Dinamica (parte 1)

Dinamica del punto materiale

F
 Studia il moto e le cause che lo determinano
 basata sui 3 principi fondamentali di Netwon
1
Principio di inerzia alla Galileo (I legge della dinamica)
1
piano completamente “liscio”
2
3
4
In assenza di forze o se la risultate delle forze è nulla:
• Se il corpo è a riposo vi rimane
• Se è in moto continuerà a procedere indefinitamente con velocità V
constante.
2
Sistemi di riferimento inerziali
Vt
Il moto è relativo: i vettori posizione,
velocità ed accelerazione dipendono dal
sistema al quale viene riferito il moto
della particella.
Quando un corpo è soggetto a una forza
risultante nulla i sistemi di riferimento rispetto
ai quali la sua accelerazione è zero sono
inerziali.
Nel sistema in moto relativo
uniforme la legge del moto è la
stessa che nel sistema fisso
Sistemi inerziali
Il tipo di moto è lo stesso!
(cambiano le condizioni iniziali)
In tutti i sistemi inerziali le proprietà
dello spazio e del tempo sono identiche,
come pure le leggi della meccanica.
3
Definizione di Forza
Un corpo è soggetto all’azione di una forza (derivante dalla sua
interazione con gli altri corpi che lo circondano) ogni qual volta la sua
velocità cambia nel tempo, ossia possiede un’accelerazione.
La molla tarata: agganciamo all’estremità di una molla un corpo. Se si
tira l’altro estremo della molla in direzione parallela al piano la molla si
allunga ed il corpo acquista una accelerazione nella direzione dell’asse
della molla. A parità di allungamento L, l’accelerazione a è la stessa.
L
Che effetti produce la stessa
forza a corpi diversi?
a
4
II legge della dinamica
La accelerazione di un corpo è proporzionale alla risultante delle forze
che agiscono su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa
inerziale.


F  ma
F   [MLT 2 ]
1Newton  1kg m s 2
La massa di un corpo rappresenta la sua capacità di opporsi
all’accelerazione che una data forza gli imprime…indipendentemente
dalla intesità della stessa.

F

a1

a2

m1 a2
 
m2 a1
5
Considerazioni sulla seconda legge di Newton


 F  ma

è una relazione vettoriale:
tre equazioni scalari
 F  ma
 F  ma
 F  ma
x
x
y
y
z
z

Note le forze in funzione del tempo, della posizione, delle proprietà dei corpi
interagenti (massa, carica, etc.), ci permette di determinare l’accelerazione 
dalla cinematica  la legge oraria

Devono essere prese in considerazione tutte le
forze agenti sul corpo.
Alcune forse agiscono a distanza mentre altre
richiedono che ci sia contatto tra i corpi
interagenti


a
6
Applicazione
mb  500kg


 F  ma
FRx  FAx  FBx  40 N cos(45)  30 N cos(37)  52.2 N
FRy  FAy  FBy  40 Nsen(45)  30 Nsen(37)  10.3N
tan( ) 
FRy
FRx

10.3 N
 0.2
52.2 N
  arctan( 0.2)  11.5o
a

2
2
F  FRx  FRy  51N
51N
 0.1m/s 2
500kg
7
Guida alla risoluzione dei problemi
1. Individuare il punto o i punti materiali di cui si deve
studiare il moto;
2. Fissare il sistema di riferimento inerziale
3. Costruire il diagramma di corpo libero, individuando tutte
le forze che agiscono sul corpo;
4. Applicare la II legge della dinamica a tutti i punti
materiali.
5. Scomporla nelle tre equazioni scalari.
8
Applicazioni dei principi della dinamica..


F 0 a0
Moto uniforme
vcost

F  cost 

 F

a
 a  cost
m
Moto uniform. accelerato
 Determiniamo l’espressione della forza o delle forze presenti.
 Una forza è completamente definita quando si conosce qual è il corpo che
la subisce e qual è il corpo che la genera
9
III legge della dinamica
Il libro esercita una forza di reazione sul
tavolo
Il tavolo esercita una forza sul libro
Principio di azione e reazione: ogni qualvolta un corpo esercita
una forza su di un secondo corpo, il secondo eserciterà una forza
sul primo uguale e contraria.


