TG-tDd(lecture 2)

METODI 2 2005-2006
Esempio 1

Risoluzione di un problema di
determinazione del budget per
pubblicità

1.a tra due divisioni della stessa
azienda
1.b tra due imprese concorrenti sul
mercato
Ex 1.a
Allocazione budget tra due divisioni
(producenti beni succedanei) di
una stessa azienda



Ciascuna divisione cerca di farsi assegnare
la maggior quota possibile di budget
Ma all’azienda interessa il risultato
complessivo della campagna pubblicitaria
Essa cercherà quindi di stabilire le quote in
modo tale che nessuna divisione danneggi
l’altra facendosi pubblicità
Ci troviamo quindi in un contesto di
gioco cooperativo : ricerchiamo la
soluzione di equilibrio secondo Pareto
Variabili rilevanti per il problema:
ui (t) : quota totale di budget per pubblicità
assegnata alla divisione i al tempo t

xi (t) : ricavi lordi della divisione i al tempo t
con i = 1,2 ; u , x > 0

Dinamica del
x 1 (t)  12 u 1 (t) - 2 u (t) - x 1 (t) - u 2 (t)
sistema
2
1
x 2 (t)  12 u 2 (t) - 2 u 22 (t) - x 2 (t) - u 1 (t)
con
u1 (t)  u 2 (t)  B 
budget totale
per pubblicità
Analizziamo la struttura di tali funzioni per
comprenderne il significato
primo termine  12 u i (t) - 2 u (t)
( i = 1,2 )


y
v  3;18 
parabola con asse verticale e concavità verso il basso
gli incrementi dei ricavi di ciascuna division dipendono
dalla quota di budget secondo una legge quadratica ;
inoltre

2
i
ui (t) > 0 e xi (t) > 0
perciò si considera solo il semiasse positivo delle ascisse
fino al valore ûi(t)=6 in cui il giocatore i-esimo si ritira
poiché diventa anti-economico proseguire
(incrementi dei ricavi negativi)
Con tali limitazioni si ha che
xi (t) > 0
0 3 6
u i (t)

Ciò significa che la funzione
x (t)
è
non decrescente nell’intervallo considerato [0;6]
x i (t)
Più precisamente

Cresce a tassi crescenti (concavità verso l’alto)
per
ui (t)  [0;3[
0
 Cresce a tassi decrescenti (concavità verso il
basso)
per
ui (t)  ]3;6]
3
6
u i (t)
 y  - u 2 (t)
: indica che maggiore è la quota di budget
ottenuta dalla divisione 2 , più questa otterrà
buoni ricavi a scapito della divisione 1
( più una divisione si fa pubblicità rispetto all’altra, più le “succhia” ricavi )

y  - x1 (t)
: significa che maggiori sono i ricavi di una
divisione (
x 1 (t) )
minore è il loro
tasso di incremento
(
x 1 (t) )
In ogni istante t il tasso di variazione dei ricavi di una divisione ha andamento
opposto all’ ammontare dei ricavi stessi (redditività decrescente)
Introduciamo il secondo elemento necessario
per definire la struttura del gioco

Funzioni obiettivo :


T1
J1 
1
3
x1 (t) - u1 (t) dt
1
3
x 2 (t) - u 2 (t) dt
0

T2
J2 
0
rappresentano i ricavi netti delle due divisioni

In particolare :
1
3
x i (t) - u i (t) 
ricavi lordi - spesa  ricavi netti
Ma tali espressioni economicamente (i=1,2) valgono solo se positive
(valori negativi significano perdite in corrispondenza delle quali
le attività, quindi il gioco , cessano )

perciò si deve avere che :
 Ti
(i  1,2)
 u i (t) 
1
3
x i (t)
 stopping time
Gli estremi superiori di integrazione sono i valori di t in cui i giocatori
abbandonano il gioco
t  Ti  ui (t)  0
per t  Ti  ui (t)  0
per
(i  1,2)

Per trovare la soluzione di equilibrio paretiano devo tener conto che i
ricavi da massimizzare sono quelli dell’azienda nel suo complesso non
quelli dei suoi singoli rami;

introduciamo a tal fine una funzione obiettivo della coalizione
(combinazione lineare delle f.o. individuali)
T
J   1
0
 13 x (t) - u (t) dt     13 x (t) - u (t) dt
T
1
1
2
2
2
0

