La programmazione lineare
E’ una tecnica matematica usata
nella pianificazione amministrativa
ed economica per trovare il
massimo o il minimo di funzioni
lineari soggette a “vincoli”
Il ricavo (o il costo) assume la forma di
funzione, che viene indicata spesso
con z e viene detta
“funzione obiettivo”.
E s e m p i o:
Un’ azienda produce
quotidianamente una quantità x di
divani e una quantità y di poltrone
y
x
N° di divani
prodotti
N° di
poltrone
prodotte
L’ azienda ricava € 600 per ogni
divano venduto e € 400 per ogni
poltrona venduta.
Il ricavo assume la forma di
funzione:
Z = 600 X + 400 y
Il ricavo assume la forma di
funzione:
Z = 600 X + 400 y
Quanto vale il massimo ricavo per l’
azienda ?
Al
variare di x e di y, ovvero del
numero di articoli prodotti dell’
uno e dell’ altro tipo, varia il
ricavo giornaliero.
La
funzione z = 600 x + 400 y
nello spazio viene rappresentata
con un piano.
Da
un punto di vista matematico,
questa funzione ricavo non ha
limitazioni …
Da un punto di vista pratico ci
rendiamo conto che x ed y non
possono assumere valori
qualsiasi, ma devono obbedire
a dei “vincoli”
I vincoli (di produzione) possono
essere dovuti a:
Disponibilità
di materiale
Ore lavorative
Capienza del magazzino
L’ obiettivo del problema è trovare
il valore di produzione che rende
massimo il ricavo, tenendo conto
dei vincoli.
L’ obiettivo del problema è trovare
il valore di produzione che rende
massimo il ricavo, tenendo conto
dei vincoli.
Aggiungiamo dei
vincoli al problema …
1° VINCOLO:
Ogni divano richiede 2
ore di lavoro, mentre ogni
poltrona richiede 1 ora.
In azienda le ore
lavorative sono 8 al
giorno.
2° VINCOLO:
Il salottificio può produrre
giornalmente al massimo
6 oggetti
I vincoli si traducono
in DISEQUAZIONI
ore lavorative ≤ 8
ore lavorative ≤ 8
Bisogna esprimere le ore
lavorative in funzione di x e y
ore lavorative ≤ 8
2x+y≤ 8
n° di oggetti prodotti ≤ 6
n° di oggetti prodotti ≤ 6
Bisogna esprimere anche
questo vincolo in funzione
di x e y
n° di oggetti prodotti ≤ 6
x+y≤ 6
Oltre
ai vincoli di produzione
esistono i vincoli di segno:
Le quantità prodotte x ed y non
possono essere negative:
x≥0
y≥0
Oltre
ai vincoli di produzione
esistono i vincoli di segno:
Le quantità prodotte x ed y non
possono essere negative:
x≥0
y≥0
3° VINCOLO
R I E P I L O G A N D O:
Il problema consiste nel trovare il
massimo della funzione lineare:
R I E P I L O G A N D O:
Il problema consiste nel trovare il
massimo della funzione lineare:
z = 600 x + 400 y
R I E P I L O G A N D O:
Il problema consiste nel trovare il
massimo della funzione lineare:
z = 600 x + 400 y
Soggetta al sistema di vincoli:
R I E P I L O G A N D O:
Il problema consiste nel trovare il
massimo della funzione lineare:
z = 600 x + 400 y
Soggetta al sistema di vincoli:
2x+y≤ 8
x+y≤ 6
x≥0
y≥0
GENERALIZZANDO …
Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando
si e' in presenza di:
GENERALIZZANDO …
Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando
si e' in presenza di:
a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI
INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si
tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure
MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);
GENERALIZZANDO …
Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando
si e' in presenza di:
a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI
INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si
tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure
MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);
b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o
DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI;
GENERALIZZANDO …
Si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE quando
si e' in presenza di:
a) una FUNZIONE LINEARE di 2 o più VARIABILI
INDIPENDENTI che si deve MASSIMIZZARE (se si
tratta di FUNZIONE RICAVO o PROFITTO) oppure
MINIMIZZARE (se si tratta di FUNZIONE COSTI);
b) un INSIEME DI VINCOLI dati da EQUAZIONI o
DISEQUAZIONI LINEARI A 2 O PIU' VARIABILI;
c) un INSIEME DI VINCOLI DI SEGNO, di norma
POSITIVO, che esprimono la NON-NEGATIVITA'
delle VARIABILI presenti, essendo esse
GRANDEZZE ECONOMICHE.
Risoluzione del problema
Si parte con la risoluzione per via grafica del
sistema di disequazioni:
2x+y≤ 8
x+y≤ 6
x≥0
y≥0
Risoluzione del problema
Si parte con la risoluzione per via grafica del
sistema di disequazioni:
2x+y≤ 8
x+y≤ 6
x≥0
y≥0
y≤-2x+8
y≤-x+6
x≥0
y≥0
Risoluzione del problema
Si rappresentano le rette corrispondenti alle
equazioni associate:
y≤-2x+8
y≤-x+6
x≥0
y≥0
y=-2x+8
y=-x+6
x=0
y=0
y
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
8
7
y=-2x+8
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
8
7
y=-2x+8
6
5
4
3
y=-x+6
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x=0
8
7
y=-2x+8
6
5
4
3
y=-x+6
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x=0
8
7
y=-2x+8
6
5
4
3
y=-x+6
2
1
y=0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
x≥0
8
7
y≤-2x+8
6
5
4
3
y≤-x+6
2
1
y≥0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
REGIONE
x≥0
8
AMMISSIBILE
7
y≤-2x+8
6
5
4
3
y≤-x+6
2
1
y≥0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Il massimo
della funzione z
si trova su uno
dei vertici del
poligono
x≥0
8
7
y≤-2x+8
6
5
4
3
y≤-x+6
2
1
y≥0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
In questo caso
il poligono è un
quadrilatero
8
7
A(0; 6)
6
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Teorema della
programmazione
lineare
8
7
A(0; 6)
6
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
7
A(0; 6)
6
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
ZB = 600 * 2 + 400 * 4 = 2.800
7
A(0; 6)
6
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
ZB = 600 * 2 + 400 * 4 = 2.800
7
A(0; 6)
6
ZC = 600 * 4 + 400 * 0 = 2.400
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
ZB = 600 * 2 + 400 * 4 = 2.800
7
A(0; 6)
6
ZC = 600 * 4 + 400 * 0 = 2.400
ZO = 600 * 0 + 400 * 0 = 0
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
ZB = 600 * 2 + 400 * 4 = 2.800
7
A(0; 6)
6
ZC = 600 * 4 + 400 * 0 = 2.400
ZO = 600 * 0 + 400 * 0 = 0
5
B(2; 4)
4
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
y
ZA = 600 * 0 + 400 * 6 = 2.400
8
ZB = 600 * 2 + 400 * 4 = 2.800
7
A(0; 6)
6
ZC = 600 * 4 + 400 * 0 = 2.400
ZO = 600 * 0 + 400 * 0 = 0
5
B(2; 4)
4
Il massimo ricavo (€ 2.800)
si ha con una produzione
giornaliera di 2 divani e 4
poltrone.
3
2
1
O(0; 0)
0
0
1
2
C(4; 0)
3
4
5
6
7
8
9
x
Teorema della programmazione
lineare
Quando l’ insieme delle soluzioni
ammissibili di un problema di
programmazione lineare è un poligono
convesso, allora la soluzione ottimale
(ossia il punto di massimo o di minimo
della funzione obiettivo), esiste sempre e
si trova in uno dei vertici del poligono.
