Cap._11_Eq._Maxwell

Equazioni di Maxwell nel vuoto
Q interna S
^


E

ρ/ε
E

n
dS
'

o

S chiusa
o
Legge di Gauss
I eq. Maxwell
d
fem   E  dl   (  B ^ndS ' )
dt S

Legge di Faraday Neumann Lenz
B
II eq. Maxwell
E  
t
^
B

 n dS '  0 B solenoidale
S chiusa
B  0
III eq. Maxwell
IV equazione di Maxwell ?
E IV eq. Maxwell
  B  o J   o εo
t
equaz. Maxwell magnetostaica
+ nuovo termine

^ dS ')

μ
(
ε
E

n
 B  dl   o S J  n dS ' o t S o
Γ
^

Legge di Ampère - Maxwell
Hanno validità più generale rispetto
a quelle per la magnetostatica
Corrente di Spostamento
densità di
 (εo E)
D D
;
corrente di
o
 o
t
 t  t spostamento
D ^
corrente
di
spostamento
S  t  n dS ' attraverso superficie S
equazione Maxwell
magnetostaica
  B  o J
    B  0  o  J
J  0

J

n
dS
'

0

^
S chiusa
valida solo con correnti stazionarie
In generale: eq. continuità della carica
ρ
J  
t

(Qint erno S )
^
J  n dS '  
t
S chiusa
E
  B   o J   o εo
 (ε o   E) t
    B  0  o  J   o
IV eq.Maxwell
t
 o  E  

 J  
t
Nuovo termine continuità della carica
 IV eq. Maxwell vale nel caso generale
Condensatore piano
I=dQ/dt , Q carica condensatore
Area S
B
R
Filo:
Γ
corrente stazionaria
J  0
 E filo
I
t
0
Legge di Ampère- Maxwell attraverso S
E filo ^
 B  dl   o S J  n dS '  μo εo (S t  n dS )

Γ
o I
2RB  o I S  B 
2R
^
Area S
R
B
Γ
Superficie S’
I
Se calcolo B nella stessa posizione con
legge di Ampère - Maxwell attraverso S’
 dovrei avere stesso risultato (Stokes)
S
B
-
+
+
+
E
- - Area A I
S’
B Γ
+
+
 (t ) Q(t )
E
(
t
)


0
A 0
I=dQ/dt
legge di Ampère - Maxwell attraverso S’

^
^

μ
(
(
ε
E
)

n dS )
B

d
l


J

n
dS
o 
o
o


t S '
S

o I
( (t ) A)
Q
B
2RB  o
 o
2R
t
t
'

Flusso attraverso S’ : senza corrente di
spostamento
 B  dl  0 B=0

Equazioni di Maxwell nello spazio
libero (=J=0):onde elettromagnetiche
B
E  0 ( I ) E  
( II )
t E
  B  0 (III)   B   o ε o
B
E  
( II )
t  (  B)
E  
t
t
(IV)
    E  (  E)   E
2
IV eq. di
(  B)
E
  o  o 2
Maxwell 
t
t
2
1  E
 E 2 2
c t
2
2
Eq. di D’Alambert
(delle onde)
c  1/ εo μo  3x10 m/s vel. luce nel vuoto
8
1 E
 E 2 2
c t
1  Ex
 Ex  2
2
c t
1  Ey
2
 Ey  2
2
c t
1  Ez
 Ez  2 2
c t
2
2
2
2
2
2
2
Analogamente dalle (IV), (III) e (II)
1 B
2
 B 2 2
c t
2
1  By
2
 By  2 2
c t
2
1  Bx
 Bx  2 2
c t
2
1  Bz
2
 Bz  2 2
c t
2
2
6 equazioni delle onde (scalari) Ei ,
Bi i=x,y,x
6 equazioni delle onde (scalari) Ei ,
Bi i=x,y,x
g g g 1g



