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Giochi statici (o a mosse
simultanee) ad informazione
incompleta
Introduzione ai Giochi Bayesiani statici
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
1
Sintesi dei giochi statici ad
informazione incompleta
 Introduzione ai giochi statici ad informazione
incompleta
 Rappresentazione in forma Normale (o
forma strategica) dei giochi Bayesiani statici
 Equilibrio di Nash Bayesiano
 Aste
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2
Giochi statici ad informazione
COMPLETA
 Un insieme di giocatori (almeno due)
 Per ogni giocatore, un insieme di strategie
 Payoffs ricevuti da ogni giocatore a
seconda della combinazione di strategie
giocate.
 I tre elementi citati sono conoscenza
comune fra tutti i giocatori.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
3
Giochi statici ad informazione
INCOMPLETA
 I Payoffs non sono più conoscenza comune
 Informazione incompleta significa che
 Almeno
un giocatore è incerto sulla
funzione di payoff di qualche altro
giocatore.
 I giochi statici ad informazione incompleta
sono anche chiamati giochi statici Bayesiani
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
4
Dilemma del prigioniero ad
informazione completa
 Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un brutto
crimine. Non ci sono però prove schiaccianti.
 Ad entrambi i sospetti sono elencate le condizioni della loro prigionia:
 Se nessuno dei due confessa sarrano accusati di un crimine
minore e faranno un mese di carcere.
 Se entrambi confessano saranno accusati del crimine e faranno
sei mesi di carcere.
 Se uno confessa (accusando l’altro) e l’altro nega,chi confessa va
fuori libero e l’accusato farà 9 mesi di carcere.
Prig. 2
Nega
Nega
Prig. 1
Confessa
Confessa
-1 ,
-1
-9 ,
0
0 ,
-9
-6 ,
-6
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5
Dilemma del prigioniero ad
informazione incompleta
 Il Prigioniero 1 è sempre razionale (egoista).
 Il prigioniero 2 può essere razionale (egoista) o altruista, a
seconda del fatto che sia felice oppure triste.
 Se è altruista allora preferisce negare e pensa che confessare
(accusando l’altro) è equivalente (in termini morali, di
coscienza) a fare “quattro mesi di carcere in più”.
 Il prigioniero 1 non sa sicuramente se il prigioniero 2 è
razionale o altruista, ma lui crede che il prigioniero 2 è razionale
con probabilità 0.8, e altruista con probabilità 0.2.
Payoffs se il
prigioniero 2 è altruista
Prig. 1
Prig. 2
Nega
Confessa
Nega
-1 ,
-1
-9 ,
Confessa
0 ,
-9
-6 , -10
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
-4
6
Dilemma del prigioniero
ad informazione incompleta
 Data la convinzione (beliefs) del prigioniero 1 sul prigioniero 2,
quale strategia dovrebbe scegliere il prigioniero 1?
 Quale strategia deve scegliere il prigioniero 2 nel caso in cui sia
razionale o altruista?
Payoffs se il prig. 2 è
razionale
Prig. 1
Prig. 2
Nega
Confessa
Nega
-1 ,
-1
-9 ,
0
Confessa
0 ,
-9
-6 ,
-6
Payoffs se il prig. 2 è
altruista
Prig. 1
Prig. 2
Nega
Confessa
Nega
-1 ,
-1
-9 ,
Confessa
0 ,
-9
-6 , -10
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-4
7
Dilemma del prigioniero ad
informazione incompleta
 Soluzione:
 Il Prigioniero 1 sceglie di confessare, data la sua
convinzione sul prigioniero 2
 Il Prigioniero 2 sceglie di confessare se è razionale, e
di negare se è altruista
 Questo può essere scritto come
(Confessa, (Confessa se razionale, Nega se altruista))
 Confessa è la risposta ottima del prig. 1 alla scelta
del prigioniero 2 (Confessa se razionale, Nega se altruista).
 (Confessa se razionale, Nega se altruista) è la risposta
ottima del prig. 2 alla scelta del prigioniero 1
Confessa
 Questo è un Equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di
Nash Bayesiano (BNE)
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8
Duopolio di Cournot ad
informazione completa
 La rappresentazione in forma normale :



Insieme dei giocatori:
Insieme delle strategie:
{ Firm 1, Firm 2}
S1=[0, +∞), S2=[0, +∞)
Funzione dei payoff:
u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c),
u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c)
 Tutte queste informazioni sono conoscenza
comune
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 Un prodotto omogeneo è realizzato solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le
quantità da esse prodotte sono indicate con
q 1 e q 2.
 Le quantità vengono scelte simultaneamente.
 Il prezzo di mkt. : P(Q)=a-Q, dove a è una
costante e Q=q1+q2.
 La funzione dei costi dell’impresa 1:
C1(q1)=cq1.
 Tutto questo è conoscenza comune
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la




tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo
marginale potrebbe essere:
 ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2.
 Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.
Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore
specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi
marginali.
Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi
marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello
che sarà il livello dei payoff.
L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa
2 sarà:
 C2(q2)=cHq2 con probabilità , e
 C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.
Queste cose sono conoscenza comune
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
Una soluzione per il modello del duopolio di Cournot ad informazione
incompleta.
L’impresa 2 sa esattamente se il suo costo marginale è alto o basso.
 Se il suo c.m. è basso, i.e. C2 (q2 )  cH q2 , allora, per ogni
dato q1 , risolverà il seguente problema:
Max
q2 [a  (q1  q2 )  cH ]
s.t.
q2  0
1
q2 (cH )  (a  q1  cH )
2
 q2 (cH ) è la risposta ottima dell’impresa 2 a q1 , se il suo
 FOC: a  q1  2q2  cH  0 
costo marginale è alto.
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 Se il suo c.m.è basso, i.e. C2 (q2 )  cL q2 , allora, per ogni
dato q1 , risolverà il seguente problema
Max
q2 [a  (q1  q2 )  cL ]
s.t.
q2  0
1
 FOC: a  q1  2q2  cL  0  q2 (cL )  (a  q1  cL )
2
 q2 (cL ) è la risposta ottima dell’impresa 2 a q1 , se il suo
costo marginale è basso.
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 L’impresa 1 conosce esattamente la propria funzione dei costi
C1 (q1 )  cq1.
 L’impresa 1 non sa se il c.m. dell’impresa 2 è alto o basso.
 Ma crede che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà
C2 (q2 )  cH q2 con probabilità  , e C2 (q2 )  cL q2 con
probabilità 1  
 Equivalentemente, sa che la probabilità che la quantità
dell’impresa 2 sia q2 (cH ) è  , la probabilità che la quantità
dell’impresa 2 sia q2 (cL ) è 1   . Quindi risolverà il seguente
problema:
Max   q1[a  (q1  q2 (cH ))  c]
 (1   )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  c]
s.t.
q1  0
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 Il problema dell’impresa 1 è:
Max   q1[a  (q1  q2 (cH ))  c]
 (1   )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  c]
s.t.
q1  0
 FOC:
 [a  2q1  q2 (cH )  c]  (1   )[a  2q1  q2 (cL )  c]  0
Quindi, q1 
 [a  q2 (cH )  c]  (1   )[a  q2 (cL )  c]
2
 q1 è la risposta ottima dell’impresa 1alla convinzione che
l’impresa 2 scelga q2 (cH ) con probabilità  , e q2 (cL ) con
probabilità 1  
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
 Adesso abbiamo
1
q2 (cH )  (a  q1  cH )
2
1
q2 (cL )  (a  q1  cL )
2
 [a  q2 (cH )  c]  (1   )[a  q2 (cL )  c]
q1 
2
 Tre equazioni e tre incognite. Risolvere il sistema ci
conduce a :
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Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta
1
1
q2* (cH )  (a  2cH  c) 
(c H  c L )
3
6
1

q2* (cL )  (a  2cL  c)  (cH  cL )
3
6
a  2c  cH  (1   ) cL
q1* 
3
 L’impresa 1 sceglie q1*
 L’impresa 2 sceglie q2* (cH ) se il suo c.m. è alto, o q2* (c L ) se il
suo c.m. è basso.
 Questo può essere scritto come ( q1* , ( q2* (cH ) , q2* (c L ) ))
 Le quantità di riferimento sono risposte ottime reciproche
 Questa soluzione è chiamata Equilibrium di Nash Bayesiano.
 Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima
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per ogni tipo
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Riassunto
 Definizione di gioco statico ad informazione
incompleta
 Dilemma del prigioniero ad informazione
incompleta
 Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta
 Prossimo argomento
 Altri esempi
 Equilibrio di Nash Bayesiano
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Un prodotto omogeneo è realizzato solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le
quantità relative sono rispettivamente q1 e q2.
 Le imprese scelgono le quantità
simultaneamente.
 Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è
una costante e Q=q1+q2.
 Queste caratteristiche del gioco sono di
conoscenza comune
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i.e. la




tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo
marginale potrebbe essere:
 ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2.
 Basso (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.
Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore
specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi
marginali.
Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi
marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello
che sarà il livello dei payoff.
L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa
2 sarà:
 C2(q2)=cHq2 con probabilità , e
 C2(q2)=cLq2 con probabilità 1–.
Queste cose sono conoscenza comune
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Anche i costi marginali dell’impresa 1 dipendono da alcuni fattori
indipendenti da quelli dell’impresa 2 che solo l’impresa 1
conosce. Il suo costo marginale può quindi essere
 Alto (H): funzione dei costi: C1(q1)=cHq1.
 Basso (L): funzione dei costi: C1(q1)=cLq1.
 Prima di produrre, l’impresa 1 può osservare questi fattori e
conoscere esattamente il livello del proprio costo marginale.
 Invece, l’impresa 2 non conosce esattamente i costi dell’impresa
1. Quindi, è anche incerta sui payoff dell’impresa1.
 L’impresa 2 crede che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà
 C1(q1)=cHq1 con probabilità , e
 C1(q1)=cLq1 con probabilità 1–.
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente il suo
livello di costi marginali.
 Prima di produrre, l’impresa 1 NON conosce esattamente il
livello di costi marginali dell’impresa 2.
 Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà:
 C2 (q2 )  cH q2 (e quindi l’impresa 2 sceglierà q2 (cH ) )
con probabilità  .
 C2 (q2 )  cL q2 (e quindi l’impresa 2 sceglierà q2 (cL ) )
con probabilità 1   .
 Adesso risolviamo il problema dell’impresa 1, dati si suoi
“belief” sull’impresa 2.
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
 Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. C1 (q1 )  cH q1, allora, dati I suoi
“belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:
Max   q1[a  (q1  q2 (c H ))  cH ]  (1   )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  cH ]
s.t.
 FOC:
q1  0
 [a  2 q1  q2 (cH )  cH ]  (1   )[a  2 q1  q2 (cL )  cH ]  0
 [a  q2 (c H )  cH ]  (1   )[a  q2 (cL )  cH ]
Quindi, q1(c H ) 
2
 q1 (cH ) è la risposta ottima dell’impresa 1 supponendo che (beliefs)
l’impresa 2 sceglierà q2 (cH ) con probabilità  , e q2 (cL ) con
probabilità 1   , se il costo marginale dell’impresa 1 è ALTO.
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
L’impresa 1 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
 Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. C1 (q1 )  cL q1, allora, dati I suoi
“belief” sull’impresa 2, risolverà il seguente problema:
Max   q1[a  (q1  q2 (c H ))  cL ]  (1   )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  cL ]
s.t.
 FOC:
q1  0
 [a  2 q1  q2 (cH )  cL ]  (1   )[a  2 q1  q2 (cL )  cL ]  0
 [a  q2 (c H )  cL ]  (1   )[a  q2 (cL )  cL ]
Quindi, q1(c L ) 
2
 q1 (cL ) è la risposta ottima dell’impresa 1 alla supposizione (beliefs)
che l’impresa 2 scelga q2 (cH ) con probabilità  , e q2 (cL ) con
probabilità 1   , se il costo marginale dell’impresa 1 è BASSO (L).
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Prima di produrre, l’impresa 2 conosce esattamente il suo
livello di costi marginali.
 Prima di produrre, l’impresa 2 NON conosce esattamente il
livello di costi marginali dell’impresa 1.
 Ma “crede” che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà:
 C1 (q1 )  cH q1 (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà q1 (cH ) )
con probabilità  .
 C1 (q1 )  cL q1 (nel qual caso l’impresa 1 sceglierà q1 (cL ) )
con probabilità 1   .
 Risolviamo adesso il problema dell’impresa 2 data le sue
“credenze” sull’impresa 1.
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
L’impresa 2 sà esattamente se il suo c.m. è alto o basso.
 Se il suo c.m. è ALTO (H), i.e. C2 (q2 )  cH q2 , allora, date le sue
credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema
Max   q2 [a  (q1 (c H )  q2 )  cH ]  (1   )  q2 [a  (q1 (cL )  q2 )  cH ]
s.t.
q2  0
 FOC:
 [a  q1 (cH )  2 q2  cH ]  (1   )[a  q1 (cL )  2 q2  cH ]  0
 [a  q1 (c H )  cH ]  (1   )[a  q1 (cL )  cH ]
Quindi, q2 (c H ) 
2
 q2 (cH ) è la risposta ottima dell’impresa 2 basata sulla supposizione
che l’impresa 1 scelga q1 (cH ) con probabilità  , e q1 (cL ) con
probabilità 1   , se il costo marginale dell’impresa 2 è ALTO (H).
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
L’impresa 2 sa esattamente se il suo c.m. è alto o basso
 Se il suo c.m. è BASSO (L), i.e. C2 (q2 )  cL q2 , allora, date le sue
credenze sull’impresa 1, risolverà il seguente problema:
Max   q2 [a  (q1 (c H )  q2 )  cL ]  (1   )  q2 [a  (q1 (cL )  q2 )  cL ]
s.t.
 FOC:
q2  0
 [a  q1 (cH )  2 q2  cL ]  (1   )[a  q1 (cL )  2 q2  cL ]  0
 [a  q1 (c H )  cL ]  (1   )[a  q1 (cL )  cL ]
Quindi, q2 (c L ) 
2
 q2 (cL ) è la risposta ottima dell’impresa 2 alla supposizione che
l’impresa 1 scelga q1 (cH ) con probabilità  , e q1 (cL ) con probabilità
1   , se il costo marginale dell’impresa 2 è BASSO (L).
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Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Adesso abbiamo
q1(c H ) 
 [a  q2 (c H )  cH ]  (1   )[a  q2 (cL )  cH ]
2
 [a  q2 (c H )  cL ]  (1   )[a  q2 (cL )  cL ]
q1(c L ) 
2
 [a  q1 (c H )  cH ]  (1   )[a  q1 (cL )  cH ]
q2 (c H ) 
2
 [a  q1 (c H )  cL ]  (1   )[a  q1 (cL )  cL ]
q2 (c L ) 
2
 Questo è un modello simmetrico. Quindi q1(cH )  q2 (cH ) e q1(cL )  q2 (cL ) .
Risolvere questo sistema a 4 incognite e 4 equazione ci dà.
1
1
q1* (cH )  q2* (cH )  (a  cH ) 
(c H  c L )
3
6
1

q1* (cL )  q2* (cL )  (a  cL )  (cH  cL )
3
6
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28
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Ciò può essere scritto come (( q1* (cH ) , q1* (cL ) ), ( q2* (cH ) , q2* (cL ) ))
 Se il c.m. dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà q1* (c H ) come risposta ottima alle quantità
*
*
dell’impresa 2 ( q2 (c H ) , q2 (c L ) ).
 Se il c.m. dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà q1* (cL ) come risposta ottima alle quantità
*
*
dell’impresa 2 ( q2 (c H ) , q2 (c L ) ).
 Se il c.m. dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà q2* (c H ) come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 1 ( q1* (c H ) , q1* (cL ) ).
 Se il c.m. dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà q2* (cL ) come risposta ottima alle quantità
dell’impresa 1 ( q1* (c H ) , q1* (cL ) )
 Questo è un equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano.
 Dipende dai “TIPI” e quindi avremo una strategia ottima per ogni tipo
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29
Battaglia dei sessi
 In posti separati, Chris e Pat devono scegliere cosa fare la sera
(opera o combattimento).
 Entrambi conoscono quanto segue:



