p(B)

PROBABILITÀ
Corsi Abilitanti Speciali
Classe 59A
III semestre
Un po’ di storia
Materialisti greci
Gli eventi naturali sono legati al caso
Sviluppo delle banche e dei grandi commerci per mare
Problemi legati all’assicurazione del carico
Un po’ di storia
GLI ASTRAGALI
Un po’ di storia
“Quando
si parte il gioco
della zara colui che perde
se ne va dolente
ripetendo le volte, e tristo
impara.”
" Divina Commedia, Purgatorio,
Canto VI ".
Un po’ di storia
•G. Cardano (1501-1576) :
“Liber de Ludo aleae” ( pubblicato postumo
nel 1663)
Afferma che bisogna fare scommesse per
compensarsi del tempo perduto e dà dei
consigli su come barare.
•La nascita del Calcolo delle Probabilità si
fa risalire comunemente al fitto carteggio
tra Pascal (1623-1662) e Fermat (16011665),
Un po’ di storia
A Londra, fin dal 1562, registrazione
settimanale delle morti
Graunt ( 1620-1674) calcola la
probabilità di morte in funzione dell’età
Nascono le assicurazioni sulla vita
Problemi legati alle eredità
Un po’ di storia
•C. Huygens (1629-1695) :
• “De Ratiociniis in Ludo Aleae” ( Sui ragionamenti nel
gioco dei dadi) (1657)
Ispirato alla corrispondenza tra Pascal e Fermat
•Famiglia Bernoulli :
Jakob Bernoulli (1654-1705) – “Ars conjectandi” ( Arte del
congetturare ) ( pubblicato postumo nel 1713) – primo
trattato importante sulla teoria della probabilità
Daniel Bernoulli (1700-1782) – applicazione della probabilità
al commercio, alla medicina e all’astronomia. Introduzione
del calcolo infinitesimale nel C.d. P.
Un po’ di storia
•A.de Moivre(1667-1754) :
"Doctrine de chances” (1718) – questioni sul gioco dei dadi,
sull’estrazione di palline di diverso colore da urne, sul
problema del punteggio in giochi con diverse probabilità di
vittoria, su rendite vitalizie. Si trova già in quella che verrà
chiamata la definizione classica di probabilità, attribuita a
Pierre Simon de Laplace.
•P.S. de Laplace (1749-1827) :
“Théorie analytique des probabilités” (1812) , nella sua
seconda edizione preceduto dal saggio introduttivo “Essai
Philosophique des probabilités”.
Raccoglie i risultati raggiunti sulla probabilità. La teoria delle
probabilità è soltanto senso comune espresso in numeri.
Un po’ di storia
"La teoria della probabilità non è in fondo
che buon senso ridotto a calcolo; essa
permette di valutare con esattezza ciò che
le menti illuminate sentono per una specie
di istinto senza rendersene conto... E'
notevole come tale scienza, che è
cominciata con gli studi dei giochi
d'azzardo, si sia elevata ai più importanti
oggetti delle conoscenze umane".
Un po’ di storia
•A.N. Kolmogorov (1903- 1987) :
« Grundbegriffe » (1933)
Fondamento assiomatico della teoria della
probabilità
•B. de Finetti (1906-1985) :
Probabilità soggettiva.
PERCHÉ INSEGNARE IL C.d.P ?
Perché:
•È necessario in molti ambiti del sapere
(fisica, statistica, economia, sociologia)
•Si svilupppa a partire da problemi di
interesse concreto
•Sollecita la capacità di affrontare
problemi scegliendo, utilizzando e
adattando gli strumenti più idonei
Valutazioni
CONCETTO DI PROBABILITÀ
La probabilità è la misura del grado
di fiducia che un evento si verifichi
Per passare dal concetto ad una teoria della probabilità è
necessario:
quantificare in un numero il livello di probabilità delle
diverse affermazioni a cui si è interessati, ovvero definire
delle regole per la valutazione della probabilità;
stabilire una serie di regole che questi numeri devono
soddisfare, ovvero costruire uno schema formale a base
della teoria.
Valutazioni
DEFINIZIONE CLASSICA
La probabilità di un evento casuale è il
rapporto tra il numero dei casi
favorevoli e quello dei casi possibili,
supposti tutti gli eventi elementari
equiprobabili.
La troviamo nella sua versione definitiva
con Laplace, ma domina, in gestazione,
tutti gli studi del C.d.P. del XVIII secolo.
È una concezione “ a priori”
DE MOIVRE:
“ Se p è il numero dei casi con i quali un certo
evento può accadere e q è il numero dei casi con il
quale può non accadere, tanto il verificarsi quanto il
non verificarsi dell’evento hanno il loro grado di
probabilità.
Perciò, se tutti i casi con i quali l’evento può
accadere o non accadere sono ugualmente facili, la
probabilità del verificarsi sta alla probabilità del non
verificarsi come p sta a q ”
Dato un evento E, ho p casi favorevoli e q
contrari ( cioè favorevoli all’evento contrario ¬E
Se i p + q casi sono equipossibili , allora:
p( E )
p

p(E ) q
Ancora oggi, nel linguaggio degli
scommettitori, troviamo un concetto di
probabilità che utilizza questo rapporto.
