FisDispStSol12

Ottica guidata
• Trasmissione di segnali a lunga distanza
• Dispositivi integrati miniaturizzati.
• Ottica integrata = tecnologia di integrare dispositivi ottici e componenti per
la generazione, la ricombinazione, la modulazione, la rivelazione di luce su un
singolo substrato (chip).
• Dispositivi optoelettronici
• Si fonda sulla riflessione totale
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Fisica dei Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis
1
Guide d’onda planari ideali
Sistema idealizzato
Specchi senza perdite. Il fascio non subisce attenuazione lungo la direzione di
propagazione.
Si associa ad ogni raggio una onda piana elettromagnetica trasversale (TEM) e
Il campo elettrico finale è la somma di queste onde piane.
Consideriamo una onda monocromatica di lunghezza d’onda  = 0/n e vettore
k = nk0 e velocità di fase c = c0/n con n indice di rifrazione del mezzo tra gli specchi.
Ad ogni riflessione la fase dell’onda salta di 180°. Dopo due riflessioni lo sfasamento
è di 360°, come a dire 0°.
Assumiamo polarizzazione nel piano della guida.
Campo E parallelo agli specchi
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• Si può imporre una condizione di autoconsistenza che dopo 2 riflessioni
l’onda riproduce esattamente se stessa. I campi che soddisfano ciò sono
i MODI della guida d’onda.
• I modi sono campi che mantengono la stessa distribuzione trasversale e
la stessa polarizzazione a tutte le distanze lungo la guida d’onda.
Nel nostro caso si ha che la differenza di cammino percorsa nei due tratti è:


A C  A B  A C 1  cos 2   A C 1  cos 2   sin 2   2 A C sin 2   2d sin 
se essa è pari ad un numero intero di  abbiamo interferenza costruttiva dei
due fronti d’onda. Ovvero:
2d sin   m
con m un qualunque numero intero
Quindi la condizione è
soddisfatta solo per certi
angoli:
sin m  m

2d
, m  1,2,3,
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Fisica
deidei
Dispositivi
a Stato
Solido
- F.- De
Matteis
Fisica
Dispositivi
a Stato
Solido
F. De
Matteis
33
Il modo m=1 viaggia con l’angolo  minore,
mentre modi con alto m viaggiano con
angoli più alti e sono più obliqui. Anche la
componente y di k (ky = nk0 sin) sarà
quantizzata:
k ym 
2

sin m  m

d
, m  1,2,3, 
Quindi l’onda guidata è costituita
da due onde piane che
viaggiano a ± rispetto all’asse z
e nel piano y-z. Si può definire
una costante di propagazione
 = kz =k cos. Poichè  è
quantizzato lo sarà anche .
m = k cosm e quindi:
2 2
m

2
2
m  k  2
d
Modi di più alto ordine (più
obliqui) viaggiano con più basse
costanti di propagazione.
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L’ampiezza complessa del campo totale nella guida è la sovrapposizione di
due onde piane TEM una che viaggia nel verso positivo ed una nel verso
negativo dell’asse y.
Onda viaggiante nel verso positivo
Onda viaggiante nel verso negativo
Esistono modi simmetrici (m dispari = componenti delle onde si sommano) e
asimmetrici per cui le componenti si sottraggono (m pari).
per modi
dispari
Il campo totale sarà:
e
per modi pari
In generale il campo elettrico può essere scritto:
con
e
per modi dispari e pari
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Distribuzioni trasversali di um(y)
Ogni modo può essere considerato come una onda stazionaria nella direzione y
che viaggia nella direzione z.
I campi tendono a zero per y = ± d/2 per tutti i modi così che le condizioni al
contorno sono sempre soddisfatte.
Poichè le onde sono polarizzate parallelamente a x il campo elettrico sarà
parallelo alla direzione x e quindi l’onda guidata si dice trasversale elettrica (TE).
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6
•
Numero dei modi
Si definisce un numero massimo di modi che la guida d’onda può
trasmettere. sin m = m/2d e poiché sin m < 1 si ha che il massimo valore
di m è il più grande intero più piccolo di 2d/.
M è il numero di modi della guida d’onda.
La luce può essere trasmessa
nella guida in non più di M modi
ottici. Il numero di modi aumenta
con la separazione tra i due
specchi (d).
Se 2d/  1 M=0 che
vuol dire che la guida non supporta
nessun modo.
La lunghezza d’onda max = 2d è detta
di cut off e rappresenta la più lunga
lunghezza d’onda che può essere
guidata dalla struttura.
Se 1 < 2d/  2 ossia d   < 2d si ha che solo un modo può essere
guidato e la struttura si dice single-mode waveguide.
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7
•
Si può definire anche una velocità di gruppo dei modi che rappresenta la
velocità con cui viaggia l’impulso luminoso nella direzione di propagazione z.
Modi diversi hanno velocità di gruppo differenti. Modi più obliqui viaggiano con
una velocità di gruppo più bassa poiché sono “ritardati dal più lungo percorso
a zig-zag”
Modi trasversali magnetici (TM)
Nei modi TM il campo magnetico associato all’onda è parallelo alla direzione x.
In questo caso il campo elettrico ha componente sia nella direzione y che z.
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La componente z è parallela agli specchi e quindi si
esprime come la componente x dei modi TE. Quindi:
Ey  E cosm  Ez cot m
Ez  E sin  m
y
E
k


