The Bohr Atom


Capire i processi di aggregazione:
Gas, molecole, liquidi, solidi

Capire l’origine delle proprietà fisiche dei materiali:
-Proprietà e comportamento di molecole più o meno
complesse
-Perché i solidi sono superconduttori,
conduttori, semiconduttori o isolanti?
-Perché materiali sono magnetici e altri no?
- etc…

Capire come i diversi materiali possono essere
utilizzati nella tecnologia.

Ricercare e “costruire” nuovi materiali con
caratteristiche “convenienti”
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Microprocessori più veloci
Immagazzinamento dati
Sorgenti laser
Trasmissione dell’energia
Accumulazione dell’energia
Biotecnologie
Nanotecnologie
Catalisi
Tecnologie pulite
etc. etc…….
La Fisica della materia si occupa
di studiare i fenomeni che
avvengono a livello delle dimensioni
atomiche
È la teoria quantistica
dei sistemi a molte
particelle
6
• Fino alla fine del 1800 si pensava che l’atomo, neutro, fosse il
costituente elementare della materia
• Nel 1869 si conoscevano 62 diversi elementi che Mendeleyev
classificò e ordinò in una tavola periodica in base al loro peso
atomico e alle loro proprietà chimiche comuni.
Nel 1897, studiando la deflessione dei raggi catodici (luce
di fluorescenza emessa in un tubo catodico a seguito del
passaggio di elettroni), Thomson scoprì l’elettrone.
e : carica negativa; massa << massa atomica
Modello a “panettone” dell’atomo:
gli elettroni sono contenuti in una “torta”
uniforme carica positivamente
Nel 1912, Rutherford scoprì il nucleo con
esperimenti di scattering.
Modello planetario dell’atomo:
l’ atomo è costituito da un nucleo
centrale carico positivamente e da
elettroni che gli ruotano intorno come
fanno i pianeti intorno al sole; tutte le
orbite sono possibili (r dipende da v)
Incongruenze del modello planetario dell’atomo:
• stabilità degli atomi
classicamente, una carica in movimento emette energia
sotto forma di radiazione; in base alle conoscenze
dell’epoca l’elettrone sarebbe dovuto cadere sul nucleo
• Forma degli spettri atomici
Quando un corpo viene riscaldato, ad esempio il filamento di una
lampadina, emette radiazioni elettromagnetiche di diversa lunghezza
d’onda .
Se queste radiazioni, separate in  con un prisma, vengono inviate su
una lastra fotografica, si ottiene uno spettro continuo.
Al contrario se eccitiamo dei singoli atomi, ad esempio con un arco
elettrico, ed andiamo ad analizzare le radiazioni emesse, si ottengono
degli spettri a righe (chiamati anche spettri atomici).
Le linee spettrali degli atomi sono diverse per ciascun
atomo
Nel 1913 il modello planetario viene “quantizzato” da
Bohr sulla base della teoria dei “quanti” introdotta in
precedenza da Planck
Nel 1901, per spiegare l’emissione di corpo nero, Planck aveva
ipotizzato che la radiazione fosse emessa in “quanti” di energia
E = nh
dove h è la costante di Planck e  la frequenza della radiazione
L’atomo di Bohr
Postulati di Bohr:
• gli elettroni si muovono su orbite soggette alla condizione che il
momento angolare sia un multiplo intero di ħ. Per orbite circolari:
mvr=n
• gli elettroni non irradiano energia quando si trovano in un'orbita
stazionaria, definita dalla condizione precedente
• l’atomo è in grado di emettere o assorbire energia solo
quando l’elettrone si sposta da un orbita all’altra.
Quantizzazione del raggio dell’orbita
v
F=ma
Forza coulombiana
Ze 2
4πε 0 r 2
mv 2 m x accelerazione centripeta

r
2
ricaviamo:
da cui:
Ze
r
4π 0 mv 2
quantizziamo
4π 0  2 2 a0 2
rn 
n  n
2
mZe
Z
a 0 
4πε 0  2
me 2
Raggio di Bohr
Ze 2
Ze 2
v

4π 0 mvr 4π 0 n
Quantizzazione dell’energia
2
1
Ze
E  mv 2 
2
4πε 0 r
dove
2
Ze
mv 2 
4πε 0 r
1 Ze 2
Ze 2
1 Ze 2
1
En 



