Calcolo delle Probabilità - Dipartimento di Economia, Statistica e

Elementi di Calcolo delle
Probabilità
Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1
a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo
Prof. Filippo DOMMA
Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal
Prova, Evento e Probabilità
Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.
Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di
incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i
risultati non sono certi perché non univoci.
Evento: è uno dei possibili risultati della prova.
Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e
soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.
F. DOMMA
Teoria dell'Inferenza
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Def.1. Spazio dei Campioni.
E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento
concettuale. Verrà indicato con W.
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.
L’evento certo è quello che si verifica sempre, W.
L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f.
Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).
E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.
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Teoria dell'Inferenza
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Diagrammi di Venn
UNIONE
NEGAZIONE
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EVENTI
INCOMPATIBILI
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INTERSEZIONE
EVENTI
NECESSARI
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Proprietà
Unione
Intersezione
A B  BA
Commutativa
A B  BA
Idempotenza
AA  A
Associativa
(A  B)  C  A  (B  C)
Distributiva
AA  A
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
(A  B)  C  A  (B  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
Inoltre, si ha:
Af  A
AW  W
Af  f
AW  A
F. DOMMA
AA  W
AA  f
Teoria dell'Inferenza
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Leggi di De Morgan


(1)
(2)
AB  AB

AB  AB
 AB  AB

 AB  AB
Partizione dello Spazio Campionario
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione
dello spazio campionario se:
(1)
A i  A j  f  i  j  1,..., k
k
(2)
A
i
W
i 1
cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.
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Teoria dell'Inferenza
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Esercizio 1
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},
B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Determinare i seguenti sottoinsiemi:
E1  A  (B  C)

E4  A  B
Esercizio 2
E2  A  B  C

E5  A  B
E3  B  C
E6  C  C
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline
da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo
spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si
identificano i seguenti eventi:
1. Le due palline estratte sono di colore differente;
2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;
3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.
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Esercizio 3
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da
gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con
gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che
rappresentano i seguenti eventi:
1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;
2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5;
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello
riportato dalla faccia superiore dell’altro.
Esercizio 4
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e
di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo
all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:
1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;
2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.
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Esercizio 5
Esercizio 6
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a
caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in
questione.
Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle
“croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete.
Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.
Esercizio 7
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento
“la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un
numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?
Esercizio 8
Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento
“nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?
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Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è
considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la
teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
1.
Pr A  0  A  A
2.
Pr W  1
3.
Siano A e B due eventi incompatibili
allora
F. DOMMA
A B  f
Pr A  B  Pr A Pr B
Teoria dell'Inferenza
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Teoremi fondamentali del C.P.
Teo.1.
Pr f  0
Teo.2.
Pr A  1  Pr A
Teo.3.
Pr A  Pr A  B  Pr A  B 
Teo.4.
Pr A  B  Pr A  Pr B  Pr A  B
 
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.
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Definizione di probabilità.
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli
di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di
volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si
manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità.
L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.
Def. 6. Soggettivista.
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente
formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un
evento.
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Esercizio 9
Dato un esperimento tale:
Pr (A)  0.5
Pr (B)  13
Pr (A  B) 
1
4
Calcolare:
Esercizio 10
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Pr A  B
Siano A e B due eventi tali che:
Pr (A)  0.8 Pr (B)  0.7 Pr (A  B)  0.6
Calcolare:
Pr A  B
F. DOMMA
Pr A  B
Teoria dell'Inferenza
Pr A  B
13
Esercizio 11
Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R),
9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G).
Effettuiamo la seguente prova:
“estrazione di due palline con riposizione”.
Calcolare la probabilità che:
a) entrambe le palline siano rosse;
b) la prima sia rossa e la seconda bianca;
c) la prima gialla e la seconda non-rossa;
d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;
e) che almeno una sia rossa.
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Teoria dell'Inferenza
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Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.
Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano
il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati).
Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero
l’evento B condiziona l’evento A), è:
Pr A  B 
Pr A / B  
Pr B 
per
Pr B  0
In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume
che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.
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Teoria dell'Inferenza
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Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.
1.
Pr A / B  0
2.
Pr W / B  1
3.
Se A1 e A2 sono incompatibili allora
Pr  A1  A2  / B  Pr A1 / B  Pr A2 / B
Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.
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Teoria dell'Inferenza
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Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un
evento condizionante
Teo.5.
Pr f / B  0
Teo.6.
Pr A / B  1  Pr A / B
Teo.7.