Big Joe e Godzilla sono quotati 7 a 3.
Cosa significa?
Significa che Big Joe ha 7
possibilità di vincere contro
3 di perdere
Se si vuole calcolare la probabilità di Big Joe
di vincere, perché non indicarla con 7/3 ?
Nell’opera "Doctrine de chances”di De Moivre
si parla esplicitamente di probabilità di un
evento ( E) come
p
p( E ) 
pq
“La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero
dei casi favorevoli all’evento ed il numero dei casi
possibili, qualora nulla ci possa indurre a pensare che
un caso debba verificarsi più facilmente degli altri,
cosa questa che, per noi, li rende ugualmente possibili.
La corretta valutazione di questi diversi casi è uno dei
punti più delicati dell’analisi del caso” ( Laplace)
DEFINIZIONE CLASSICA
NON È UNA “BUONA”
DEFINIZIONE
DIFFICOLTÀ NELLA SCELTA DEL
MODELLO DESCRITTIVO DEL
PROBLEMA.
LIMITI DI APPLICABILITÀ
“...Siamo costretti a definire il probabile dal
probabile. Come possiamo sapere se due casi
sono ugualmente probabili? Sarà per
convenzione? Se inseriamo all'inizio di ogni
problema una convenzione esplicita, bene!
Allora non dobbiamo far altro che applicare le
regole dell'aritmetica e dell'algebra e
completare il calcolo, quando il nostro risultato
non può essere chiamato in questione. Ma se
vogliamo fare la minima applicazione di questo
risultato dobbiamo provare che la nostra
convenzione è legittima e ci troveremo in
presenza della difficoltà di fondo che
pensavamo di aver evitato”. (H. Poincaré)
In un’urna ho 15 palline, di cui 4 bianche(B) , 6
nere (N) e 5 rosse (R)
La probabilità di estrarre una pallina bianca è
p(B) = 4/15
La probabilità di estrarre una pallina NON bianca
è p(B) = 11/15 = (15 – 4)/15 = 1 – 4/15 = 1 – p(B)
La probabilità di estrarre una pallina bianca o
rossa è:
P(BR) = (4+5)/15 = (4/15)+(5/15)=p(B)+p(R)
se B e R sono eventi INCOMPATIBILI cioè
BR=
ALCUNE SEMPLICI REGOLE
- Se E è uno spazio di eventi elementari e A e B
sono due eventi di tale spazio:
P(E) = 1
P(A) = 1- p(A)
P(AB) = p(A) + p(B) se A e B sono incompatibili
altrimenti
P(AB) = p(A) + p(B) – p(AB)
QUESTE RELAZIONI SONO VALIDE QUALUNQUE
SIA LA DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ
CONSIDERATA
NELLA DIDATTICA:
•Applicazione allo studio dei numeri
razionali ( equivalenza tra frazioni,
confronto tra numeri razionali)
•Rappresentazioni mediante insiemi e
operazioni tra insiemi
•Connettivi logici “e”, “o”, “non”
PROBLEMA 1
I 25 alunni di una classe devono risolvere 3
problemi A, B, C. Uno solo risolve tutti e tre i
problemi; 4 solo A e C; 4 solo B e C; 5 solo A;
2 solo B; 4 solo C. Tutti almeno 1.
Quanti alunni risolvono solo A e B?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che abbia risolto uno solo dei tre problemi?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che abbia risolto più di un problema?
PROBLEMA 1
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che abbia risolto il problema A e il problema B?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che abbia risolto il problema A o il problema B?
Qual è la probabilità, scegliendo un alunno,
che abbia risolto almeno due problemi?
A
B
2
5
5
4
1
4
4
n.alunni = 25
C
Problema 2
Lancio per due volte una moneta.
Qual è la probalilità che escano due Teste?
Qual è la probabilità che esca una sola T?
Qual è la probabilità che esca almeno una T?
{TT; TC; CT; CC}
1/2
Spazio eventi
elementari
1/2
T
T
1/2
1/2
1/2
C
T
C
P1 =1/4
P2= 1/2
P3= 3/4
Grafo ad albero
1/2
C
UN PROBLEMA DI STRATEGIA
Una principessa di un Paese orientale deve
scegliere fra tre pretendenti e vorrebbe
sposare il più bello.
I pretendenti le vengono proposti uno per volta
e la principessa deve subito decidere se
scegliere o rifiutare chi le viene presentato.
Se rifiuta si passa al successivo e non sono
consentiti ripensamenti.
Quale strategia di scelta le è più conveniente
adottare?
UN PROBLEMA DI STRATEGIA
Strategia 1:
La principessa sceglie a caso
La probabilità di scegliere il più bello
è 1/3
OPPURE …….
UN PROBLEMA DI STRATEGIA
Strategia 2:
La principessa scarta il primo
pretendente; se il secondo è più bello
lo sceglie, altrimenti sceglie il terzo
Casi elementari
A B C
B C A
A: bello
A C B
C B A
B: piacente
B A C
C A B
C: bruttino
P = 1/2
Se le lampadine fossero state “pescate” una
dopo l’altra sarebbe cambiato qualcosa?
GRAFO AD ALBERO
1/10
9/10
D
4/49
D
P(DD)= 2/245
non
45/49
non
D
5/49
D
D
44/49
non
D