La Funzione Esponenziale
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La Funzione Esponenziale un modello matematico della realtà La matematica, scoperta o invenzione che sia, è nata per risolvere problemi concreti e, anche se nel corso dei secoli è diventata sempre più astratta e generale, costituisce uno strumento formidabile d’indagine della realtà in quanto offre numerosi modelli per interpretare i fenomeni naturali. Un modello interessante di numerosi fenomeni è rappresentato dalla Funzione Esponenziale. Prof. Biasco 2006-07 1 La Funzione Esponenziale 1 - La riproduzione dei batteri La maggior parte dei batteri si riproduce mediante il meccanismo della scissione cellulare (mitosi). Una volta raggiunta una dimensione opportuna, ogni batterio si divide in due cellule identiche, di massa pari a circa la metà di quella originaria. A loro volta, le due cellule figlie si accrescono fino a dividersi ulteriormente. Un batterio si può riprodurre ogni venti minuti circa, proliferando in colonie abbastanza grandi da essere visibili a occhio nudo Vogliamo studiare l’evoluzione di una popolazione iniziale di No batteri dopo k cicli riproduttivi. Prof. Biasco 2006-07 2 Gli archeobatteri costituiscono un gruppo di batteri adattati a vivere in condizioni ambientali estreme. Methanospirillum hungatii è un archeobatterio metanogeno Gramnegativo, presente in ambienti privi di ossigeno di paludi e stagni; esso trasforma l'anidride carbonica in metano. Nella foto, il microrganismo è osservato mediante microscopio elettronico a trasmissione, e appare in fase di scissione, ovvero mentre si sta dividendo per dare luogo a due cellule figlie. Archeobatterio in fase di divisione Prof. Biasco 2006-07 3 Colonia di streptococchi Prof. Biasco 2006-07 4 Nel gruppo degli streptococchi, batteri Gram-positivi, sono comprese numerose specie patogene per l'uomo, quali S. pneumoniae (pneumococco), responsabile della polmonite e di alcune forme di meningite, e S. pyogenes, agente di alcuni tipi di tonsillite, dell'endocardite, della febbre reumatica, della piodermite e della scarlattina. A seconda della specie, l'azione patogena scaturisce da componenti della capsula che riveste la cellula, oppure da composti che vengono riversati all'esterno (esotossine). Alcuni streptococchi trovano impiego nell'industria delle preparazioni alimentari, come nel caso della produzione dello yogurt e del kefir, in cui si sfrutta il metabolismo fermentativo di S. bulgaricus e S. termophilus. Nell'immagine, ottenuta al microscopio elettronico a scansione, è visibile una colonia di S. pyogenes le cui cellule, di forma tondeggiante (cocchi) appaiono disposte in fila, caratteristica tipica della gran parte degli streptococchi. Prof. Biasco 2006-07 5 La Funzione Esponenziale k 0 N 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 Prof. Biasco 2006-07 6 La Funzione Esponenziale quindi num batteri Stadio zero 1 Stadio 1 2 = 21 Stadio 2 4 = 22 Stadio 3 8 = 23 Stadio 4 16 = 24 Stadio 5 32 = 25 Stadio 6 64 = 26 Stadio k N = 2k Prof. Biasco 2006-07 7 La Funzione Esponenziale 32 16 8 4 1 0 1 2 3 4 5 Stadio riproduttivo Prof. Biasco 2006-07 8 La Funzione Esponenziale In generale Se allo stadio iniziale i batteri sono No. Stadio zero No = No20 Stadio 1 N1 = 2No = No21 Stadio 2 N2 = 2N1 = No22 Stadio 3 N3 = 2N2 = No23 Stadio 4 N4 = 2N3 = No 24 Stadio 5 N5 = 2N4 = No25 Stadio 6 N6 = 2N5 = No26 Stadio k Nk = 2Nk-1 = No2k Prof. Biasco 2006-07 Nella formula compare il termine esponenziale 2k 9 La Funzione Esponenziale No = 5 Prof. Biasco 2006-07 10 La Funzione Esponenziale In generale DEF se a R+ a1 la funzione: f: x R -----------> y = ax R+ si dice Funzione Esponenziale di base a. Prof. Biasco 2006-07 11 La Funzione Esponenziale Problemi sui batteri 1. Supponendo che la riproduzione di un batterio avvenga ogni 20 minuti calcolare quante ore occorrono affinché una popolazione iniziale di 10 batteri raggiunga il numero di 109 unità. 