F12   F21
10
Forza peso e massa
Consideriamo il sistema di riferimento terreste inerziale.
Tutti i corpi, se lasciati liberi, sono attratti verso
Osservazione di Galileo: il suolo con la stessa accelerazione “g”
Forza di attrazione gravitazionale
(tra terra e corpo):



P  ma  mg
Attenzione a non confondere “peso” con “massa”
Il nostro “peso” è la forza con cui veniamo spinti verso il basso P
La nostra “massa” è
P
m
g
La massa ha ovunque lo stesso valore, il peso cambia invece
se fosse sulla luna piuttosto che sulla terra.
La reazione Vincolare
Il corpo è fermo su di un tavolo cioè in equilibrio:
N

a 0
mg
 II legge di Newton: la forza complessiva agente sul corpo deve
essere nulla.




N  mg  0  N  mg

 Il tavolo esercita una forza N uguale e contraria alla forza peso, in
modo tale che la forza risultante che agisce sul corpo sia nulla.
Le reazioni vincolari si manifestano ogni qual volta c’è un vincolo
ossia un impedimento al moto del corpo. Può avere una
componente normale o parallela al vincolo
12
Forza di attrito radente (attrito statico)
La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione
Vincolare. Si parla di attrito statico se non c’è scorrimento tra il corpo e la
superficie su cui il corpo è poggiato.
Proviamo a mettere in moto il corpo m
inizialmente fermo esercitando una forza Fa , m
si muove solo se
FA  s N
N
coeff. d’attrito statico
s  Dipende dalla superficie
Dipende dalla massa del corpo e dalle
condizioni di vincolo
a0
a0
FA   s N
FA   s N
13
Forza di attrito radente (attrito dinamico)
Se il corpo è già in moto
Fatt  d N
d  coefficiente di attrito dinamico
x:
FA  Fatt  ma
FA  d N  ma
d   s
Sempre!!
e s  1
d ......
14
Tensione dei fili
Corda inestensibile di massa trascurabile
i -1
+T

i
-T
+T
i+1
-T
Se si taglia la corda in un punto qualsiasi la parte a destra
del taglio eserciterà su quella a sinistra una forza di modulo
pari alla tensione e viceversa. Il valore della tensione è lo
stesso in ogni punto.
statica :
F  m
a  0  F  0
fune x
15
Tensione dei fili
FA ed FB forze applicate nei due
estremi per tendere il filo
|FB | = | T|
|FA |= |T|
FA
T
-T
FB
|FB|= | F A|= |T|
T forza esercitata agli estremi dal filo teso
Caso filo teso in moto:
INESTENDIBILE tutti i punti si muovono con la
stessa accelerazione
Filo privo di massa  m = 0  ma = 0  T è
ancora la stessa in ogni punto, come nel caso
statico!
16
Tensione dei fili
Corda inestensibile di massa trascurabile

F
Corpo m

T
La fune tira il corpo m
con una tensione T
III legge di Newton il corpo m tira la
fune con una forza uguale ed opposta
alla tensione T
Fune

T

F
fune F  T  m funea x  0  F  T
corpo : T  max  ax  T / m  F / m
La fune ideale trasmette la forza da una estremità all’altra: la forza
applicata alla fune è uguale a quella che la fune applica al corpo m
17
Carrucole Ideali
Carrucole ideali (piccolo raggio e piccola massa, senza
attriti) cambiano la direzione della tensione ma non
l’intensità.
18
Applicazione
Diagramma di corpo libero

a2
x1
y2

T
y1

a1

N

T


m2 g

m1 g
m1=10kg e m2=20kg.
 

m2 g  T  m2 a2  m2 g  T  m2 a2

T  m1 gsen  m1a1
 

T  m1 g  N  m1a1  
 m1 g cos   N
T  m2 g  m2 a
m2  m1sen g  (m1  m2 )a
a
T
m2  m1sen g
(m1  m2 )
m1m2
(1  sen ) g
(m1  m2 )
19
Applicazione
Diagramma di corpo libero

a2
x1
y2

T
y1

a1

N

T


m2 g

m1 g
m1=10kg e m2=20kg.
 