Preferiscono passare la serata insieme.
Chris preferisce l’opera.
Pat preferisce il combattimento.
Pat
Opera
Chris
Prize Fight
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Prize Fight
0 ,
0
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
30
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione uno)
 Adesso le preferenze di Pat dipendono dal fatto che sia o
meno felice.
 Se è felice allora le sue preferenze saranno le stesse.
 Se è infelice allora preferisce starsene da solo e le sue
preferenze sono quelle del gioco sottorappresentato.
 Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris
“believes” che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice
con probabilità 0.5
Pat
Payoffs se Pat è infelice
Opera
Chris
Prize Fight
Opera
2 ,
0
0 ,
2
Prize Fight
0 ,
1
1 ,
0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
31
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione uno)
 Come trovare una soluzione ?
 Due “tipi” di Pat: felice e infelice
Payoffs se Pat è felice
con probabilità 0.5
Chris
Pat
Opera
Prize Fight
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Prize Fight
0 ,
0
1 ,
2
Payoffs se Pat è infelice
con probabilità 0.5
Chris
Pat
Opera
Prize Fight
Opera
2 ,
0
0 ,
2
Prize Fight
0 ,
1
1 ,
0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
32
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione uno)
 Risposta ottima
 Se Chris sceglie opera allora la risposta di Pat sarà:
opera se è felice, e prize fight se è infelice
 Supponiamo che Pat scelga opera se è felice, e prize
fight se è infelice. Quale sarà la risposta ottima di
Chris?
 Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 2 se
Pat è felice, o 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso
sarà allora di 20.5+ 00.5=1
 Se Chris sceglie prize fight allora lei otterà 0 se Pat è
felice, o 1 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di
00.5+ 10.5=0.5
 Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera
 Un BNE: (opera, (opera se felice e prize fight se
infelice))
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
33
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione uno)
 Risposta ottima


Se Chris sceglie prize fight allora la risposta ottima di Pat
sarà: prize fight se felice, e opera se infelice
Supponiamo che Pat scelga prize fight se è felice, e opera
se è infelice. Quale sarà la strategia ottima di Chris?




Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è
felice, o 2 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà quindi di
00.5+ 20.5=1
Se Chris sceglie prize fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è
felice, o di 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di
10.5+ 00.5=0.5
Dato che 1>0.5, la risposta ottima di Chris sarà opera
(prize fight, (prize fight se felice e opera se infelice)) NON è
un BNE.
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Riassunto
 Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione due)
 Battaglia dei sessi ad informazione incompleta
(versione uno)
 Prossimo argomento
 Equilibrio di Nash Bayesiano
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
35
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 Un prodotto omogeneo è prodotto solo da
due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le
quantità sono denotate da q1 e q2.
 La scelta delle quantità è simultanea.
 Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è
una costante e Q=q1+q2.
 Tutto ciò è conoscenza comune
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
36
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 I costi dell’impresa 2 dipendono da un fattore
(e.g. la tecnologia) che solo l’impresa 2
conosce. Il suo costo può essere
ALTO (H): funzione dei costi: C2(q2)=cHq2.
 BASSO (L): funzione dei costi : C2(q2)=cLq2.

 I costi dell’impresa 1 dipendono da un altro
fattore (indipendente o dipendente) che solo
l’impresa 1 conosce. Il suo costo può essere
ALTO (H): funzione dei costi : C1(q1)=cHq1.
 BASSO (L): funzione dei costi : C1(q1)=cLq1.

Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
37
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa sarà
 q1 (cH ) se I suoi costi sono Alti
 q1 (cL ) se I suoi costi sono Bassi
La quantità scelta dall’impresa 1 dipende dai suoi costi. Essa
sarà
 q2 (cH ) se I suoi costi sono Alti
 q2 (cL ) se I suoi costi sono Bassi
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
38
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 Prima di produrre, l’impresa 1 conosce esattamente se il suo costo è Alto
o Basso.
 Invece, l’impresa 1 non conosce esattamente I costi dell’impresa 2. Come
risultato, è incerta sui payoff dell’impresa 2.
 L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono Alti allora la funzione di costo
dell’impresa 2 sarà
 C2 (q2 )  cH q2 con probabilità p1 (c2  cH | c1  cH ) , e
 C2 (q2 )  cL q2 con probabilità p1 (c2  cL | c1  cH ) .
 L’impresa 1 crede che se I suoi costi sono BASSI allora la funzione di
costo dell’impresa 2 sarà
 C2 (q2 )  cH q2 con probabilità p1 (c2  cH | c1  cL ) , e
 C2 (q2 )  cL q2 con probabilità p1 (c2  cL | c1  cL ) .
 Esempio: p1 (c2  cH | c1  cH )  p1 (c2  cH | c1  cL )  
p1 (c2  cL | c1  cH )  p1 (c2  cL | c1  cL )  1   come nella ver. 2.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
39
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 Prima di produrre, l’impresa 2 sa esattamente se il suo costo sarà Alto o
Basso.
 Invece, l’impresa 2 è incerta sul livello di costi (e quantità) dell’impresa 1.
 L’impresa 2 crede che se il suo costo è Alto allora la funzione dei costi
dell’impresa 1 sarà
 C1 (q1 )  cH q1 con probabilità p2 (c1  cH | c2  cH ) , e
 C1 (q1 )  cL q1 con probabilità p2 (c1  cL | c2  cH ) .
 L’impresa 2 crede che se il suo costo è Basso allora la funzione dei costi
dell’impresa 1 sarà