z
Le componenti y del campo elettrico avranno la forma:
am  2d Am
am  j 2d Am
Le condizioni al contorno di avere campo nullo sugli specchi sono assicurate dal
fatto che Ez(y,z) si annulla in corrispondenza degli specchi.
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Se si hanno più modi
guidati in una struttura,
poiché ciascun modo ha
costanti di propagazione
diverse e velocità di gruppo
diverse, il campo cambia
la sua distribuzione
trasversale man mano che
l’onda procede.
Per cui la distribuzione di
intensità per un modo singolo
è invariante con la
propagazione, mentre la
distribuzione multimodo
cambia lungo l’asse di
propagazione.
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Guide d’onda planari dielectriche
Materiale dielettrico ad
indice di rifrazione
maggiore del materiale
dielettrico che lo circonda.
Il principio è quello della
riflessione totale alle
interfacce. Lo strato
guidante è detto core
quello sottostante buffer
e quello sopra cladding.
Esistono guide d’onda
planari sia simmetriche
(indici di rifrazione buffer
e cladding uguali) che asimmetriche. Si avrà riflessione totale se l’angolo  è
minore di  = 90°-sin-1(n2/n1) = cos-1(n2/n1). Per angoli maggiori una parte della
radiazione sarà persa ad ogni riflessione.
La trattazione sarà simile a quanto già trovato per guide con specchi.
Bisogna
fare attenzione
all’uso degli angoli
complementari
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Dispositivi a Stato Solido - F. De Matteis
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1111
•
Modi guidati
Consideriamo una onda TEM monocromatica di lunghezza d’onda  = 0/n1
che si propaga con angolo  rispetto all’asse z minore dell’angolo
complementare criticoc. La velocità di fase dell’onda è c1 =c0/n1 e il numero
d’onda n1k0. Le componenti kx = 0, ky = n1k0sin e kz = n1k0cos.
Imponiamo la condizione di auto consistenza (un’onda si riproduce dopo due
riflessioni). In questo caso si avrà:
Ci sarà in aggiunta al caso degli specchi anche un fattore di fase r dovuto
alle riflessioni con l’interfaccia del dielettrico per cui:
o anche
Quindi anziché avere uno sfasamento di 180° alla riflessione si ha uno
sfasamento di r alla riflessione. Il fattore di fase dipende dall’angolo  e si ha:
Quindi r varia da  a 0 al variare
di  da 0 a c.
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Riscrivendo la condizione di autoconsistenza:
Si ottiene:
per i modi TE
Questa è una equazione trascendentale in , che ha soluzione grafica. I punti di
intersezione della parte destra e sinistra sono gli angoli m dei modi. Per r =  (guide
con specchi) le soluzioni sono i punti vuoti.
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13
•
Gli angoli dei modi saranno tra 0 e c, i vettori d’onda avranno componenti:
•
Le componenti z rappresentano le costanti di propagazione dei vari modi:
Poiché cos m può assumere valori tra 1 e cosc = n2/n1 si ha
che m andrà tra n2k0 e n1k0.
Gli angoli e le costanti di
propagazione per i modi TM
possono essere trovati in
maniera analoga usando lo
sfasamento y dato da:
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Fisica
deidei
Dispositivi
a Stato
Solido
- F.- De
Matteis
Fisica
Dispositivi
a Stato
Solido
F. De
Matteis
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14
•
Numero di modi
La separazione tra modi è pari a /2d. Si avranno modi per angoli tali che: sin 
sinc. Quindi il numero di modi TE è dato dal più piccolo intero più grande di
sinc/(/2d).
Per cui se sinc/(/2d) = 0.9, 1 o 1.1 si ha M =1, 2 o 2.
• Distribuzioni di campo
Si avrà una distribuzione di campo interna alla guida ed una esterna. Quella
interna è costituita da due onde TEM piane che viaggiano con angoli ±m con
l’asse z. Queste hanno la stessa ampiezza ma uno sfasamento m nel centro
della guida. L’ampiezza del campo elettrico complesso all’interno della guida sarà:
costante
propagazione
con
costante
Il campo non si annulla alle interfacce. Per m alti sin m aumenta e quindi modi
più alti variano più rapidamente con y.
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•
Campo esterno
Il campo esterno dovrà raccordarsi alle interfacce con quello interno. Quindi varierà