m2 g  T  m2 a2  m2 g  T  m2 a2

T  m1 gsen  m1a1
 

T  m1 g  N  m1a1  
 m1 g cos   N
T  m2 g  m2 a
m2  m1sen g  (m1  m2 )a
a
T
m2  m1sen g
(m1  m2 )
m1m2
(1  sen ) g
(m1  m2 )
20
Applicazioni dei principi della dinamica..
at
p
moto vario
a
an

F  ma



F  mat  man
dv 
v2 
F  m ut  m u n
dt
R
Fn determina la variazione
della direzione della velocità
Ft determina la variazione
del modulo della velocità
Fn si chiama forza centripeta
21
Applicazioni….
Curva sopraelevata
22
Moto armonico semplice
xt   A sin t  0 
 ampiezza del moto
A
t  0  fase del moto
0
 fase iniziale

 pulsazione
condizioni iniziali A, 0
T
2

definisce il moto armonico semplice
x t 
A
t
A
T è il periodo!!
x t  T   A sin t  T   0   A sin t  2  0   A sin t  0 
x t  T   x t 
Moto armonico
dx
xt   A sin t  0   vt  
 A cost  0 
dt
x t 
t
vt 
dv dx 2
at  

  2 A sin t  0 
dt
dt
x e v in quadratura di fase
t
differenza di π/2 (v anticipa x)
a t 
x e a sono in opposizione di fase
T
2
t
differenza di π
Moto armonico
xt   A sin t  0 
dx
vt  
 A cost  0 
dt
Dalle condizioni iniziali
 x0  x0  A sin 0

v0  v0  A cos 0
x0

tan


0

v0


2
 A2  x 2  v0
0

2

inoltre : a   2 x 
2
d x
2


x0
2
dt
Equazione differenziale
del moto armonico
Il pendolo
Moto antiorario
 mg  sin   m  aT
T  mg  cos   m  a N
d 2
at  L 2
dt
In caso di θ piccolo:
d 2 g
   0
2
dt
L
   0  sin t   
v2
aN 
L
d 2
g


sin 
2
dt
L
m  v2
T  mg  cos  
L
Eq. Differenziale moto armonico

g
L
La pulsazione
Q0 è l’ampiezza e  la fase
26
Il pendolo
Legge oraria
  0  sin t   
s  L  L0  sin t   
d
  0 cost   
dt
v
Velocità angolare e
lineare
ds
d
L
 L 0 cost   
dt
dt
La velocità è max quando il corpo passa per la
verticale Q = 0 e nulla agli estremi delle
oscillazioni.
27
Il pendolo
Periodo: T  2  2

Tensione del filo:

v2 
Td  m   g  cos   
L

Tensione
massima
In condizioni
statiche
Non dipende dalla
massa e dell’ampiezza
L
g
Ts  mg
In condizioni
dinamiche
Tensione
minima
La Td > TS perché oltre ad equilibrare il
peso deve fornire la f. centripeta per far
percorrere al pendolo la traiettoria
circolare
28
Forza elastiche
Si definisce forza elastica una forza di direzione costante con verso
rivolto sempre ad un punto O, chiamato centro e con modulo
proporzionale alla distanza da O.
Assunto l’asse x la direzione della F:


F  Kx u x

ux
K = costante elastica
 Nella pratica viene applicata tramite una
molla e indicheremo con:
l0 la lunghezza a riposo

ux
x la deformazione = l – l0
29
Forza elastiche
d2x k
 x0
dt m
2
d x F
K
a 2   x
dx
m
m
Eq. moto armonico
Con pulsazione

K
m
x(t)  A cos(t   )
T
2

 2
m
K
30
Forza di attrito viscoso


F  mv
Moto in un fluido
dv
mg  mv  ma  m
dt
v
t
dv
dv
 g  v  
  dt
0
dt
g  λv 0
1

ln g  λv0v  t
vt  

1 e 

g
 t
Il moto tende ad una velocità costante
31