Gli elettroni nei cristalli
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
funzione d’onda elettronica:
deve risolvere l’equazione di
Schrödinger in presenza di un
potenziale periodico
come si risolve il
problema per il
singolo elettrone:
funzione d’onda
che “rispecchia” la
periodicità del
potenziale
bande di energia
permesse e bande di
energia proibite
come si tratta il problema nel caso di molti elettroni:
antisimmetrizzazione della funzione d’onda
meccanica statistica quantistica
statistica di Fermi Dirac
gli elettroni nei cristalli
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
E2
E2u
E2g
E1
E1u
E1g
atomo singolo
livelli energetici
singoli
due atomi
livelli energetici
sdoppiati
E2max
E2min
E1max
E1min
molti atomi
multipletti di
livelli energetici
funzione
d’onda
elettronica
7 “nodi”
3 “nodi”
1 “nodo”
nessun “nodo”
livelli
energetici
elettronici
gli elettroni
occupano i livelli
energetici a partire
dal più basso,
rispettando il
principio di Pauli
E1max
E1atomic
o
E1min
il solido si forma a
una distanza di
equilibrio tale da
minimizzare
l’energia
complessiva degli
elettroni che
occupano i livelli
distanza di equilibrio
molti elettroni per atomo:
riempimento fino al livello 4
bande di
energia
distanza di equilibrio = a
E4max
E4max
E4atomico
E4min
E3max
E4min
E3max
E3atomic
o
E3min
E3min
E2max
E2max
E2atomic
o
E2min
E2min
E1atomic
o
bande di
energia
E4atomico
pochi elettroni:
si riempiono
solo i primi livelli
distanza di
equilibrio = a’
E3atomic
o
E’2max
E’2max
E2atomic
o
E’2min
E’2min
E1atomic
E’1
o
moto di un elettrone in un
potenziale periodico:
soluzione formale
esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a)
Hamiltoniana:
px2
H ( x)
V ( x)
2m
l’hamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica):
H(x)=H(x+a)
funzione d’onda: H(x) (x) = E
(x)
anche (x) deve essere invariante per traslazioni ?
Non necessariamente, ma | (x)|2 deve esserlo
| (x)|2 = | (x+a)|2
il teorema
di Bloch
per soddisfare la condizione |(x)|2 = |(x+a)|2 la
funzione d’onda deve poter essere scritta come
(x)= eikxu(x)
con u(x) invariante per traslazioni : u(x) = u(x+a)
(x) è chiamata “onda di Bloch”
verifica del teorema di Bloch:
come conseguenza dell’invarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a)
al più per una fase:
(x+a) = ei (x)
infatti:
(x+a) = eik(x+a)u(x+a) = eika eikxu(x) = eika (x) = ei (x)
con = ka, u(x+a) = u(x)
significato fisico dell’onda di Bloch: è il prodotto di
- un’onda piana eikx elettrone libero
- una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un
passo reticolare a u(x) funzione d’onda “in
vicinanza” del singolo atomo
potenziale modulatore
periodico V(x) grande:
si parte dalla
funzione d’onda
periodica e si include
l’effetto della fase eikx
approssimazione di
legame forte
funzione d’onda
di Bloch
px2 ikx
2k 2 ikx
e
e
2m
2m
px costante del moto
k buon numero quantico
potenziale modulatore periodico V(x) piccolo:
si parte dall’onda di elettrone libero e si corregge
per l’effetto di V(x)
elettroni di conduzione
nei metalli;
“quantum corral”
funzione d’onda:
approssimazione
di legame forte
( x ) eikx n e ik ( x na ) ( x na )
u ( x ) n e ik ( x na ) ( x na )
( x ) n eikna ( x na )
u( x a ) n eik ( x (n 1)a ) ( x (n 1)a )
x (x+a) equivale a cambiare n (n-1)
potenziale periodico:
V ( x) n E p ( x na)
n-1
n
potenziali coulombiani
0
n+1
n-1
0,14
-1
1s
n
n+1
0,12
-2
0,10
Ep,n+
Ep,n-1
-4
-5
Ep,n
-6
1
-7
psi - atomica
energia (eV)
-3
0,08
n-1
0,06
n
n+1
0,04
-8
0,02
-9
-10
0,00
-30
-20
-10
0
10
z (angstrom)
20
30
40
-30
-20
-10
0
10
z (angstrom)
20
30
40
(x-na) è soluzione dell’equazione di
Schrödinger per l’elettrone nell’atomo isolato
approssimazione di
legame forte
p x2
H at ( x) ( x na)
E p ( x na) ( x na) Eat ( x na)
2m
Sostituendo nell’equazione di Schrödinger per l’elettrone nel reticolo:
p x2
p x2
ikna
H ( x ) ( x )
V ( x ) n e ( x na )
j E p ( x ja) n eikna ( x na )
2m
2m
2
ikna p x
H ( x ) ( x ) n e
E p ( x na ) ( x na ) n eikna j n E p ( x ja) ( x na )
2m
H ( x) ( x) Eat n eikna ( x na) n eikna j n E p ( x ja) ( x na)
H ( x) ( x) Eat ( x) n eikna j n E p ( x ja) ( x na)
livello di energia atomica
modifica dovuta alle altre buche