 C1 (q1 )  cH q1 con probabilità p2 (c1  cH | c2  cL ) , e
 C1 (q1 )  cL q1 con probabilità p2 (c1  cL | c2  cL ) .
 Esempio: p2 (c1  cH | c2  cH )  p2 (c1  cH | c2  cL )  
p2 (c1  cL | c2  cH )  p2 (c1  cL | c2  cL )  1   come in ver. 2.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
40
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 1 sa se il suo costo è alto o basso.
 Se è Alto, i.e. C1 (q1 )  cH q1, allora, data la sua ipotesi sull’impresa 2,
risolverà il seguente problema
u1(q1, q2(cH); cH)
Max
p1 (c2  c H | c1  c H )  q1[a  (q1  q2 (c H ))  cH ]
 p1 (c2  c L | c1  c H )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  cH ]
s.t.
q1  0
u1(q1, q2(cL); cH)
 FOC:
p1 (c2  c H | c1  c H )[a  2 q1  q2 (c H )  cH ]
 p1 (c2  c L | c1  c H )[a  2 q1  q2 (cL )  cH ]  0
Quindi,
q1(c H ) 
a  cH  p1 (c2  c H | c1  c H ) q2 (c H )  p1 (c2  c L | c1  c H ) q2 (cL )
2
 q1 (cH ) è la risposta ottima dell’imp. 1 alla ipotesi (probabilità)
sull’impresa 2 ( q2 (cH ) , q2 (cL ) ) se il costo dell’impresa 1 è Alto.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
41
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 1 conosce esattamente il suo livello di costo.
 Se il suo costo è BASSO, i.e. C1 (q1 )  cL q1, allora, data la sua ipotesi
sull’impresa 2, risolverà il seguente problema
Max
p1 (c2  c H | c1  c L )  q1[a  (q1  q2 (c H ))  cL ]
u1(q1, q2(cH); cL)
 p1 (c2  c L | c1  c L )  q1[a  (q1  q2 (cL ))  cL ]
s.t.
q1  0
u1(q1, q2(cL); cL)
 FOC:
p1 (c2  c H | c1  c L )[a  2 q1  q2 (c H )  cL ]
 p1 (c2  c L | c1  c L )[a  2 q1  q2 (cL )  cL ]  0
Quindi,
q1(c L ) 
a  cL  p1 (c2  c H | c1  c L ) q2 (c H )  p1 (c2  c L | c1  c L ) q2 (cL )
2
 q1 (cL ) è la risposta ottima dell’impresa 1 all’ipotesi (probabilità)
sull’impresa 2 ( q2 (cH ) , q2 (cL ) ) se il costo dell’impresa 1 è BASSO.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
42
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo.
 Se è ALTO, i.e. C2 (q2 )  cH q2 , allora, data la sua ipotesi sull’impresa
1, risolverà il seguente problema
u2(q1(cH), q2; cH)
Max p2 (c1  c H | c2  c H )  q2 [a  (q1 (c H )  q2 )  cH ]
 p2 (c1  c L | c2  c H )  q2 [a  (q1 (cL )  q2 )  cH ]
s.t.
q2  0
u2(q1(cL), q2; cH)
 FOC:
p2 (c1  c H | c2  c H )[a  q1 (c H )  2 q2  cH ]
 p2 (c1  c L | c2  c H )[a  q1 (cL )  2 q2  cH ]  0
Quindi,
q2 (c H ) 
a  cH  p2 (c1  c H | c2  c H ) q1 (c H )  p2 (c1  c L | c2  c H ) q1 (cL )
2
 q2 (cH ) è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità)
sull’impresa 1 ( q1 (cH ) , q1 (cL ) ) se il costo dell’impresa 2 è ALTO.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
43
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
L’impresa 2 conosce esattamente il suo livello di costo.
 Se il suo costo è BASSO, i.e. C2 (q2 )  cL q2 , allora, data la sua ipotesi
sull’impresa 1, risolverà il seguente problema
u2(q1(cH), q2; cL)
Max p2 (c1  c H | c2  c L )  q2 [a  (q1 (c H )  q2 )  cL ]
 p2 (c1  c L | c2  c L )  q2 [a  (q1 (cL )  q2 )  cL ]
s.t.
q2  0
u2(q1(cL), q2; cL)
 FOC:
p2 (c1  c H | c2  c L )[a  q1 (c H )  2 q2  cL ]
 p2 (c1  c L | c2  c L )[a  q1 (cL )  2 q2  cL ]  0
Quindi,
q2 (c L ) 
a  cL  p2 (c1  c H | c2  c L ) q1 (c H )  p2 (c1  c L | c2  c L ) q1 (cL )
2
 q2 (cL ) è la risposta ottima dell’impresa 2 alla sua ipotesi (probabilità)
sull’impresa 1 ( q1 (cH ) , q1 (cL ) ) se il costo dell’impresa 2 è Basso.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
44
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 Adesso abbiamo Quattro equazioni in Quattro incognite.
a  cH  p1 (c2  cH | c1  cH ) q2 (cH )  p1 (c2  cL | c1  cH ) q2 (cL )
2
a  cL  p1 (c2  cH | c1  cL ) q2 (cH )  p1 (c2  cL | c1  cL ) q2 (cL )
q1(cL ) 
2
a  cH  p2 (c1  cH | c2  cH ) q1 (cH )  p2 (c1  cL | c2  cH ) q1 (cL )
q2 (cH ) 
2
a  cL  p2 (c1  cH | c2  cL ) q1 (cH )  p2 (c1  cL | c2  cL ) q1 (cL )
q2 (cL ) 
2
q1(cH ) 
 Risolvere questo ci darà il nostro BNE.
q1* (cH ), q1* (cL )
q2* (cH ), q2* (cL )
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
45
Modello del duopolio di Cournot ad
informazione incompleta (versione tre)
 L’equilibrio di Nash bayesiano: (( q1* (cH ) , q1* (cL ) ), ( q2* (cH ) , q2* (cL ) ))
 Se il costo marginale dell’impresa 1 è Alto allora sceglierà q1* (cH ) risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( q2* (cH ) , q2* (cL ) ) (e la probabilità).
 Se il costo marginale dell’impresa 1 è Basso allora sceglierà q1* (cL ) risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( q2* (cH ) , q2* (cL ) ) (e la probabilità).
 Se il costo marginale dell’impresa 2 è Alto allora sceglierà q2* (cH ) risposta
ottima alla scelta dell’impresa 1 ( q1* (cH ) , q1* (cL ) ) (e la probabilità).
 Se il costo marginale dell’impresa 2 è Basso allora sceglierà q2* (cL ) risposta
ottima alla scelta dell’impresa 2 ( q1* (cH ) , q1* (cL ) ) (e la probabilità).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
46
Rappresentazione dei giochi Bayesiani
statici in forma normale
 La rappresentazione normale di un gioco bayesiano
statico G a n-giocatori con informazione incompleta
specifica:
 Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n},
 Una serie di azioni per i giocatori A1 , A2 , A3 , ..., An e