Dobbiamo massimizzare questa funzione rispetto a

Per farlo utilizziamo il
u1 (t), u 2 (t)
principio del minimo di Pontryagin

Per prima cosa costruiamo la
  1
funzione Hamiltoniana
 13 x (t) - u (t)     13 x (t) - u (t)   p x (t)  p x (t)
1
1
2
2
2
1 1
2
2
Poi calcoliamo le tre condizioni del principio di Pontryagin
Considerando
u´= [ u1 ; u2 ]
x´= [ x1 ; x2 ]
p´= [ p1 ; p2 ]
 H
 u  0

H

 p  
x

H

 x  p


 G  x(T )
con p(T ) x(T ) ; condizione finale


cnd. del 1o ordine
con x (t 0 )  x 0 ; condizione iniziale






I Fase

  1  12 p1  4 p1u1  p 2  0
u1

  2  12 p 2  4 p 2 u 2  p1  0
u 2
Da cui si ricava

1  p 2
2  p1 
u´ [ u1 , u 2 ]  3 
;3 

4p
4
p
1
2



I Fase
Perché u´ generi il massimo di J va verificata
anche la condizione del secondo ordine
2H
 u 2
2H
0 1
2
u
 0




0 
0 
 4p1


 2 H   0
 4p 2 
u 22 
p : vettore delle variabili aggiuntive o di costato ;
rappresenta il prezzo ombra (quanto chi decide è disposto
a pagare xper una variazione unitaria di x ) o il peso
assegnato alle variazioni di p che deve avere componenti
positive.
Verificando la condizione del secondo ordine si ottiene :
u  u  max J
*

Per verificare che

p  p1
p2

T
II Fase
 H
 
 x1
Che possiamo riscrivere
come un sistema di 2
equazioni differenziali non
omogenee che si risolve in
questo modo:
I. Soluzione generale della
equazione omogenea associata:
II. Soluzione particolare
della non omogenea:
soluzione stazionaria
III. Soluzione generale della
non omogenea:
calcoliamo:
pi > 0 (i=1,2)

T
H 
1


p

1

3 a1
x 2 
pi  pi  1 i
p2 
1
3 a2

T
con i  1,2
3
p i  pi  pi  e t
p i  pi 
1
3
i  0  pi 
pi (t)  c1 e  c 2
t
1
3
1
3
i
i

Dalla condizione finale si ha che pi (T) = 0
(il termine extraintegrale di J , G [x (t)] è nullo : peso
assegnato allo stato finale)

Per trovare
c1 e c2
si può normalizzare l’intervallo di tempo in
pi (T)  c1 e  c 2
T= 1

cioè porre

da cui:
c1  

Poi porre
c2  1
1
3


i  0
1 e c 2
-1
e sostituire nell’integrale generale ottenendo:
pi (t) 

1
3
[0;1]
1
3
 1  e 
t -1
i
i > 0, il segno di pi(t) dipende dall’espressione tra parentesi
(t - 1) < 0 poiché ho normalizzato il tempo : [0,T] = [0,1]
quindi 0 < e t-1 < 1  quindi pi(t) > 0
Essendo

III Fase

Abbiamo verificato che il vettore

sostituendo
p1 e p2
in
u*
u* è un ottimo paretiano
troviamo le espressioni delle sue componenti
3
1 2 

t -1 -1
u (t)  3 
(1 - e ) 
4
4 1 

1 
3

*
t -1 -1
1
u 2 (t)  3 
(1 - e )  4
4
2 

*
1
Evoluzione nel tempo delle spese per pubblicità delle due divisioni: i
valori che assumono cambiano a seconda dei pesi (1 ;
2 ) assegnati
i quali riflettono l’importanza relativa di ciascuna divisione per l’azienda
Notiamo che due giocatori hanno strategie simmetriche
(infatti sono partiti da una situazione in cui avevano stessa dinamica e stesse f.o.)
Dobbiamo come ultima cosa assicurare che

