Risonanze di Lindblad

Dinamica dei sistemi planetari
•
•
•
•
•
Migrazione planetaria
Risonanza di Kozai
Risonanza apsidale e teorie secolari
Risonanze in moto medio
Scattering gravitazionale
Basandosi sull’esperienza del nostro nostro sistema solare, come
dovrebbe essere un sistema planetario?
Dentro la ‘frost line’ solo pianeti terrestri, pianeti giganti al di fuori,
orbite poco eccentriche.
Hot Jupiters: pianeti molto vicini alla Stella
ospite.
Mercurio
Migrazione Tipo I – origine dinamica
Risonanze di Lindblad: φLD = j λ’ + (k+p+1- j) λ – k ’ -  – pΩ’
Risonanze corotanti:
φco = j λ’ + (k+p-j) λ – k ’ –p Ω’
Vedi Murray & Dermott.
m(n-Ωp)=+/- κ
. .
.
~
~
mΩp = (m+k+p)n’ – k ω’ –pΩ’ κ=n-ω
In corrispondenza alle risonanze di
Lindblad si formano onde di densità
(esempio tratto da anelli di Saturno).
Trasporto di momento angolare
verso l’esterno: momento sul corpo
perturbatore. (risonanza 5:3 con
Mimas)
Problemi con migrazione di tipo I: troppo veloce!
Se si include l’autogravità del disco il momento sul pianeta aumenta.
Temposcala: ~104 - 105 anni
Migrazione troppo rapida!
Effetto dell’autogravità del disco
Cosa può fermare la migrazione di tipo I ?
Lontano dalla stella:
• Turbolenza su larga scala
• Disomogeneità nella
densità del disco
• Elevate eccentricità del
pianeta
• Formazione di un gap
(migrazione tipo II)
Vicino alla stella:
• Svuotamento del disco
per il campo magnetico
della stella
• Svuotamento causato da
fotoevaporazione
• Interazione mareale con
la stella
• Scambio di massa
Turbolenza del disco su grande scala : il torque
diventa casuale e ci può essere migrazione verso
interno o esterno. Questo succede fino a 30 Masse
terrestri.
Turbolenza estesa: modificazioni su larga scala della densità del
disco (MHD?)
Migrazione di un sistema di pianeti in
assenza di turbolenza su larga scala.
Andamento stocastico in presenza di
turbolenza
Rallentamento della migrazione dovuto alla presenza di una ‘dead zone’,
zona a bassa viscosità (ad esempio,  ~ 10-5 e ~10-2).
La densità varia bruscamente ai
confini della dead zone.
Momento
della forza
causato
dalle
risonanze di Lindblad si inverte e il
pianeta migra verso l’esterno.
Formazione di un gap nel disco:
Interazione mareale: si
Migrazione tipo II
forma un gap nel disco
in corrispondenza al
pianeta.
• Particelle esterne più
lente -> accelerate.
• Particelle interne più
veloci -> accelerano
pianeta.
• L’evoluzione viscosa
spinge il disco verso il
pianeta, la zona interna
del gap si sposta verso
interno, quella esterna
preme
• gap asimmetrico,
pianeta migra.
La migrazione di Tipo II è più lenta di quella di Tipo I che
viene inibita inquanto le risonanze di Lindblad si trovano
dentro il gap.
II = 3 x 105 ( / 10-4) -1 yr
Quando vengono inclusi effetti di turbolenza su larga scala
il gap si forma a masse maggiori del pianeta e risulta meno
profondo (densità più elevata).
Migrazione di tipo II può essere
molto rallentata dalla presenza di
una ‘dead-zone’
All’interno della dead zone
Si apre il gap a masse molto
più piccole
L’evoluzione viscosa è molto
più lenta)
Mp = massa del pianeta,
M* =massa della stella,
hp = altezza di scala del disco in
corrispondenza al suo raggio rp
Come fermare la migrazione prima che il pianeta
cada sulla stella?
1) Quando la pressione
magnetica del campo della stella
equivale la pressione dovuta
all’evoluzione viscosa del disco,
la materia viene deviata dal
campo. Il disco viene svuotato e
l’inflow segue le linee di campo.
Questo avviene in prossimita’
del raggio di corotazione
(Periodo Kepleriano del disco =
periodo rotazione della stella).
2) Interazione mareale con la stella
(tipo sistema Terra-Luna)
3) Scambio di massa con la stella
per fuoriuscita dal lobo di Roche
4) Un’intensa fotoevaporazione del disco
in prossimità della stella apre un gap nel
disco e può fermare la migrazione.
Perché Giove e Saturno non sono
migrati su orbite più interne?
Saturno si forma vicino al bordo
del gap di Giove, migrazione di
tipo II di Saturno lo porta più
vicino a Giove, entrano in
risonanza (2:3). Quando sono in
risonanza, i due pianeti migrano
verso l’esterno perche’ le
risonanze di Lindblad all’esterno
sono proporzionali a MS, mentre
quelle all’interno sono
proporzionali a MJ e questo
sembra sufficiente a invertire il
verso di migrazione.
Masset & Snellgrove (2001).
Risonanza di Kozai
E suoi effetti sull’eccentricità di
pianeti in sistemi stellari binari
16 Cyg B b e HD80606:
pianeti in risonanza di
Kozai con la compagna
della stella primaria?