La loro relative funzione di payoff
ALTRO
 Ricordate: la funzione di payoff dei giocatori dipendono
NON solo dale azioni degli n giocatori ma anche dal loro
TIPO.
 Ti è l’insieme dei tipi possibili del giocatore i.
 Esempio: T1  {cH , cL }, T2  {cH , cL }
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
47
Rappresentazione dei giochi Bayesiani
statici in forma normale : payoffs
 La funzione di payoff del giocatore i è rappresentata come:
ui (a1 , a2 , ..., an ; ti ) per a1  A1 , a2  A2 , ..., an  An , ti  Ti .
 Esempio: u1 (q1 , q2 ; cH )  q1[a  (q1  q2 )  cH ]
u1 (q1 , q2 ; cL )  q1[a  (q1  q2 )  cL ]
 Ogni giocatore conosce il proprio tipo. Quindi, conosce la
propria funzione di payoff.
 Ogni giocatore può essere incerto sul tipo degli altri giocatori.
Quindi sarà incerto sulla funzione di payoff degli altri giocatori
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
48
Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici
in forma normale : beliefs (probabilità)
 Il giocatore i ha beliefs sui tipi degli altri giocatori, denotati da
pi (t1 , t2 , ..., ti 1 , ti 1 , ..., tn | ti ) per t1  T1 , t2  T2 , ..., tn  Tn . o
pi (ti | ti ) dove ti  (t1 , t2 , ..., ti 1 , ti 1 , ..., tn ), t1  T1 , t2  T2 , ..., tn  Tn .
 I beliefs del giocatore i-esimo sono probabilità condizionate
 ESEMPIO:
p1 (c2  cH | c1  cH )
p1 (c2  cH | c1  cL )
p1 (c2  cL | c1  cH )
p1 (c2  cL | c1  cL )
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
49
Strategia
 In un gioco Bayesiano statico, una strategia per il giocatore i
è una funzione si ( ti ) per ogni ti  Ti .
 si ( ti ) specifica cosa il giocatore i farà per ogni suo tipo ti  Ti
 Esempio: ( q1 (cH ) , q1 (cL ) ) è una strategia per l’impresa 1 nel
modello di Cournot ad informazione incompleta (versione tre).
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
50
Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori
 In un gioco Bayesiano statico a 2 giocatori
{ A1, A2 ; T1, T2 ; p1, p2 ; u1, u2 }, le strategie s1* (), s2* () danno un
equilibrio di Nash Bayesiano in strategie pure se

Per ognuno dei tipi del giocatore 1 t1  T1, s1* (t1 ) risolve
Max
a1A1

 u1 (a1 , s2 (t2 ); t1 ) p1 (t2 | t1 )
*
t2T2
E per ognuno dei tipi del giocatore 2 t2  T2 , s2* (t2 ) risolve
Max
a2A2
 u2 ( s1 (t1 ), a2 ; t 2 ) p2 (t1 | t2 )
*
t1T1
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
51
Equilibrio di Nash Bayesiano: 2-giocatori
 In un gioco Bayesiano statico { A1, A2 ; T1, T2 ; p1, p2 ; u1, u2 }, le strategie
s1* (), s2* () sono un BNE in strategie pure se per ogni i e j, (assumete
T1  {t11, t12 , ....}, T2  {t21, t22 , ....})
s1* (t11 )
s1* (t12 )

Nel senso di aspettative
basate sui propri belief
La risposta ottima del giocatore
2 se il suo tipo è t2j
s2* (t 21 )
s2* (t 22 )


s2* (t2 j )
s1* (t1i )


s2* (t2n )
s1* (t1n )