(quote di budget pubblicitario negative ui(t)
disinveste,il che non ha senso)

ui(t) > 0
< 0 significano che l’azienda
u *i (t)
3
e t -1
 
 0  t  0; T
2
t
1
t
4 1 - e 
u*i(t) ha derivata prima negativa , è cioè una funzione decrescente di t
allora dobbiamo trovare il punto in cui interseca l’asse delle ascisse:
imponiamo
la condizione
per
u (t)  0  t  Ti  1  ln
*
i
t > Ti  ui*(t) < 0
9i  (1  i )
12 i  (1  i )
quindi Ti è lo stopping time
il momento in cui ha termine gioco
Oltre l’istante che abbiamo trovato non ha più senso continuare
il gioco perde di significato economico
Ex 1.b
determinazione budget per la
pubblicità tra due aziende
concorrenti sullo stesso mercato



L’esempio ricalca il precedente ma con la differenza che
ora i giocatori sono singole aziende,distinte, concorrenti
lo scopo del gioco per ciascuno non è più massimizzare
l’utile dell’impresa (assumendo un atteggiamento
cooperativo),ma massimizzare solo la propria funzione
obiettivo prescindendo dal fatto che la propria strategia
possa danneggiare l’avversario
assumiamo implicitamente simmetria informativa e
contemporaneità nelle decisioni (non c’è leader)
Ricerchiamo la soluzione di equilibrio più adatta in tale contesto
(gioco differenziale, simmetrico, non cooperativo) :
la soluzione di Nash
Dinamica
(stessa di
prima)

 x 1 (t)  12 u1 (t) - 2 u (t) - x1 (t) - u 2 (t)

2

x 2 (t)  12 u 2 (t) - 2 u 2 (t) - x 2 (t) - u1 (t)
2
1
Ti
Funzioni obiettivo
(invariate)
Ji  

1
3

x i (t) - u i (t) dt ;
0
Inoltre consideriamo il problema nell’arco di un anno:
(i  1,2)
t  0;1
A differenza di prima non calcoliamo la f.o. comune
ora ognuno pensa a massimizzare la propria J indipendentemente dall’altro
dovremo quindi calcolare due Hamiltoniane , una per ogni giocatore
Costruiamo le funzioni Hamiltoniane per ciascun giocatore:
 1  13 x1 - u1  p11 (12 u1 - 2 u12 - x1 - u 2 )  p12 (12 u 2 - 2 u 22 - x 2 - u1 )
 2  x 2 - u 2  p 21 (12 u1 - 2 u - x1 - u 2 )  p 22 (12 u 2 - 2 u - x 2 - u1 )
1
3
2
1
2
2
pij : J-esima componente del vettore delle variabili aggiuntive
relative all’ i-esimo giocatore

Ora possiamo applicare il principio di Pontryagin :







I Fase
H1
 - 1  12 p11 - 4 p11u1 - p12  0
u1
1  p12
 u  34 p11
H 2
 - 1  12 p 22 - 4 p 22 u 2 - p 21  0
u 2
1  p 21
 u  34 p 22
*
1
*
2
Come si vede abbiamo derivato la Hamiltoniana di ciascun giocatore
per la propria variabile decisionale
controlliamo le cnd del II ordine:
 21
 21
0 
  4p11 ;
2
2
u1
u1
Soddisfatte se
pii > 0
(con i=1,2)
per verificare tale condizione per

 1

p1  

x


 2
p
2  

x

 2 2
 2 2
0 
  4p 22
2
2
u 2
u 2
p passiamo alla
II Fase
dove p1   p11; p12  '
dove p 2   p12; p 22  '
Ora abbiamo una coppia di equazioni differenziali per ciascun giocatore
Risolviamo le 4 equazioni differenziali
grazie alle relative condizioni finali

p11  


p 12  


p  
 21

p  
 22
1
1

 p11
x1
3
con C.F. p11 (1)  0
1
 p12
x 2
con C.F. p12 (1)  0
 2
 p 21
x1
con C.F. p 21 (1)  0
 2
1
   p 22
x 2
3
con C.F. p 22 (1)  0
 p 11  p11  13  p11 (t)  C e t  13 ; C.F. p11 (1)  C e1  13  0
 C   13 e -1  p11 (t)  13  1  e t -1 
 p 12  p12  p12 (t)  C e t
C.F. p12 (1)  C e1  0
 C  0  p12 (t)  0
 p 21  p 21  p 21 (t)  C e t
C.F. p 21 (1)  C e1  0
 C  0  p 21 (t)  0
1
1
t

 p 22  p 22   p 22 (t)  C e 
3
C
Quindi il segno di
3
1
3
C.F. p 22 (1)  C e
e -1  p 22 (t) 
1