2 4π 0 r 4ππ0 r
2 4π 0 r
2
E n  13.607
Z2
n2
eV
Ze 2
me 4 Z 2

2
2
4π 0  2
8ε 0 h 2 n 2
4π 0
n
2
mZe
h  E n  E n
1
n 2  n1
2
 1
1
 13 .6 2  2
n
n2
 1

eV


Pieno accordo con i
dati sperimantali!
L’atomo di Bohr risolve i problemi del modello planetario ma è ancora
essenzialmente classico: gli elettroni sono particelle corpuscolari che si
muovono classicamente intorno al nucleo
Nel 1924 De Broglie formulò l'ipotesi rivoluzionaria:
anche le particelle sono onde
h
h
 
p mv
 (m) 
h
h
1

 0.49 1018
 1.2 109
p
2mE
E( J )
Raggi X
1
E (eV )
E100eVÅ
Elettroni
Davisson e Germer 1927
Ipotesi confermata da esperimenti di diffrazione
L’atomo di Bohr-De Broglie:
Le orbite dell’atomo di Bohr in cui l’onda elettronica è
stazionaria: 2rn=n for n=1,2,3,…
Se la lunghezza d’onda non è corretta
l’interferenza distrugge l’onda stessa:
atomo instabile
La condizione sulla lunghezza d’onda coincide con la
quantizzazione del momento angolare postulata da Bohr
2rn  n and   h / mv
2rn  nh / mv or mvrn  nh / 2  n
Nasce la meccanica ondulatoria:
• Principio di indeterminazione di Heisenberg :
xp  h
• Equazione di Schroedinger
i

 (r, t )  H (r, t )
t
• Densità di probabilità di Born
|(r,t)|2 esprime la probabilità che la particella si
trovi, in un determinato istante, in una certa posizione
dello spazio
Atomi con più elettroni
He
2p
2s
Li
2
Be
3
4
B
5
1s
2s
1s
2
2
2
Modi di aggregazione degli atomi nella
materia
Molecola
Materia Liquida
Solido amorfo
Proteina
Monocristallo
Su che distanze si legano gli atomi?
molecola
a
Solido
Legame covalente
Si ridistribuisce la carica elettronica
distanze tipiche di legame a~Å
 Per poter apprezzare le grandezze caratteristiche della fisica alle
dimensioni atomiche (1 Å) è necessario utilizzare sonde con
dimensioni paragonabili.

Dmin 

2n( ) sin  : la luce, avendo lunghezza d’onda  ~ 5000 Å può
fornirci solo informazioni medie.
Attraverso Microscopio elettronico e Microscopio Tunnel a Scansione
oggi possiamo visualizzare direttamente gli atomi
Natura
100 m
10-1 m
Monarch butterfly
~ 0.1 m
10-2 m
Human hair
~ 50 mm wide
Visible
spectrum
Fly ash
~ 10-20 mm
DNA
~2 nm wide
Atoms of silicon
spacing ~tenths of nm
10-4 m
10-5 m
10-6 m
10-7 m
10-8 m
10-9 m
10
m
-10
1 mm
The
Microworld
Dust mite
300 mm
Progresso nella comprensione a livello atomico
10-3 m
Oggetti artificiali
Objects fashioned from
metals, ceramics, glasses, polymers ...
Head of a pin
1-2 mm
Microelectronics
MEMS (MicroElectroMechanical Systems) Devices
10 -100 mm wide
1 mm
The Nanoworld
Bee
~ 15 mm
Red blood cells
with white cell
~ 2-5 mm
1 m
Progresso nella miniaturizzazione
Lo sviluppo tecnologico permette oggi di costruire materiali e dispositivi su scala
nanometrica: nanofisica e sistemi a bassa dimansionalità
Quantum dot array -germanium dots on silicon
Indium arsenide
quantum dot
1 nanometer (nm)
Quantum corral of 48 iron atoms on copper
surface
positioned one at a time with an STM tip
Corral diameter 14 nm
Scanning Tunneling Microscopy
STM
Portando una punta metallica molto vicino alla superficie, ed
applicando una piccola tensione di (0.02-2 V) gli elettroni
possono attraversare la barriera per effetto “tunnel”.
Questo effetto quantomeccanico può essere sfruttato per
visualizzare gli atomi di una superficie a causa del
comportamento esponenziale della corrente di tunnel in
funzione della distanza punta-campione.
Interazione punta- campione
Si sviluppa una barriera di potenziale
Effetto tunnel
Barriera di Potenziale
Coefficiente di trasmissione in approx WKB
(Gasiorowicz p.84-89)
T e
2
2
T e