(Holman, Touma, & Tremaine 1997, Wu
& Murray 2003)
Pianeta (16 Cyg b B)
Period
(d)
ecc
omega
(deg)
Vel Amp, K Msini
(m/s)
(M_jup)
a
(AU)
798.938
0.67
84
51.24
1.67
Stella (16 Cyg b)
1.69
Separazione tra le stelle 840 AU?
Spectral Type
Mass
(M_sun)
Apparent
magnitude
Distance
(pc)
P_rot
(d)
[Fe/H]
G5V
1.01
6.25
21.41
26.20
0.09
Risonanza di
Kozai
Teoria secolare con espansione della funzione perturbatrice
al secondo ordine in r/r’ (per r’>>r) utilizzando i polinomi di
Legendre. Funziona bene ad alte inclinazioni.
Con b’ = a’(1-e’2)1/2
Il segno di di/dt e de/dt
sono opposti. Oscillazioni
in antifase.
L’integrale di Kozai è
costante: oscillazioni
in antifase di e ed i
Periodo dipende da
massa e distanza della
compagna.
Esempi di
comportamenti
dinamici descritti
da R di Kozai.
Migrazione di Kozai (?): quando l’eccentricità è alta, l’interazione
mareale con la stella circolarizza l’orbita riducendo il semiasse
maggiore.
Nuove teorie secolari
La teoria lineare di LaplaceLagrange non funziona per i
sistemi a più pianeti
La teoria secolare per due pianeti di LaplaceLagrange và rivista…
20 sistemi planetari con più di un pianeta
2 con 4 (55 Cnc, HD 160691)
4 con 3 (Ups And, Gliese 876….)
14 con 2 (47 Uma, HD 8574 …..)
La teoria di LagrangeLaplace funziona per
piccoli e ed i, mentre in
molti sistemi extrasolari
i pianeti hanno elevate
eccentricità!
HD74156
e1=0.636 e2=0.583
HD202206
e1=0.435 e2=0.267
HD12661
e1=0.350 e2=0.20
HD128311
e1=0.25
Ups And
e1=0.012 e2=0.27
………
e2=0.17
Teoria lineare di Lagrange-Laplace al secondo ordine in e ed i.
Valida per basse inclinazioni ed eccentricità dei 2 corpi perché lo
sviluppo di R è fatto in e ed i.
Equazioni differenziali
del primo ordine:
teoria lineare
Eccentricità ed inclinazioni evolvono con una singola
frequenza. Per le eccentricità questa frequenza è la differenza
tra g1 e g2
Orbite allineate con alta eccentricità e in
risonanza apsidale sembrano più stabili
di quelle non risonanti (calcolo del coeff.
lyapunov).
HD12661
47 Uma
Libert & Henrard (2006)
Ordine 12 in potenze
dell’eccentricità nello
sviluppo di R
Confronto della teoria nonlineare di Libert & Henrard
con quella di LagrangeLaplace per quel che
~
riguarda il periodo di Δω
Lagrange-Laplace
Nuove teorie secolari ad alte eccentricità
Michtchenko and Malhotra (2004), Michtchenko, Ferraz-Mello and Beaugè
(2006), Lee and Peale (2003) ….
Migliore definizione
dei limiti in cui si passa
da risonanza apsidale
a circolazione di Δω~
Scoperta di una
risonanza non-lineare
Risonanze in moto medio
tra i pianeti
Pianeti in risonanze di moto medio
GJ876, HD82943, 55Cnc..
Durante la migrazione (per interazione con il disco protoplanetario
o con un disco di planetesimi) i pianeti rimangono intrappolati in
una risonanza di moto medio.
Sviluppo della
funzione di
disturbo.
Esempio 2/1:
~
σ1=2λ2-λ1-ω
1
~
σ2=2λ2-λ1-ω
2
~ ~ -ω
~
Δω=ω
2
1
Beaugè, Ferraz-Mello &
Michtchenko (2003, ..2006)
Integrazione di un
gran numero di
sistemi e misura della
loro stabilità con il
metodo dell’analisi in
frequenza
Marzari, Scholl &
Tricarico (2006)
I pianeti in risonanza non sempre
sono in corotazione apsidale. La
probabilità è uguale per le due
configurazioni dinamiche. Ma da
un punto di vista analitico
vengono studiati solo quelli in
corotazione.
Esistono meccanismi dinamici
di protezione contro i close
encounters legati
all’orientazione dei perieli.
Interazioni tra pianeti giganti (modello dei Jumping Jupiter)
( Weidenschilling & Marzari 1996 ; Marzari & Weidenschilling 2002 )
1)
I pianeti giganti si formano
oltre la frost–line secondo il
modello standard
2)
I pianeti effettuano incontri
ravvicinati (fase caotica)
3)
Espulsione di un pianeta in
orbita iperbolica
Inserimento di un altro
in orbita eccentrica,
interna ed inclinata,
Le orbite sono interne, eccentriche e con elevate inclinazioni mutue
Nuovi scenari dinamici per capire i sistemi
extrasolari
Esistono problemi che riguardano i tempi scala
della migrazione planetaria e l’origine delle elevate
eccentricità dei pianeti
Le risonanze aiutano la stabilità a lungo termine
I diversi fenomeni agiscono assieme per produrre i
sistemi osservati (Morehead & Adams 2005).
Eliminare quel ..&@#!!%&.. bias osservativo che
favorisce pianeti su orbite ravvicinate.