2
2
2
2
2
x y z c t
2
2
2
2
g= Ei , Bi
i=x,y,x
Caso “unidimensionale”:
g= Ei , Bi
2 g 1 2 g
 2 2
2
i=x,y,x
x
c t
Soluzioni : caso “unidimensionale”
g= f ( x ± ct )
qualsiasi funzione combinazione lineare
spazio tempo (termine
matematica
di propagazione)
Componenti di E e di B si propagano
nello spazio (onde elettromagnetiche)
Consideriamo f (x - ct): sia f (0)
f
f (0) a t=0 (x=0)
f (0) a t?
argomento
nullo
x-ct=0
x
x=ct
f (x - ct): propagazione
+x
f (x + ct): propagazione
-x
Soluzioni generali del caso
”unidimensionale”
Ei =E+ f( x -ct )+E- f( x +ct ) ( i=x,y,x)
Bi =B+ f( x -ct )+B- f( x +ct )
Nello spazio libero si propagano onde
elettromagnetiche: chi le genera?
Es: in una zona dello spazio: J( t )
B( t )
E( t )
B( t )
Caso “unidimensionale”: Ei , Bi
solo funzione x (propagano lungo x)
(costanti nel piano zy)  onde piane
da conclusioni ottenute applicando
le equazioni di Maxwell
E (0,Ey,Ez) ;
B (0,By,Bz)
perpendicolari direzione propagazione
 ( onde trasversali)
Consideriamo E  (0 , Ey , 0)
(polarizzato linearmente)
da conclusioni ottenute applicando
le equazioni di Maxwell : B : (0 , 0,Bz)
E : (0 , Ey , 0)  B : (0 , 0,Bz)
E e B direzione propagazione (asse x)
y
E
B
z
x
versore propagazione ^k
E  B | | ^k
 onda e.m. piana è trasversale
ed ha E  B
Onde piane monocromatiche
Perturbazione J (t) periodica :
f.ne d’onda: f(x-ct) = A sin (k[x-ct])
ampiezza
argomento
adimensionale
k = k k^ vettore d’onda; k = 2π / λ
λ = lunghezza d’onda
( distanza percorsa durante periodo T)
^
k  direzione propagazione (| | asse x)
λ= cT  c=λ /T = 2π λ / (2π T)= ω / k
ω=2π / T pulsazione angolare
f(x-ct) = A sin (kx- ω t)
Onde piane monocromatiche
piana monocromatica
f = A sin (kx-ωt)
onda piana si propaga lungo asse x
fronte d’onda | | piano yz
x coordinata del punto in cui si
considera il valore della grandezza
che si propaga (E, B)
Onda e.m. piana monocromatica
polarizzata linearmente
y
E
x
^k
B
z
E  B | | ^k
Ey= Eo sin (kx- ω t) Bz= Bo sin (kx- ω t)
B
II eq. Maxwell   E  
t B
E y E x
z



(  E) z 
x
y
t
Eo k Cos(kx- ω t) = Bo ω Cos (kx- ω t)
Bo= Eo k/ω  Bo = Eo /c
Energia del campo elettromagnetico
Superficie chiusa Σ
^n
S
V
dΣ
^
vuoto
d
 ( wdV)   S  nd + lavoro del
dt V
campo sulla
 chiusa
2
dU 1
1
B
materia
2
w
  oE 
dV 2
2 o
1
S 
E  B ; S vettore di Poynting
o
S energia per unità di tempo
attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)
S energia per unità di tempo
attraverso superficie unitaria
(intensità istantanea dell’onda)
S 
1
o
EB
Bo = Eo /c
Per un’onda monocromatica piana:
2
o
2
o
E
E
2
S(t ) 
Sin (kx  ωt )  Sin 2(kx  ωt )
cμo
Z
impedenza
o
c
Z
 o o
 o caratteristica vuoto
1
Intensità
media
dell’onda
T
1
1 2
I   S(t ) dt 
Eo
T 0
2Z