Misure di impulso di particelle cariche
La deflessione delle particelle cariche in moto in campi magnetici “analizzatori” e’ il fenomeno che si
sfrutta per misurare l’impulso delle particelle cariche.
Una particella carica in moto in un campo magnetico uniforme e costante nel tempo risente della forza di
Lorentz . La traiettoria della particella in campo magnetico e’ un arco di circonferenza ed esiste una
precisa relazione tra l’impulso e il raggio di curvatura della traiettoria.
Una misura del raggio di curvatura fornisce quindi una misura dell’impulso della particella, ammesso
che la carica della particella sia nota .
Classico utilizzo e’ la deflessione a 180o che si ha negli spettrometri di massa.
Deflessione a 180o. Spettrometro di massa (per velocita’ non relativistiche)
F qv B
F qvB sin
la forza di Lorentz avra’ modulo qvB e costituira’ la componente che provvede la accelerazione centripeta al moto della
carica. Si avra’ :
v2
2
F m r m qvB
r
ovvero:
p qBr
se
da cui
v2
m qvB
r
p pxiˆ
B Bkˆ
px qBr
mv qBr
e la forza di Lorentz sara’ nella
direzione delle y negative
la misura di impulso si riconduce cosi’ alla misura del raggio di curvatura r.
Per fare una misura dell’impulso con la migliore precisione possibile, nel caso di
deflessione magnetica a 180o, bastera’ inserire due diaframmi
uno in A per determinare la posizione di ingresso della carica
y
elettrica nella zona in cui e’presente il campo magnetico
analizzatore, ed uno in B per determinare la posizione di
uscita della carica . Il raggio di curvatura sara’ la meta della
r
distanza AB di attraversamento dei due diaframmi
____
____
AB
r
2
AB
px qB
2
e
.
B y
x
z
x0
z
x
O
la misura di impulso si riconduce quindi ad una misura lungo la coordinata
trasversa al moto. Ammesso che non vi siano altri contributi all’errore
al di fuori della incertezza nella misura della posizione, dalla legge di
propagazione degli errori si ha :
qB ____
Δp x
ΔAB
2
l’incertezza nella posizione di passaggio attraverso i diaframmi sara’ al massimo pari alla meta’
della dimensione dei diaframmi stessi
se 2d e 2d’ sono le larghezze dei due diaframmi l’incertezza nella misura del raggio di curvatura
DAB sara’ dunque dell’ordine di____
d + d’, ossia
____
ΔAB (d d ' )
Δp x
qB
qB
ΔAB
(d d ' )
2
2
moltiplicando e dividendo per r il membro di sinistra della uguaglianza
p
qBr
(d d ' ) x (d d ' )
2r
2r
quindi si ottiene :
px
Δp x
(d d')
2r
il moto della carica si puo’ dividere in tre fasi :
per t < tA
la carica si muove di moto rettilineo uniforme
per tA < t < tB la carica si muove lungo una traiettroria circolare di raggio r
per t > tB
la carica si muove di moto rettilineo uniforme, ma nel verso negativo lungo l’asse delle x
per t < tA
x(t ) x A
px
(t t A )
m
y (t ) r
posto x( t=tA ) = xA
y
x(t ) x A r sen (t t A )
per tA < t < tB
r
y (t ) r cos (t t A )
xA
x
O
p
x(t ) xA x sen (t t A )
qB
px
y (t )
cos (t t A )
qB
per t > tB
x(t ) x A
z
px
p
(t t B ) x A x (t ( t A ))
m
m
y (t ) r
qB
m
τ tB t A
se non esistesse nessun effetto quantistico tra A e B l’elettrone descriverebbe un semicerchio perfetto e il tempo
di volo sarebbe indipendente dall’impulso e sempre pari a :
τ tB t A
πr πrm πm
v
p
qB
Si potrebbe quindi pensare che la misura della posizione di uscita sia priva di incertezza dato che
abbiamo assunto che non ci siano altre sorgenti di errore oltre all’errore sul raggio di curvatura, non vi
sono incertezze nel tempo di volo e dunque : Dτ 0
ma se
x(t ) x A
px
(t ( t A ))
m
Dx(t ) Dpx
se ne conclude che anche in una trattazione classica l’errore nella posizione di uscita non e’ nullo,
ma risulta proporzionale all’errore nell’impulso e solo a questo dato che l’errore sul tempo di volo e’
nullo.
quindi entrambe le misure
sono affette da errore e si
potra’ scrivere
qB ____
AB Δp x
px
2
x x(tB ) Dx
Dx(t ) Dpx
ma da un punto di vista classico
basterebbe quindi ridurre l’errore sulla
determinazione dell’ impulso per ridurre contemporaneamente anche l’errore sulla posizione.
se non esistesse nessun effetto quantistico, riducendo la dimensione dei due diaframmi si potrebbe
ridurre arbitrariamente l’indeterminazione nella misura della componente x dell’impulso e
contemporaneamente della posizione x della carica al tempo tB , momento in cui la carica esce
dall’analizzatore e dunque momento in cui effettuare la misura di r , ossia di px.
Ma all’ingresso al diaframma A la carica elettrica si presenta quantisticamente come un onda di lunghezza d’onda
di De Broglie, pari a l = h/p. Pertanto si avra’ diffrazione e conseguentemente sparpagliamento dell’onda oltre
l’ostacolo. L’angolo che fa l’impulso con l’asse delle x e’ dell’ordine di sena ~ a ~l /d = h/pd
Volendo conservare l’approssimazione dell’ottica geometrica si puo’ dire che la traiettoria dell’elettrone risulta
ancora un arco di circonferenza, ma di lunghezza definita con una certa indeterminazione
L’istante di tempo in cui l’elettrone passera’ per B e’ quindi incerto e di qui l’incertezza nella posizione x.
L’indeterminazione in t , e’ dell’ordine di
2ar 2arm 2rm h
2m h
D
v
mv
p pd qB pd
Dx(t B )
in conclusione :
px
p 2m h
2h
D x
m
m qB p x d qBd
Dx(t B )Dp x
2h p x
h
(d d') (d d ' )
qBd 2r
d
Dx(t B )Dp x h(1
d'
)
d
riducendo le dimensioni del diaframma di ingresso si
peggiora la incertezza nelle misure
2m h
D
qB pd