La risposta ottima del giocatore
1 se il suo tipo è t1i

Nel senso di aspettative
basate sui propri belief
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
52
Riassunto
 Duopolio di Cournot ad informazione
incompleta (versione tre)
 Equilibrio di Nash Bayesiano
 Prossimo argomento


Battaglia dei sessi ad informazione incompleta
(versione due)
Aste
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
53
Battaglia dei sessi
 In posti separati, Chris e Pat devono scegliere se
andare ad un opera oppure ad un incontro di boxe.
 Entrambi sanno quanto segue:
 Entrambi preferiscono passare la serata in
compagnia reciproca.
 Chris preferisce l’opera.
 Pat preferisce la boxe.
Pat
Opera
Chris
Prize Fight
Opera
2 ,
1
0 ,
0
Prize Fight
0 ,
0
1 ,
2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
54
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
 La preferenza di Pat dipende dal fatto che sia o meno





felice. Se è felice le preferenze sono le solite.
Se è infelice allora preferisce passare la serata da solo.
Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris
crede che Pat sia felice con probabilità 0.5 e infelice con
probabilità 0.5
La preferenza di Chris dipende dal fatto che sia o meno
felice. Se è felice le preferenze sono le solite.
Se è infelice allora preferisce passare la serata da sola.
Pat non può sapere se Chris è felice o meno. Ma Pat
crede che Chris sia felice con probabilità 2/3 e infelice
con probabilità 1/3.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
55
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Chris è felice
Pat è felice
Chris
Opera
Fight
Opera
2, 1
0, 0
Fight
0, 0
1, 2
Chris è infelice
Pat è felice
Chris
Pat
Pat
Opera
Fight
Opera
0, 1
2, 0
Fight
1, 0
0, 2
Chris è felice
Pat è infelice
Chris
Opera
Fight
Opera
2, 0
0, 2
Fight
0, 1
1, 0
Chris è infelice
Pat è infelice
Chris
Pat
Pat
Opera
Fight
Opera
0, 0
2, 2
Fight
1, 1
0, 0
 Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice),
(Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
56
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
 Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se
felice, Fight se infelice)) è un BNE.
 La risposta ottima di Chris alla strategia di Pat (Opera se
felice, Fight è infelice) se Chris è Felice
 Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat
è felice (probabilità 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice
(probabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=20.5+00.5=1
 Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 0 se Pat è
felice (probabilità 0.5), o un payoff di 1 se Pat è infelice
(robabilità 0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+10.5=0.5
 Quindi, la risposta ottima di Chris è Opera se è FELICE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
57
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se
felice, Fight se infelice)) è un BNE.
 La risposta ottima di Chris alla startegia di Pat (Opera se
felice, Fight se infelice) se Chris è Infelice
 Se Chris sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat
è felice (prob. 0.5), o un payoff di 2 se Pat è infelice (prob.
0.5). Il suo payoff atteso sarà=00.5+20.5=1
 Se Chris sceglie Fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è
felice (prob. 0.5), o un payoff di 0 se Pat è infelice (prob.
0.5). Il suo payoff atteso sarà =10.5+00.5=0.5
 Quindi, la risposta ottima di Chris sarà Opera se è Infelice.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
58
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se
felice, Fight se infelice)) è un BNE.
 La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se
felice, Opera se infelice) se Pat è Felice
 Se Pat sceglie Opera allora ottiene un payoff di 1 se Chris
è felice (prob. 2/3), o un payoff di 1 se Chris è infelice (prob.
1/3). Il suo payoff atteso sarà=1(2/3)+1(1/3)=1
 Se Pat sceglie Fight allora ottiene un payoff di 0 se Chris è
felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob.
1/3). Il suo payoff atteso sarà =0(2/3)+0(1/3)=0
 Quindi, La risposta ottima di Pat sarà Opera se è Felice.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
59
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice,
Fight se infelice)) è un BNE.
 La risposta ottima di Pat alla strategia di Chris (Opera se felice,
Opera se infelice) se Pat è Infelice
 Se Pat sceglie Opera allora otterrà un payoff di 0 se Chris è
felice (prob. 2/3), o un payoff di 0 se Chris è infelice (prob. 1/3).
Il suo payoff atteso sarà=0(2/3)+1(1/3)=0
 Se Pat sceglie Fight allora otterrà un payoff di 2 se Chris è
felice (prob. 2/3), o un payoff di 2 se Chris è infelice (prob. 1/3).
Il suo payoff atteso sarà =2(2/3)+2(1/3)=2
 Quindi, la risposta ottima di Pat è Fight se è Infelice.
Quindi, ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight
se infelice)) è un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
60
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0.5, infelice 0.5
Pat (0.5, 0.5)
Chris è
felice
O
Chris
F
(O,O)
(O,F)
(F,O)
(F,F)
2
1
1
0
0
1/2
1/2
1
Chris è
infelice
Chris
Pat (0.5, 0.5)
(O,O)
(O,F)
(F,O)
(F,F)
O
0
1
1
2
F
1
1/2
1/2
0
Il payoff atteso di Chris giocando Fight se
Chris è felice e Pat gioca (Opera se
felice, Fight se infelice)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
61
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3, infelice 1/3
Pat è felice
Chris
(2/3, 1/3)
Pat è infelice
Pat
O
F
(O,O)
1
0
(O,F)
2/3
2/3
(F,O)
1/3
4/3
(F,F)
0
2
Chris
(2/3, 1/3)
Pat
O
F
(O,O)
0
2
(O,F)
1/3
4/3
(F,O)
2/3
2/3
(F,F)
1
0
Il payoff atteso da Pat giocando Opera se
Pat è infelice e Chris gioca (Fight se
felice, Fight se infelice)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
62
Battaglia dei sessi ad informazione
incompleta (versione due)
 Controllate se ((Fight se felice, Opera se
infelice), (Fight se felice, Fight se infelice)) è
un BNE.
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
63
Asta di primo prezzo in busta chiusa
 C’è in vendita un bene singolo (ad esempio un quadro di Dalì).
 Due offerenti, 1 e 2, spediscono in busta chiusa la loro offerta.
Nessuna sa cosa faranno gli altri quando spedisce la busta.
 Sia b1 l’offerta del signor 1 e b2 l’offerta del signor 2
 L’offerta più alta si aggiudica il quadro e paga il prezzo che ha
offerto
 L’altro offerente non ottiene niente e non paga niente
 In caso di offerta identica, il vincitore è determinato dal lancio di una moneta
 L’offerente i ha una valutazione vi  [0, 1] per il quadro.
indipendenti.
 Le funzioni di payoff dei due signori saranno:
v1  b1 se b1  b2
v2  b2
v  b
v  b
u1 (b1 , b2 ; v1 )   1 1 se b1  b2
u2 (b1 , b2 ; v2 )   2 2
 2
 2
se b1  b2
0
0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
v1 e v2 sono
se b2  b1
se b2  b1
se b2  b1
64
Asta di primo prezzo in busta chiusa
 Rappresentazione in forma normale:
 Due offerenti, 1 e 2
 Insieme delle strategie (insieme offerte): A1 [0, ) , A2 [0, )