2. Calcolare il numero di cellule che si originano da 20 cellule dopo 15 cicli riproduttivi. 3. Dopo 9 cicli riproduttivi si ha una popolazione di 220160 batteri. Calcolare il numero iniziale di batteri. Prof. Biasco 2006-07 12 La Funzione Esponenziale 2 - Un deposito bancario o o Quando versiamo dei soldi in banca riceviamo un compenso che è l’interesse. L’interesse è il prezzo che la banca paga per poter disporre del nostro denaro. Il tasso d’interesse i (opp r) normalmente è espresso in percentuale es. i = 5% su 100 euro depositati la banca dà 5 euro d’interesse. Prof. Biasco 2006-07 13 La Funzione Esponenziale Il calcolo dell’interesse può essere fatto principalmente in due modi: Interesse Semplice o Interesse Composto o o Nell’interesse semplice il calcolo dell’interesse viene fatto una sola volta alla fine del periodo d’investimento Nell’interesse composto l’interesse è calcolato alla fine di ogni anno e si capitalizza, cioè diventa nuovo capitale su cui si calcola un nuovo interesse. Prof. Biasco 2006-07 14 La Funzione Esponenziale Interesse Semplice Un capitale iniziale di 10.000 euro viene investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni. Calcolare l’interesse semplice e il montante finale. C = 10.000 o i = 4% t = 5 anni Il calcolo dell’interesse semplice è dato dalla formula: I = C i t Oss. L’interesse è direttamente proporzionale al capitale, al tasso d’interesse e al tempo. Prof. Biasco 2006-07 15 La Funzione Esponenziale Interesse Semplice Quindi 4 I 10000 5 100 4 5 2000 100 Alla fine dei cinque anni d’investimento avremo un Montante Montante = Capitale + Interesse M = C + I = 10.000 + 2000 = 12.000 euro Prof. Biasco 2006-07 16 La Funzione Esponenziale Nella tabella seguente è riportato l’interesse e il montante relativi ad un investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse semplice Investimento di anni Interesse Montante 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 Prof. Biasco 2006-07 10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 22.000 24.000 26.000 28.000 30.000 17 La Funzione Esponenziale Interesse Semplice 35000 30000 25000 20000 Interesse Montante 15000 10000 5000 0 0 2 4 6 8 Montante e Interesse sono linearmente dipendenti dal tempo Prof. Biasco 2006-07 10 12 Anni investimento 18 C = 1 euro interess e La Funzione Esponenziale 20% 6% 4% anni L’interesse semplice è direttamente proporzionale al tempo e aumenta all’aumentare del tasso d’interesse Prof. Biasco 2006-07 19 La Funzione Esponenziale Interesse Composto annuo Lo stesso capitale iniziale di 10.000 euro viene ora investito ad un tasso annuo del 4% per 5 anni ad interesse composto annuo. Calcolare l’interesse e il montante finale. C = 10.000 i = 4% t = 5 anni Per risolvere il problema calcoliamo interesse e montante anno per anno: Prof. Biasco 2006-07 20 La Funzione Esponenziale Inizio investimento = stadio zero C = 10000 Fine primo anno = stadio 1 I1 =10000*4%*1 = 400 M1 = 10000+400 = 10400 Fine 2° anno = stadio 2 I2 =10400*4%*1 = 416 M2 = 10400+416 = 10816 Fine 3° anno = stadio 3 I3 =10816*4%*1 = 432,64 M3 = 10816 + 432,64 = 11248,64 Fine 4° anno = stadio 4 I4 =11248,64 *4%*1 = 449,95 M4 = 11248,64+ 449,95 =11698,59 Fine 5° anno = stadio 5 I5 = 11698,59* 4%*1 = 467,94 M5 = 11698,59 + 467,94 = 12166,53 Prof. Biasco 2006-07 21 La Funzione Esponenziale Nella tabella seguente è riportato l’interesse e il montante per lo stesso investimento di 10.000 euro al tasso del 20% a interesse composto anni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Interesse 2.000 2.400 2.880 3.456 4.147 4.977 5.972 7.166 8.600 10.320 Montante 10.000 12.000 14.400 17.280 20.736 24.883 