2

dx
barriera
2
2m

2
T
V ( x ) E 
a
 dx
0
2mW
e

2
2 mWa
Barriera trapezioidale
W
a
Effetto tunnel – I vs V
applicando una tensione V, la corrente che scorre tra i due elettrodi
posti a distanza a è data da:
I  T  I  Ve
2
2k Wa
2 2m
eV 1/ 2
k
 0.501
h
Å
W
(w 1  w 2 )
 1  4eV
2
I~nA-pA
varia esponenzialmente con la distanza a:
un ordine di grandezza per Å!
tubo piezoelettrico
con elettrodi
Tensione di controllo per il tubo
piezoelettrico
Amplificatore
della corrente
di tunnel
Controllo della
distanza e unità di
scansione
Punta
Trattamento dati e
visualizzazione
campione
Tensione di
Polarizzazione
Crescita controllata a livello atomico
Deposizione Si
1 Å/s
8 nm
-
Crescita di punti quantici di Ge/Si
Studio delle proprietà termodinamiche dei materiali
Studio di materiali biologici
DNA
Assemblaggio di atomi tramite la punta di un
STM
“Recinto quantistico” ovvero trappola per elettroni
realizzata all’IBM di Almaden (CA)
da 48 atomi di Fe disposti in cerchio tramite la punta STM.
La punta e’ stata poi utilizzata per ottenere l’immagine
Programma di Elementi di Struttura della Materia
a.a. 2006-2007
Fisica Atomica:
L’atomo di Bohr e nascita della meccanica quantistica
• Atomi idrogenoidi:
funzioni d’onda, numeri quantici e livelli energetici; Struttura fine dei livelli
energetici;
• Atomi a due elettroni:
modello a particelle indipendenti; calcolo perturbativo e variazionale dell’effetto
della repulsione coulombiana tra gli elettroni
• Atomi a molti elettroni:
modello a particelle indipendenti in approssimazione di campo centrale; livelli
energetici di singolo elettrone; riempimento dei livelli energetici e configurazione
elettronica degli atomi; tavola periodica degli elementi;
Correzioni all'approssimazione di campo centrale, accoppiamento L-S.
• Spettri atomici
Principi della spettroscopia
Interazione degli atomi con la radiazione elettromagnetica
Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo;
Probabilità di transizione: assorbimento, emissione spontanea e stimolata
Regole di selezione in approssimazione di dipolo
Fisica Molecolare
Separazione tra il moto dei nuclei e il moto degli elettroni
•Soluzione del problema elettronico in molecole biatomiche
Metodo degli orbitali molecolari e approssimazione LCAO;
molecole omonucleari:
Molecola H2+
Stato fondamentale della molecola H2
Soluzione del problema nucleare nelle molecole biatomiche:
vibrazione e rotazione delle molecole
• Spettri molecolari
Fisica dei solidi
Formazione delle bande nei solidi
Teorema di Bloch e classificazione degli stati elettronici nei cristalli
Modello di elettrone libero e quasi libero
Occupazione degli stati elettronici
Metalli, isolanti e semiconduttori
Modello di Drude per la conducibilità elettrica.
Libri di testo:
Fisica atomica e molecolare:
B.H.Bransden, C.J.Joachain: Physics of Atoms and Molecules. Longman.
Dispense (disponibili sulla pagina web del corso)
Fisica dei solidi
Dispense (disponibili sulla pagina web del corso)
Libri consigliati:
Eisberg-Resnick: Quantum Physics of atoms, molecules, nuclei and
particles. Wiley and sons
Alonso Finn: Fundamental University Physics III Quantum and statistical
physics Addison Wesley
P. W. Atkins, R. S. Friedman Meccanica quantistica Molecolare.
Zanichelli
Ashcroft-Mermin: Solid State Physics. Saunders College.