1
1
3
 e t -1 
1
 0
3
pij(t) è positivo ; ciò garantisce che le espressioni
che abbiamo trovato per u1 u2 esprimano le strategie ottime
Ora non ci resta che sostituire le soluzioni trovate per
controlli
pij nei
u1 e u2 per determinare le espressioni delle strategie
ottime secondo Nash :
3
u (t)  3 
t -1
4 (1 - e )
3
*
u 2 (t)  3 
t -1
4 (1 - e )
*
1
Diversamente dalla soluzione di Pareto, nel caso di Nash le strategie sono
identiche : ciò è dovuto al fatto che i giocatori fin dall’inizio hanno la
stessa visione della realtà (descritta dalla dinamica ) e le stesse f.o.
Le strategie dei giocatori non dipendono l’una dall’altra
Le strategie decrescono al crescere del tempo:
u i (t)

t

1  e   e   0
4
3
t -1 1
t -1
Poiché il gioco si deve fermare quando u1*,u2*
=0 dobbiamo infine
calcolare il tempo (Ti) in cui i controlli si annullano (e i giocatori
smettono di far pubblicità perché diventa antieconomico)
u (t)  3 *
i
1

1 e 
3
4
3
 Ti  1  ln  1 Ti:stopping time
4
0
t -1
Come ultima considerazione se calcoliamo le derivate seconde delle
Hamiltoniane otteniamo:
Poiché
H12
 4p11
2
u1
pii>0 le derivate sono
H 22
; 2  4p 2
u 2
sempre negative quindi le H. sono convess
(presentano punti di massimo);ciò garantisce che le condizioni necessarie
per trovare
u1*,u2* sono anche sufficienti
Esempio 2

Risoluzione di uno sciopero:
Modello di contrattazione salariale

Immaginiamo di trovarci in un sistema economico in cui vi sono
due parti : capitalisti

e lavoratori
Essi sono posti di fronte ad una contrattazione salariale che dà
origine ad uno sciopero.

Lo sciopero è dannoso per entrambe le parti e se per il singolo
lavoratore il danno subito non ricevendo lo stipendio è minore
rispetto a quello subito dall’imprenditore non producendo,ciò non
è più vero se consideriamo i lavoratori nel loro complesso.

Quindi siccome la situazione danneggia entrambi sarà interesse
comune trovare un accordo in tempi relativamente brevi

Perché ciò sia possibile è necessario che richieste e offerte non
siano troppo distanti fra loro
Variabili rilevanti:
I.
x(t) : offerta dei capitalisti
II.
y(t) : domanda dei lavoratori
y0 rappresenta l’incremento salariale richiesto dai lavoratori
X0 proposta di aumento degli imprenditori
y0 - x0 > 0 :le richieste saranno sempre più alte delle offerte
III.
u:
variabile di controllo dei capitalisti. Esprime la velocità di
adeguamento delle offerte dei capitalisti rispetto alla distanza
esistente tra domanda ed offerta
IV.
v:
variabile di controllo dei lavoratori. velocità di adeguamento
delle richieste dei lavoratori rispetto alla distanza tra y ed x
Obiettivo di entrambi è una veloce risoluzione della contrattazione
perciò le parti cercheranno rispettivamente di aumentare le offerte e ridurre le
richieste in relazione alla distanza (y-x);
cioè se (y-x) è molto grande i capitalisti aumenteranno le offerte di una
percentuale maggiore di quanto non farebbero se questa differenza fosse minore
(analogamente,in senso inverso,per i lavoratori)
Quindi possiamo così rappresentare la dinamica dell’offerta:
x  u  y - x 
u(t)  a, b
l’offerta dipende dal modo in cui i capitalisti adeguano le loro offerte (u) alla
distanza tra domanda ed offerta (dinamica dell’offerta crescente)
Dinamica della domanda:
y  - v  y-x 