come exp(-jmz). Usando l’equazione di Helmholtz:
Si ottiene:
con
Poiché m >n2k0 per i modi guidati si ha che m2 >0 e quindi l’equazione
è soddisfatta da funzioni esponenziali:
m è noto come coefficiente di estinzione e l’onda che si propaga esternamente
si dice onda evanescente. Sostituendo si ha:
All’aumentare di m m aumenta e m diminuisce.
Quindi modi di ordine alto penetrano più in profondità
negli strati esterni.
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Per determinare le costanti
di proporzionalità nelle
equazioni che descrivono
il campo interno e quello
esterno si impone che ai
bordi i campi siano uguali
(y = ± d/2) e si usa la
condizione di
normalizzazione:
Si ottengono quindi delle espressioni per um(y) valide per ogni y.
Le funzioni um(y) sono tutte ortogonali tra loro:
Un campo elettrico TE arbitrario nella guida potrà essere scritto come combinazione
lineare di questi modi:
con am ampiezza del
modo m-esimo.
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La distribuzione di campo dei
modi TM può essere determinata
in modo simile. Considerando
che la componente z del campo
elettrico si comporta in modo
simile alla componente x del
campo elettrico per i modi TE.
La distribuzione di campo per il modo
TE più basso (m=0) ha forma simile
a quella di un fascio gaussiano.
Però nel caso di fascio guidato non
si ha allargamento del fascio come
avviene in aria. In una guida d’onda
la tendenza della luce a diffrangere
è compensata dall’azione guidante
del mezzo.
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18
•
Velocità di gruppo
la velocità di gruppo è definita come v = d/d, per cui si deve trovare la
dipendenza di  (costante di propagazione) da . Partendo dalla condizione di
autoconsistenza alla fine si ottiene:
Per cui si ottiene una relazione di dispersione tra  e .
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19
•
Le velocità di gruppo saranno quindi tutte tra c1 e c2 (che sono le velocità di
fase nella parte guidante e negli strati di buffer e cladding) con c1 < c2.
Per una frequenza fissata il modo 0 viaggia con velocità vicina a c1, invece
il modo più alto M (più obliquo) avrà velocità circa pari a c2. Infatti una
buona parte dell’energia che porta il modo M viaggia negli strati di cladding
e buffer dove la velocità è c2. Opposto a guide con specchi.
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La velocità può essere scritta come:
che a differenza delle guide con specchi:
Questo indica che il raggio nella guida dielettrica viaggia un’ulteriore distanza z
in un tempo . Questo può essere pensato come una penetrazione effettiva del
raggio dentro il cladding o il buffer o come uno shift laterale effettivo del raggio.
L’effetto di penetrazione di un raggio che è sottoposto a riflessione totale è detto
effetto Goos-Hanchen.
Si può scrivere la velocità laterale come z / = / = c1/cos quindi modi più
obliqui ( alto) percorrono la distanza laterale ad una velocità più alta rispetto
ai modi meno obliqui (m bassi). Da questo deriva il fatto che la velocità di gruppo
totale dei modi più obliqui è più alta rispetto a quelli meno obliqui (m piccolo).
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Goos-Hänchen shift
LM
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deidei
Dispositivi
a Stato
Solido
- F.- De
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Fisica
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Solido
F. De
Matteis
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22
Guide d’onda bidimensionali
•
•
•
Nel caso di guide d’onda bidimensionali si ha un confinamento della luce non
soltanto nella direzione y ma anche nella direzione x, mentre la direzione z è
sempre quella di propagazione.
La più semplice schematizzazione è di considerare una guida bidimensionale
con pareti a specchio. Si assume per semplicità che gli spessori siano ugali
nelle due direzioni ed uguali a d.
In questo caso le condizioni di autoconsistenza ci danno:
La costante di propagazione  = kz si
può trovare dalla relazione
kx2 + ky2 + 2 = n2k02
Le tre componenti del vettore
d’onda hanno valori discreti e si hanno
un numero di modi finito. Ciascun modo
è identificato da mx e my (invece di m