Pr A1 / B  Pr  A1  A2  / B  Pr A1  A2 / B

Teo.8.
Pr  A1  A2  / B  Pr A1 / B  Pr A2 / B  Pr  A1  A2  / B
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.
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Teoria dell'Inferenza
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Il teorema di Bayes
Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:
supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6
nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso
un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.
Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la
probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare
ciascuna delle urne è di 0.5 ?
Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto
come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1,
C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa
valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.
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Teoria dell'Inferenza
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Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di W, cioè
W
K
C
i
i 1
Ci  C j  f  i  j
e
L’evento A può essere scritto nel seguente modo
K
 K
A  A  W  A    Ci     A  Ci 
 i 1  i 1
Osservando che
 K

 A  Ci   A    Ci   f

i 1
 i 1 
K
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si ha:
K
K

Pr A  Pr  A  Ci    Pr A  Ci 
 i 1
 i 1
Ricordando che
Pr A  Ci 
Pr A / Ci  
 Pr A  Ci   Pr Ci  Pr A / Ci 
Pr Ci 
Si può scrivere:
K
K
i 1
i 1
Pr A    Pr A  Ci    Pr Ci  Pr A / Ci 
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La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità
che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?


Pr C j / A 

Pr C j  A
Pr A 

 

Pr C j  Pr A / C j

K
 P C  P A / C 
i 1
r
i
r
i
L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a
posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto
alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori
della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1).
Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze,
rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano
l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.
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Teoria dell'Inferenza
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Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le
probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:
Pr B / U1  Pr U1 
Pr U1 / B 

Pr B / U1  Pr U1   Pr B / U 2  Pr U 2 
4 1
0.4
10
2


 0.516129
4 1 3 1 0.775

10 2 8 2
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Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo
che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj]
sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo
per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula,
infatti, si combinano informazioni a priori e
verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori
P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più
la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori
sulle cause Cj.
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Definizione di Indipendenza.
Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un
altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti;
questo può essere formalizzato con la seguente:
Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si
verifica una delle seguenti condizioni:
1.
Pr A  B  Pr A Pr B
2.
Pr A / B  Pr A
3.
Pr B / A  Pr B
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Teo. 9
Se A e B sono indipendenti allora
1.
2.
3.


Pr A  B  Pr A Pr B


P A  B P A P B
Pr A  B  Pr A Pr B
r
r
r
La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio.
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Esercizio 12
Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4
bianche (B),3 nere (N)
e 6 gialli (G). Effettuiamo la seguente prova:
“ estrazione di due palline senza riposizione”.
Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:
a) la prima rossa e la seconda rossa;
b) la prima bianca e la seconda rossa;
c) la prima gialla e la seconda non-rossa;
d) la prima non-nera e la seconda bianca;
e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca;
f) la prova generi almeno una pallina rossa.
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Esercizio 13
Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi
sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale
di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un
programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine
rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare
la probabilità che:
1. il bambino sia stato spaventato;
2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è
stato/a spaventato/a;
3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o
non è stata/o spaventato/a;
4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto
non è stato spaventato.
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Esercizio 14
Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi
sia dalla ditta A che dalla ditta B.
Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino.
Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5%
difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%.
La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.
Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo
riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che
sia stato fornito da A?
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Esercizio 15
Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:
Pr A  0.7
Pr A  B  0.8
Determinare P[B] se:
a) A e B sono disgiunti ;
b) A e B sono indipendenti ;
c) Pr[A/B]=0.6
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Esercizio16
La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio
iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età.
Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata
e nel 5% dei casi in una persona sana.
a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A
nella data classe di età?
b) Qual è la probabilità che una persona sia malata
se il test A è negativo?
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Riferimenti Bibliografici.
- G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”.
Maggioli Editore. Rimini. [C]. Pag. 1-23.
- A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988),
“Introduzione alla Statistica”, McGraw-Hill, Milano. [MGB].
Pag. 1-53.
- D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi
economica”. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag. 119-150.
- R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”,
Il Mulino, Bologna. [O]. 15-55.
- D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P].
Pag. 215-291.
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