v(t)  c, d
il segno meno esprime una dinamica della domanda decrescente. Più grande è la
distanza (y - x) tanto più i lavoratori ridurranno le proprie richieste
Introduciamo le funzioni obiettivo dei due giocatori:
entrambi hanno interesse a che lo sciopero cessi il più in fretta possibile
quindi vorranno minimizzare il tempo T in cui è raggiunto l’accordo,
per ogni giocatore dobbiamo minimizzare le quantità:
min K1
min K 2 
Con
K1 , K2  0 : peso che ogni giocatore
assegna alla durata dello sciopero ;i K riflettono
le condizioni economiche delle parti
Inoltre gli imprenditori vogliono minimizzare l’offerta finale,mentre i
lavoratori vogliono massimizzare la domanda finale,ma noi vogliamo
costruire funzioni obiettivo da minimizzare , perciò minimizziamo
l’opposta della domanda cioè - y(t)
Funzioni
obiettivo
min J1  min K1  x(t) 
min J 2  min K 2   y(t) 
Lo sciopero termina quando la distanza tra domanda dei lavoratori y(t) ed
offerta dei capitalisti x(t) raggiunge un certo valore di compromesso m:
se ad esempio al momento iniziale t0 i lavoratori hanno chiesto 100 e i
capitalisti offerto 10 e prefissiamo m=5 la distanza domanda-offerta
raggiunta la quale lo sciopero cessa possono verificarsi due situazioni:

i capitalisti hanno potere contrattuale tale da mantenere invariata
l’offerta,saranno quindi i lavoratori ad abbassare le proprie richieste fino al
raggiungimento dell’ equilibrio : in t=T y-x=m  15-10=5
della contrattazione sono soddisfatti solo i capitalisti che hanno applicato un
saggio di variazione nullo: u(t)=0 t

se sono invece i lavoratori ad aver maggior potere contrattuale,
mantengono invariata la domanda adottando una strategia v(t)
costantemente nulla
costringendo i capitalisti ad alzare l’offerta per fare
cessare lo sciopero fino a
quando in t=T
y-x=m
 100-95=5
ora chiaramente sono soddisfatti solo i lavoratori che avendo,per così
dire,il coltello dalla parte del manico hanno applicato un saggio di variazione
nullo
In generale lo sciopero cessa quando
y(T) - x(T) = m ; m  0
però il criterio con cui i giocatori scelgono le loro strategie
(la distanza y-x) ha un significato relativo poiché come appena visto
tale vincolo può essere soddisfatto a favore di entrambi i giocatori ma
anche di uno solo di essi.
Per ovviare all’inconveniente si possono esprimere sia la dinamica che
le funzioni obiettivo in termini assoluti anziché relativi:
riformuliamo il gioco
in termini della variabile
Dinamica:
Funzioni
obiettivo:
z(t) = y(t)
k2 - x(t)
z (t)  - u  v z(t)
J1 
T
 k
1
 u z(t)  dt
T
 k
0
Con condizione iniziale:
z(to= 0) = zo = yo-xo
Con k e
1
0
J2 
z(t) > 0
2
 v z(t)  dt
k2> 0
0au b
0cvd
Ora calcoliamo la soluzione di equilibrio di Nash
ricercando le strategie ottime dei due giocatori
Costruiamo le Hamiltoniane per ciascun giocatore :
H1  k1  u z  p1 - (v  u) z
H 2  k 2  v z  p 2 - (v  u) z
Osserviamo che le H. sono lineari nei controlli;applicando il principio di
Pontryagin per trovare i controlli ottimi dovremmo calcolare oltre alla
derivata prima della H. rispetto al controllo ,anche la derivata
seconda,per verificare se è concava e assicurarci che le condizioni
necessarie sono anche sufficienti (cerchiamo punti di minimo)
Ma esiste anche un altro modo di procedere ,basato sulla condizione di
Rozonov che dice che se l’Hamiltoniana è una funzione lineare possiamo
determinare condizioni necessarie e sufficienti per le strategie ottime
Infatti se ad esempio H1 fosse lineare e
H1
decrescente nel controllo u allora il
minimo della H. sarebbe in
min H1
corrispondenza del valore massimo di u
a
Invece se H1 fosse lineare e crescente
b = max u
u
H1
nel controllo u allora il minimo della H.
sarebbe in corrispondenza del valore
min H1
minimo di u
a= min u
b
u
Quindi se riusciamo a stabilire che l’ Hamiltoniana oltre che lineare è
anche crescente o decrescente automaticamente riusciamo a
determinare il valore ottimo del controllo , che sarà uno dei due
estremi dell’ intervallo limitato e chiuso in cui esso è compreso.
Tale situazione si presta all’applicazione del principio del BangBang,che non è altro che lo studio della crescenza o decrescenza
della H. attraverso lo studio del suo coefficiente angolare:
H1  z 1 - p1  u  k1  p1v z
H è crescente se:
z (1-p1) > 0
ma siccome
z = y-x > 0
sempre, per garantire la crescenza di H1
basta porre
1-p1 > 0
dove
p1 è il moltiplicatore, o variabile
aggiuntiva , associata alla dinamica dal primo giocatore
Possono quindi verificarsi tre situazioni :
 0  H1  e u *  a
0aub