29.860 35.832 42.998 51.598 61.917 Prof. Biasco 2006-07 22 La Funzione Esponenziale Interesse composto 250000 200000 150000 100000 50000 0 0 2 4 6 Il Montante è funzione esponenziale del tempo 8 10 anni Prof. Biasco 2006-07 12 14 16 18 Anni investimento 23 La Funzione Esponenziale Formula generale dell’interesse composto inizio Mo = C anno 1° M1 = C + I = C + C r 1= C (1+r) anno 2° M2 = M1+ I = M1+ M1r 1= M1(1+r)= C(1+r)(1+r) = C(1+r)2 anno 3° M3 = M2+ I = M2+ M2r 1= M2(1+r)= C(1+r)2(1+r) = C(1+r)3 anno k° Mk = C(1+r)k Nella formula compare il termine esponenziale Prof. Biasco 2006-07 (1+r)k 24 La Funzione Esponenziale Problemi sull’interesse 1. Calcolare il montante ottenuto investendo 50.000 euro al tasso del 3% per 10 anni nel caso di interesse semplice e di interesse composto annuo. 2. Un investimento di 8 anni al tasso del 2% ha prodotto il montante di 29.291,48 euro, Calcolare il capitale iniziale. 3. 4. 5. Quanti anni deve durare l’investimento di 12.000 euro al tasso del 2% per produrre un montante di 17.831 euro? Il sig. Antonio marito della sig.ra Cesira si vanta di aver ottenuto 70.548 euro investendo in buoni postali 30.500 euro per 6 anni. Spiega perché il signor Antonio racconta frottole. La Banca Popolare di Soldopoli ci propone due tipi d’investimento il primo ad interesse semplice del 6% e il secondo ad interesse composto annuo del 4% . Stabilire in quale caso risulta conveniente il primo e in quale caso il secondo. Prof. Biasco 2006-07 25 La Funzione Esponenziale Ottave di DO 3 - Le note musicali Le vibrazioni degli oggetti producono suoni o rumori: ess. Vibrazione delle corde di una chitarra o di un pianoforte, della membrana di un tamburo, delle corde vocali, vibrazione del piano del tavolo …… Il nostro orecchio è in grado di percepire soltanto i suoni che hanno una frequenza compresa tra 16 e 16.000 Hz circa. Quando la vibrazione avviene tutta alla stessa frequenza viene prodotto un suono puro. Una corda di pianoforte che vibra a 263 Hz produce un DO centrale, a 526 Hz il DO della 1° ottava superiore a 1052 il DO della 2° ottava superiore……... Se la frequenza è di 440 Hz si ha un LA centrale, se 880 Hz si ottiene un LA più acuto, cioè il LA della 1° ottava superiore. …… Prof. Biasco 2006-07 26 La Funzione Esponenziale Scala di LA Tabella delle frequenze del LA Distanza in ottave dal LA centrale LA centrale ottava -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 frequenza Hz 27,5 55 110 220 440 880 1760 3520 7040 14080 Prof. Biasco 2006-07 27 La Funzione Esponenziale Frequenze del LA 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 La frequenza di vibrazione è funzione esponenziale dell’ottava Prof. Biasco 2006-07 10 11 12 Distanza in ottave 28 La Funzione Esponenziale Allora se indichiamo con Distanza in ottave dal LA centrale LA centrale fo = 440 Hz = freq. LA centrale avremo: ottava frequenza frequenza Hz -4 -4 27,5 2 f0 -3 55 2-3 f0 -2 110 2-2 f0 -1 220 2 f0 0 440 f0 1 880 2f0 2 1760 2 f0 3 3520 2 f0 4 7040 2 f0 5 14080 25 f0 Prof. Biasco 2006-07 -1 2 3 4 29 La Funzione Esponenziale se k è la distanza in ottave dalla nota centrale la frequenza è data da: fk = f02k Nella formula compare il termine esponenziale 2k Oss. Il discorso precedente è valido per tutte le altre note musicali. Prof. Biasco 2006-07 30 La Funzione Esponenziale Altri fenomeni che hanno andamento esponenziale Decadimento radioattivo Carica e scarica del condensatore Attenuazione della radiazione elettromagnetica Tensione di vapore saturo Modello Malthusiano della crescita della popolazione Prof. Biasco 2006-07 31 La Funzione Esponenziale Bibliografia Brandi, Salvadori - Modelli matematici elementari - Bruno Mondadori Scovenna - Profili di matematica 1 - Cedam AA.VV. - Materiali scaricarti da internet Prof. Biasco 2006-07 32