Insieme dei tipi (insieme dei valori): T1 [0, 1] , T2 [0, 1]
Beliefs:
Offerente 1 crede che v2 sia distribuito in modo uniforme su [0, 1].
Offerente 2 crede che v1 sia distribuito in modo uniforme su [0, 1].
v1 e v2 sono indipendenti.

Le funzioni dei payoff dei due offerenti saranno:
v1  b1 if b1  b2
v2  b2
v  b
v  b
u1 (b1 , b2 ; v1 )   1 1 if b1  b2
u2 (b1 , b2 ; v2 )   2 2
 2
 2
if b1  b2
0
0
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
if b2  b1
if b2  b1
if b2  b1
65
Asta di primo prezzo in busta chiusa
 Una strategia per l’offerente 1 è una funzione b1 (v1 ) , per ogni v1 [0, 1].
 Una strategia per l’offerente 2 è una funzione b2 (v2 ) , per ogni v2 [0, 1].
 Date le aspettative del signore 1 sul signor 2, per ogni v1 [0, 1], il signor
1 risolve
1
Max (v1  b1 )Prob{b1  b2 (v2 )}  (v1  b1 )Prob{b1  b2 (v2 )}
b10
2
 Date le aspettative del signore 2 sul signor 1, per ogni v2 [0, 1], il signor
2 risolve
1
Max (v2  b2 )Prob{b2  b1 (v1 )}  (v2  b2 )Prob{b2  b1 (v1 )}
b2 0
2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
66
Asta di primo prezzo in busta chiusa
v
v
 Controllare se  b1* (v1 )  1 , b2* (v2 )  2  è un BNE.
2
2

 Date le aspettative del signor 1 sul signor 2, per ogni v1 [0, 1], la
risposta ottima del signor 1 a b2* (v2 ) risolve
1
Max (v1  b1 )Prob{b1  b2* (v2 )}  (v1  b1 )Prob{b1  b2* (v2 )}
b10
2
v
1
v
Max (v1  b1 )Prob{b1  2 }  (v1  b1 )Prob{b1  2 }
b10
2
2
2
1
Max (v1  b1 )Prob{v2  2b1}  (v1  b1 )Prob{v2  2b1}
b10
2
Max (v1  b1 )2b1
b10
FOC:
2v1  4b1  0 
b1 (v1 ) 
v1
2
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
67
Asta di primo prezzo in busta chiusa
v1
è la risposta ottima dell’offerente 1
2
v
all’offerta ottima del signor 2 b2* (v2 )  2 .
2
v
 Per simmetria, per ogni v2 [0, 1], b2* (v2 )  2 è la risposta ottima
2
v
dell’offerente 2 all’offerta ottima del signor 1 b1* (v1 )  1 .
2
 Quindi, per ogni v1 [0, 1], b1* (v1 ) 
v
v 

 Quindi,  b1* (v1 )  1 , b2* (v2 )  2  è un BNE.
2
2

Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
68
Riassunto
 Battaglia dei sessi con informazione
incompleta (versione due)
 Asta di primo prezzo in busta chiusa
 Se in futuro dovessimo incontrarci di nuovo e
vorreste parlare ancora di Teoria dei giochi
con me parleremmo di:
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
69
Altri argomenti interessanti
 Giochi dinamici ad informazione incompleta
 Giochi di segnalazione (importanti per la
selezione avversa, vedi i modelli di Spece sul
mkt del lavoro)
 Giochi di comunicazione
 Giochi cooperativi (meno al centro
dell’attenzione accademica negli ultimi 20
anni ma di nuovo tornati al centro del “focus”
di ricerca)
Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte
70