1  p1  0  H1 costante e u *  u  a, b



0

H

e
u
b
1

Analogamente per il secondo giocatore troviamo:
 0  H 2  e v *  c
0cvd

1  p 2  0  H 2 costante e v*  v  c, d 


 0  H 2  e v  d
p1 e p2 : variabili aggiuntive ; indicano il costo che ogni giocatore è
disposto a sopportare in conseguenza di un aumento unitario della
funzione obiettivo dovuto alle variazioni della dinamica del sistema.
Per determinarle agiamo come nei casi precedenti ,calcolando le
equazioni canoniche :
H1

p1   z   u  p1 u  v   u  v  p1  u

p   H 2   v  p u  v   u  v  p  v
2
2
 2
z
con condizione finale : p1 (T)  p 2 (T)  0 poichè Gx T   0
Sono due equazioni differenziali lineari in
p1 e p2
non
omogenee;siccome ciascuna equazione non dipende dalla variabile
aggiuntiva dell’altro giocatore, possiamo risolverle col metodo classico:
I. calcolo della soluzione stazionaria
(soluzione particolare della equazione non omogenea):
p 1  0

u  v p1  u  0
u
 p1 
uv
II. Calcolo della soluzione generale della equazione omogenea associata:
p 1  (u  v) p1  p1  C0 e(u v) t
III. Infine calcolo della soluzione generale della non omogenea:
p1  C0 e
(u v) t
u

uv
IV. Resta solo da determinare
p1 (T)  C0 e
(u v)T
C0 imponendo la condizione finale:
u
u

 0  C0  
uv
(u  v) e(u v)T
Otteniamo quindi:

(u v) t
ue
u
u
(u v) (t T )
p1 ( t )  


1 e
(u v)T
uv
uv
(u  v) e

Analogamente per la seconda equazione :

v
(u v) (t T )
p2 (t) 
1 e
uv

Integrali generali delle equazioni canoniche relative alle variabili aggiuntive
e che soddisfano le condizioni al contorno
Ora che abbiamo la espressioni di
p1(T) = p2(T) = 0
p possiamo verificare se
(1-p1) e (1-p2) sono maggiori uguali o minori di zero
cioè se
p1 e p2
sono maggiori uguali o minori di uno
jjj:
Ragionando solo per p1 vediamo che

u
(u v) (T t)
p1 ( t ) 
1 e
uv
Allora possiamo dire che :
sempre compresa tra 0 e 1
per
p(t)
sempre positive dobbiamo
t  u a
*
t  0 p1 (0)
1
?
p1(t)
andare a vedere cosa succede
p1(0) > 1
al tempo iniziale t = 0,
p1(0) = 1
poiché possono verificarsi tre
p1(0) < 1
diverse situazioni:
t è funzione
decrescente del tempo ed è
1 - p1 ( t )  0
Tuttavia ,in generale, se
troviamo espressioni di

Al crescere di
0
t*
t
I. Se

p1(0) > 1 
1  p1 (t)  0


1  p1 (t)  0


1  p1 (t)  0
per
t   0, t 
*
per t  t

*
per t  t * , T

In questo caso il primo giocatore (l’imprenditore) adotta una strategia
ottima
u *= b
nell’intervallo
[0,t*[
il che significa che egli minimizza la
propria funzione di utilità facendo crescere le proprie offerte molto in fretta
alla velocità massima e costante
b.
u*
Graficamente
per p1(0) > 1

Al tempo
t* invece gli è indifferente scegliere
una qualunque strategia tra a e b.
b

Mentre superato l’istante t* la strategia ottima
a
dell’imprenditore sarà di aumentare le proprie
t*
0
offerte alla velocità minore e costante essendo u*=
a
T
t
II. Se

p1(0) = 1 
1  p1 (t)  0

1  p1 (t)  0
per t  0
per t   0, T
In questo caso il primo giocatore (l’imprenditore) potrà assumere,
all’istante iniziale
t = 0, qualunque strategia compresa tra a
e
b
perché tutte minimizzano la sua funzione di utilità.