di potenziale del reticolo
approssimazione di legame forte
Energia media:
( x) H ( x)
1
Eat
( x) ( x)
C
E
ikma *
e
( x ma)
m
ikna
E
(
x
ja
)
e
jn p
n ( x na)
dove C = < (x)|(x)>
E Eat
1
C
1
m * ( x ma) j m E p ( x ja) ( x ma)
C
ikma *
e
( x ma)
m
ikna
E
(
x
ja
)
e
j n p
n m ( x na)
1s
0,14
m-1
0,12
m+1
m
m+1
m
0,08
m
0,06
0,04
0,02
0,00
-30
-20
0
-10
0
10
20
potenzializ coulombiani
(angstrom)
30
psi - atomica
0,10
attrazione da
parte delle
j=m+1 buche vicine
0,08
0,06
n=m-1
0,04
0,02
0,00
40
-30
-20
0
-1
-1
-2
-2
-3
termine di
sovrapposizione
(o di risonanza)
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
m
-10
0
10
20
30
40
20
30
40
potenzializ coulombiani
(angstrom)
j=m
-3
energia (eV)
psi - atomica
m-1
0,12
0,10
energia (eV)
1s
0,14
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-30
-20
-10
0
10
z (angstrom)
20
30
40
-30
-20
-10
0
10
z (angstrom)
limitandosi ai “primi
vicini” (n=m1):
E Eat Ecoul
1
C
1
C
approssimazione di
legame forte
ikma ik ( m 1) a *
e
( x ma) E p ( x ma) ( x (m 1)a)
m
ikma ik ( m 1) a *
e
( x ma) E p ( x ma) ( x (m 1)a )
m
E Eat Ecoul
1 ika ika
e
e
C
m *( x ma) E p ( x ma) ( x (m 1)a)
E Eat Ecoul Eov cos(ka)
dove:
Ecoul
E ov
1
C
1
m * ( x ma) j m E p ( x ja) ( x ma)
C
m
* ( x ma) E p ( x ma) ( x (m 1)a)
termini di overlap
Ep(x-ma) <0 (potenziale
attrattivo)
k=8 kmin
overlap positivo:
(x-ma) e (x-(m-1)a)
hanno lo stesso segno
k=4 kmin
contributo negativo
all’energia di overlap
k=2 kmin
overlap negativo
(x-ma) e (x-(m-1)a)
hanno segno opposto
contributo negativo
all’energia di overlap
k=kmin
a partire da ciascun livello atomico
E
prima “zona di Brouillin”
Ea
approssimazione di
legame forte
Eoverlap
t
Ecoul
-/a
-G/2
0
/a
G/2
E Eat Ecoul Eov cos(ka)
k
bande
E4atomico
E4min
E3max
E3atomico
E3min
E2max
E2atomico
E2min
E1atomico
E1max E1min
bande di energia permesse e bande proibite
bande di energia permesse e bande proibite
bande permesse e proibite nella prima zona di Brouillin
eccitazione radiativa da una
banda alla banda superiore
(se permessa dal principio di Pauli)
E3min
E = E3min- E2max
E2max
E2min
E = E2min- E1max
E1max
sol3-18
Hamiltoniana di una
particella libera:
p x2
H ( x)
2m
Il problema del
trasporto
funzione d’onda: H(x) (x) = E (x)
elettrone libero
2m
eikx
25
2 2
k ikx
e
2m
px costante del moto
k buon numero quantico
(k ) 2
E
2m
20
energia (eV)
px2
15
10
relazione di
dispersione
parabolica
5
k (angstrom^-1)
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
v
velocità di gruppo:
1 1 E k p
v
k k k m m
k
velocità di fase e
velocità di gruppo
onde singole
due onde
k1= 1 Å-1
k2= 1,05 Å-1
1,5
1,0
0,5
ampiezza
4 onde
k1= 1 Å-1 ; k2= 1,05 Å-1
k3= 1,1 Å-1 ; k4= 1,15 Å-1
0,0
-0,5
-1,0
sovrapposizione
5,0
-1,5
4,0
0
20
40
3,0
60
80
x(angstrom)
ampiezza
2,0
sovrapposizione
1,0
5,0
0,0
4,0
-1,0
3,0
-2,0
2,0
x
-4,0
-5,0
0
20
40
60
80
100
120
x(angstrom)
xk 2
Δx Δk Δx Δp 2 h
140
ampiezza
-3,0
1,0
0,0
-1,0
160
-2,0
-3,0
-4,0
-5,0
0
100
200
300
x(angstrom)
400
500
moto dell’elettrone libero in presenza di una forza esterna
dv
F
F
dt ; dk dt dv dk
m
m
1 dE
dv
1 d 2E
; dv
v
dk
dk
dk
2
dk
dk
dk
m
elettrone libero
25
20
15
10
5
k (angstrom^-1)
0
-3
1
1 d E
2
m dk 2
-2
-1
0
v
2
schermo
F eEel
energia (eV)
in presenza di una forza esterna,
dovuta ad es. a un campo elettrico, il
“pacchetto” che all’istante t aveva un
certo numero d’onda ko e velocità vo,
all’istante (t+dt) ha numero d’onda
(ko+dk) e velocità (vo+dv) con:
Vel
catodo
1
2
3
dk
k
per l’elettrone libero,
d2E/dk2=costante,
quindi m=costante
moto di un elettrone nel cristallo in
presenza di una forza esterna
E
V
F eEel
in presenza di una forza esterna, dovuta
ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto”
di onde di Bloch che all’istante t aveva un
certo numero d’onda ko e velocità vo,
all’istante (t+dt) ha numero d’onda
(ko+dk) e velocità (vo+dv) con:
1 E
v
k
1
1 d 2E
2
m dk 2
per l’elettrone nel cristallo, d2E/dk2
non è costante, quindi m non è
costante “massa efficace”
zone di massa efficace negativa
l’elettrone si comporta come se avesse
carica elettrica positiva “buca”
moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna
riflessione al
bordo di zona
