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L’estrazione di radice
Consideriamo la potenza 32 = 9 di cui conosciamo:
Esponente
32 = 9
Valore della potenza
Base
L’operazione di radice consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato alla seconda dà
come risultato 9.
x2 = 9
x=3
perché
32 = 9
2
Scriviamo dunque
Radice quadrata
√9 = 3
1
L’estrazione di radice
In generale possiamo affermare che:
DEFINIZIONE. L’operazione inversa dell’operazione di elevamento a potenza, che ci consente di
calcolare la base conoscendo l’esponente e il valore della potenza, si chiama estrazione di radice
o più semplicemente radice di un numero.
Indice
2
Segno di radice
√9 = 3
Radice
Radicando
Radice quadrata
2
L’estrazione di radice
L’operazione di radice è l’operazione inversa di potenze di esponente diverso: 3, 4, 5 … ecc.; si
avranno così radici terze, quarte, quinte, ecc…
 Radice terza di
3
3
27 = 27 = 3 in quanto 3 = 27
 Radice quarta di
4
4
16 = 16 = 2 in quanto 2 = 16
DEFINIZIONE. La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato al quadrato
(ossia moltiplicato per se stesso) dà come risultato il radicando stesso.
Radice quadrata
3
La radice quadrata esatta
Consideriamo i numeri 900 e 64 ottenuti elevando al quadrato rispettivamente 30 e 8. Possiamo
scrivere che
900 = 30
64 = 8
Questi numeri hanno per radice quadrata un numero naturale; per questo motivo vengono definiti
quadrati perfetti.
Come possiamo riconoscere se un numero è un quadrato perfetto?
PROPRIETÀ. Un numero naturale è un quadrato perfetto se nella sua scomposizione in fattori
primi tali fattori hanno tutti esponente pari.
Radice quadrata
4
La radice quadrata esatta
Consideriamo le scomposizioni in fattori primi dei due numeri 900 e 64
900 = 22  32  52
64 = 26
Consideriamo ora la scomposizione in fattori primi delle radici quadrate dei numeri 900 e 64, cioè di
30 e 8.
30 = 2  3  5
8 = 23
Osserviamo che i fattori della radice quadrata hanno sempre l’esponente dimezzato rispetto ai
corrispondenti fattori del radicando.
REGOLA. La radice quadrata di un quadrato perfetto si ottiene dal prodotto degli stessi fattori primi
con gli esponenti dimezzati.
Radice quadrata
5
La radice quadrata approssimata all’unità
Se cerchiamo la radice quadrata del numero 45 cioè √45, non riusciamo a trovare alcun numero,
nell’insieme dei numeri razionali, che elevato alla seconda dia esattamente 45. Questo numero non
è pertanto un quadrato perfetto.
È però possibile individuare fra quali quadrati perfetti è compreso il numero 45.
Siccome 36 < 45 < 49 possiamo dire che:
6
approssimazione per difetto, infatti 62
7
approssimazione per eccesso, infatti 72
= 36 < 45
45 =
Possiamo quindi dire che
Radice quadrata
= 49 > 45
6 < 45 < 7
6
La radice quadrata approssimata all’unità
REGOLE.
 La radice quadrata approssimata per difetto a meno di un’unità è il numero naturale più grande
che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato senza superarlo.
 La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un’unità è il numero naturale più
piccolo che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato restandogli
maggiore.
Il risultato dell’estrazione di radice di un numero che non è un quadrato perfetto dà origine a un
numero decimale illimitato non periodico. Tali numeri vengono chiamati irrazionali.
DEFINIZIONE. I numeri irrazionali formano l’insieme dei numeri irrazionali che viene indicato con
la lettera I.
Radice quadrata
7
Le proprietà della radice quadrata
ESEMPIO
Se dobbiamo calcolare
possiamo scrivere
oppure
121× 36
121× 36 = 4356 = 66
121× 36 = 121× 36 = 11× 6 = 66
Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che:
REGOLA. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei suoi
fattori.
Radice quadrata
8
Le proprietà della radice quadrata
ESEMPIO
Se dobbiamo calcolare
256 : 64
possiamo scrivere
256 : 64 = 4 = 2
oppure
256 : 64 = 256 : 64 = 16 : 8 = 2
Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che:
REGOLA. La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del
dividendo e del divisore.
Radice quadrata
9
Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche
Per determinare la radice quadrata di un numero si possono utilizzare le tavole numeriche.
Si possono presentare due casi.
Primo caso
Il radicando ha un valore compreso tra 1 e 1 000
Per calcolare la radice quadrata basta individuare il numero nella colonna n e leggere la relativa
radice quadrata sulla stessa riga, in corrispondenza della colonna √n.
Calcoliamo la radice quadrata di 329.
3
n
n2
n3
√n
√n
328
107 584
35 287 552
18,1108
6,8964
329
108 241
35 611 289
18,1384
6,9034
330
108 900
35 937 000
18,1659
6,9104
Pertanto
329 = 18,1384
Radice quadrata
10
Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche
Secondo caso
Il radicando ha un valore compreso tra 1 001 e 1 000 000
Il numero non si trova sulle tavole nella colonna n. Si possono presentare due casi.
