifica un’azione ammissibile del giocatore per ciascuna
circostanza in cui il giocatore può essere chiamato ad agire
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1
s
S1,2 s, d
d
insieme delle strategie di 2
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RAPPRESENTAZIONE DI UN GIOCO STATICO IN FORMA ESTESA
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