come nel caso di guide planari).
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23
•
Il numero massimo di modi nella guida bidimensionale può essere trovato
contando i punti nel settore circolare del diagramma kx – ky. Se questo numero
è grande si può approssimare al rapporto tra l’area del settore (nk0)2/4 con
l’area della cella unitaria (/d)2 :
Poiché ci sono due polarizzazioni (TE e TM) il numero di modi totali sarà 2M.
Comparando con il numero di modi in una guida planare si nota che il numero
di modi è notevolmente aumentato. Si ha circa il quadrato del numero di modi.
Le distribuzioni di campo associate con questi modi saranno simili a quelle della
guida planare solo che si avranno distribuzioni simili lungo la direzione y e
lungo quella x.
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Guida d’onda bidimensionale dielettrica
Un materiale a sezione quadrata di lato d ed indice di rifrazione n1 è ricoperto da un
materiale ad indice di rifrazione n2 (n2 < n1).
Le componenti del vettore d’onda devono soddisfare la condizione
con
Quindi kx e ky staranno nell’area mostrata in figura.
I valori di kx e ky si ottengono dalla condizione di autoconsistenza. I valori kx e ky dei
modi non sono uniformemente spaziati come nel caso di guide con specchi,
comunque due valori consecutivi di k lungo le due direzioni sono spaziati in media
di /d. Il numero di modi si può ottenere contando i punti nel diagramma e si ha:
o
per i
modi TE
con
NA numerical aperture
Approssimazione è buona per M grande.
Ci saranno
anche M modi TM
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Tipi di guide d’onda canale
Configurazioni
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26
•
Eccitazione dei modi di guida
La luce si propaga in forma di modi e l’ampiezza complessa del campo
ottico è la sovrapposizione di tali modi
con am ampiezza, um(y) distribuzione
trasversale e m costante di propagazione
del modo m
Se la luce che si tenta di inserire in guida ha una distribuzione che si accorda
perfettamente con un modo della guida sarà eccitato solo quel modo. In generale
la luce avrà una distribuzione arbitraria s(y) che quindi ecciterà vari modi e in
modo diverso. La frazione di potenza trasferita dalla sorgente al modo m dipende
Dalla similitudine tra s(y) e um(y).
Possiamo scrivere s(y) come
sovrapposizione di funzioni ortogonali
um(y):
con al ampiezza del modo eccitato l
che rappresenta il grado di similiratà
(correlazione) tra la sorgente e la
distribuzione del modo:
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27
•
•
La luce può essere accoppiata con la guida direttamente focalizzando la luce su
di essa (lente, obiettivo da microscopio, altre fibre,ecc.). L’accoppiamento è
difficile e anche poco efficiente.
In una guida multimodo possiamo considerare un approccio basato sui raggi
ottici. Per avere un buon accoppiamento la luce incidente deve essere
focalizzata in un angolo minore di a. I raggi dentro la guida sono confinati ad un
angolo c= cos-1(n2/n1) che corrisponde ad un angolo esterno a.
•Si può inserire in guida anche
direttamente la luce uscente da
un dispositivo a semiconduttore
o da un laser semplicemente
allineando le estremità
(sorgente/guida) lasciando uno
spazio minimo.
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•Si può accoppiare luce dentro le guide anche usando un prisma, un reticolo di
diffrazione o un’altra guida d’onda.
Accoppiamento con prisma
Si usa un prisma ad alto indice di
rifrazione np > n2 posto ad una
distanza dp dalla guida d’onda
planare.
Una onda ottica incide sul prisma in
modo tale che sia in condizione di
riflessione totale.
L’onda incidente e riflessa formano
una onda che si propaga lungo z
con costante di propagazione
p =npk0cosp. Il campo elettrico
trasverso si estende al di fuori del prisma e decade esponenzialmente. Se la distanza
dp è sufficientemente piccola l’onda si accoppia alla guida planare con costante di
propagazione m  p. Quindi il prisma agisce per inserire luce nella guida, ma può
funzionare anche per estrarre luce dalla guida.
Con un reticolo di diffrazione la situazione è simile.
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