 Il numero si trova nella colonna n2
In questo caso il numero dato è un quadrato perfetto e per trovare la radice quadrata basta
leggere il numero sulla stessa riga nella colonna n.
Calcoliamo la radice quadrata di 390625.
3
n
n2
n3
√n
√n
624
389 376
242 970 624
24,9800
8,5453
625
390 625
244 140 625
25
8,5499
626
391 876
245 314 376
25,0200
8,5544
Pertanto
390 625 = 625
Radice quadrata
11
Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche
 Il numero non si trova nella colonna n2
Il numero non è un quadrato perfetto e si deve ricorrere a un’approssimazione.
Calcoliamo, ad esempio, la radice quadrata di 44 678. Scorriamo la colonna n2
3
n
n2
n3
√n
√n
210
44 100
9 261 000
14,4914
5,9439
211
44 521
9 393 931
14,5258
5,9533
212
44 944
9 528 128
14,5602
5,9627
Ne deriva che
44 678 è un
Radice quadrata
numero compreso tra
211 e 212
12
La radice quadrata di un numero decimale
REGOLA.
• In base all’approssimazione che si intende raggiungere, si pareggiano le cifre decimali (nel caso
non lo siano) aggiungendo zeri;
• si trasforma il numero decimale nella relativa frazione decimale;
• si estrae, mediante l’uso delle tavole, la radice quadrata approssimata per difetto a meno di
un’unità del numeratore;
• si estrae la radice quadrata del denominatore;
• si trasforma la frazione decimale ottenuta nel corrispondente numero decimale.
ESEMPIO
La radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 di 4,6:
0,1
4,6 = 4,60 =
Radice quadrata
460
460 21
=
=
= 2,1
100
100 10
13
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
Calcoliamo la radice quadrata di 38 025.
1.
Procedendo da destra verso sinistra,
suddividiamo con un puntino il numero in
gruppi di due cifre.
3.80.25
Prima cifra di radice
2.
3.80.25 1
Calcoliamo la radice quadrata del primo
gruppo (a sinistra) approssimata per difetto e
la scriviamo a destra del numero di cui
vogliamo calcolare la radice quadrata.
3.80.25 1
3.
Eleviamo al quadrato la prima cifra del
risultato (1  1 = 1) e la sottraiamo dal primo
gruppo di cifre (3 – 1 = 2).
Radice quadrata
Primo resto
1
2
14
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
4.
Abbassiamo il secondo gruppo di cifre
accanto al primo resto e separiamo l’ultima
cifra a destra con un punto.
3.80.25 1
1
2 8.0
5.
Raddoppiamo la prima cifra del risultato
finora calcolato (1  2 = 2) e la trascriviamo
sotto l’uno.
3.80.25 1
1
2
2 8.0
6.
Calcoliamo il quoziente, approssimato per
difetto, 28 : 2 = 14. Siccome il quoziente è
maggiore di 9, non possiamo accettarlo e
dobbiamo considerare come quoziente 9
che va scritto accanto al 2.
Radice quadrata
3.80.25 1
1
29
2 8.0
15
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
Seconda cifra di radice
7.
Moltiplichiamo 29 per il quoziente 9 (29  9 =
261 < 280). Tale numero è la seconda cifra
della nostra radice.
8.
Calcoliamo il secondo resto sottraendo il
prodotto ottenuto da 280 (280 – 261 = 19).
3.80.25 19
1
29  9 = 261
2 80
3.80.25 19
1
29  9 = 261
2 80
2 61
19
Radice quadrata
Secondo resto
16
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
9.
Abbassiamo il terzo gruppo di cifre, che
inseriamo accanto al secondo resto e
stacchiamo l’ultima cifra a destra.
3.80.25
1
2 80
2 61
19
29  9 = 261
19 2.5
10. Raddoppiamo il numero formato dalle prime
due cifre della radice (19  2 = 38), oppure
sommiamo i due fattori del primo prodotto
(29 + 9 = 38), e lo trascriviamo sotto la riga
orizzontale.
Radice quadrata
3.80.25
1
2 80
2 61
19 2.5
19
29  9 = 261
38
17
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
11. Calcoliamo il quoziente approssimato per
difetto tra 192 e il valore della seconda
radice raddoppiata (192 : 38 = 5) e lo
scriviamo accanto al 38.
3.80.25
1
2 80
2 61
19
29  9 = 261
385
19 2.5
12. Moltiplichiamo il valore ottenuto per lo
stesso quoziente approssimato, cioè per 5
(385  5 = 1 925).
Radice quadrata
3.80.25
1
2 80
2 61
19 2.5
19
29  9 = 261
385  5 = 1 925
18
L’algoritmo di estrazione della radice quadrata
13. Calcoliamo il terzo resto sottraendo il prodotto
ottenuto da 1 925 (1 925 – 1925 = 0).
14. Avendo ottenuto come terzo resto 0, il calcolo della
radice si conclude. L’ultimo quoziente ottenuto (5)
rappresenta la terza cifra di radice.
19 5
3.80.25
1
29  9 = 261
2 80
385  5 = 1 925
2 61
19 2.5
19 2.5
Terzo resto
0
NB. Se il numero considerato non è un quadrato perfetto si possono calcolare le cifre decimali della
radice aggiungendo la virgola e due zeri al radicando e procedendo poi con la tecnica descritta.
Radice quadrata
19