Ma non appena t
> 0 la strategia
ottima dell’imprenditore diventa
sempre u*=
u*
b
per p1(0) = 1
a cioè di aumentare
le proprie offerte alla velocità minore
(e costante) possibile.
Graficamente
a
0
t*
T
t
III.

Se
p1(0) < 1 
1  p1 (t)  0
 t  0, T
in quest’ultima ipotesi l’imprenditore adotta sempre la strategia ottima
u*= a
, dato che in qualunque istante egli minimizza la propria
funzione di utilità facendo crescere
le sue offerte con la minore
velocità possibile
u*
b
Graficamente
per p1(0) < 1
a
0
t*
T
t
Come abbiamo appena visto il nodo principale per poter scoprire quale
comportamento adotteranno le parti durante la contrattazione è
calcolare il valore assunto da
Nel
nostro
caso
u(0)
p1 (0) 
u(0)  v(0)
p1(t)
al tempo zero;
1  e
(u  v) T
 1
 p1 ( t )  1 t  0, T   1  p1 ( t )  0
Ergo la strategia ottima per il primo giocatore (imprenditore) è
u*= a
In modo analogo per il secondo giocatore si giunge ai risultati :
p2 (0)  1  p2 (t )  1 t  0, T  1  p2 (t )  0
Quindi la strategia ottima per il secondo giocatore è
v*= c
il che significa che anche i lavoratori minimizzano la propria funzione di
utilità se abbassano le loro richieste con la minore velocità possibile
Resta da determinare il momento
T
in cui cessa lo sciopero ;
a tal fine ricordiamo che il gioco termina quando :
z(t)  y(t) - x(t)  m

; m0
Se rappresentiamo su un piano le curve di offerta (degli imprenditori)
e di domanda (dei lavoratori), partendo da certi valori iniziali
x(0) = x0

se si fissa
e
y(0) = y0
m=0 il gioco termina quando
x,y
y0
le due curve si intersecano nel punto A

altrimenti il gioco termina quando
la distanza tra le due curve
raggiunge il valore m
A
(m=0)
m
x0
0
Tm
T0
t
Per giungere all’espressione di
T dobbiamo prima determinare le
espressioni delle curve di offerta x(t) e di domanda
y(t)
(è molto probabile che siano due esponenziali che
rispettivamente, crescono e decrescono molto lentamente
dal momento che
u*= a
e
v*= c )
Per farlo ci basta sostituire nella dinamica le strategie ottime e risolvere
l’equazione differenziale ottenuta:
z (t)   a  c z(t)
con C.I.
z 0  y0  x 0
Questa è l'espressione della dinamica ottima del sistema e la soluzione è
z(t)  z 0 e
(ac) t

Se poniamo
m = 0 e vogliamo trovare T significa che dobbiamo porre
ottenendo:
z (T) = 0
z (T)  z 0 e(ac) T  0
Tale uguaglianza è verificata solo per
il che significa che le curve
y(t)
e
T 
x(t) sono asintotiche
;non esiste
alcun valore finito del tempo in cui l’offerta sia uguale alla domanda
x,y
y0
x0
0
t
Se invece
m > 0 , per trovare l’espressione di T basta imporre che la
differenza tra domanda e offerta
z(t) sia uguale al valore desiderato m
z(T)  z 0 e
 (ac) T
m
Passando ai logaritmi da ambo i membri e risolvendo si ottiene:
ln z 0  (a  c) T  ln m  (a  c) T  ln z 0  ln m
Da cui:
z0
ln
T m
ac
Notiamo come
per m  0  T  
per m  z 0
T0
Più la distanza tra domanda ed offerta richiesta per
porre fine allo sciopero (m) è piccola,tanto più il
tempo necessario a trovare un accordo (T) sarà
lungo;
mentre più la distanza richiesta si avvicina al valore
iniziale della differenza (z0) tanto più breve sarà il
tempo impiegato per accordarsi.