Geometria 2 I triangoli

I TRIANGOLI
Poligoni di tre lati
Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli
CLASSIFICAZIONE DEI
TRIANGOLI IN BASE AI LATI
• Un triangolo avente due lati congruenti si dice isoscele
• Un triangolo avente tre lati congruenti si dice equilatero
• Un triangolo che non ha nessuno dei tre lati congruenti si
dice scaleno
• In un triangolo isoscele il punto comune ai lati
congruenti si dice vertice del triangolo isoscele,
• L’angolo compreso dai lati congruenti si dice
angolo al vertice,
• Il lato opposto al vertice si chiama base,
• Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla
base.
CLASSIFICAZIONE DEI
TRIANGOLI IN BASE AGLI
ANGOLI
• Un triangolo che abbia un angolo acuto si
dice acutangolo,
• Un triangolo che ha un angolo ottuso si dice
ottusangolo,
• Un triangolo che ha un angolo rettangolo
(90°) si dice rettangolo.
• Un triangolo equilatero si può considerare
isoscele in tre modi diveri, potendosi
considerare come base uno qualsiasi dei tre
lati.
ALTEZZA
• In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il
segmento di perpendicolare condotto da un vertice
alla retta del lato opposto.
• In un triangolo vi sono tre altezze che passano per
uno stesso punto detto ortocentro del triangolo.
MEDIANA
• Si definisce mediana di un triangolo relativa ad
un lato il segmento che congiunge il punto medio
di quel lato con il vertice opposto.
• In un triangolo vi sono tre mediane che passano
per uno stesso punto detto baricentro del
triangolo.
BISETTRICE
• Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento,
contenuto nella semiretta bisettrice di
quell’angolo, che ha un ewstremo nel vertice
dell’angolo e l’altro estremo sil lato opposto.
• In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano
per uno stesso punto detto incentro del triangolo.
CONGRUENZA DEI
TRIANGOLI
E SUE CONSEGUENZE
FIGURE CONGRUENTI
• Due triangoli sono congruenti se esiste un
moviemnto rigido con il quale essi possono
essere sovrapposti in modo da coincidere.
• Questo movimento farà coincidere i vertici,
i lati e gli angoli del primo triangolo con i
vertici e gli angoli corrispondenti del
secondo triangolo.
C
A
C1
B
B1
A1
ABC A1B1C1  AB  A1B1,
AC A1C1,
lati omologhi o corrispondenti
BC C1B1,
A A1,
B B1,
angoli corrispondenti
C C1
Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli)
rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e
viceversa).
Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono
congruenti.
•
PRIMO CRITERIO DI
CONGRUENZA
• Se due triangoli hanno rispettivamente
congruenti due lati e l’angolo tra loro
compreso, essi sono congruenti.
• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti
stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a
lati congruenti sono opposti
angolicongruenti.
C
A
C1
B
B1
• IPOTESI: AC A1C1
AB  A1B1
CABC1A1B1
lato
lato
angolo
• TESI: ABCA1B1C1
triangolo
A1
Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare
che i due angoli sono uguali.
DIMOSTRAZIONE
(verifica sperimentale)
• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1
• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,
anche le due semirette (lati dei triangoli) si
sovrapporranno.
• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che
contiene A1C1.
• AB si sovrappone ad A1B1.
• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,
Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro
che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.
• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.
• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo A1B1C1.
TEOREMA
• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono
congruenti.
C
IPOTESI: ACBC
TESI: CABCBA
A
E
B
DIMOSTRAZIONE
• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.
• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:
CE in comune
CA CB per ipotesi
ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice
• I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché
hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.
Il triangolo ACE  CBE, quindi l’angolo CAB  ABC,
C.V.D.(come volevasi dimostrare)
ANGOLI SUPPLEMENTARI
•
1.
Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli
congruenti, sono congruenti tra loro.
Angoli supplementari di uno stesso angolo.
i due angoli supplementari sono uguali
π-

π-
π-
2.
Angoli supplementari di angoli
complementari tra loro.
a
b

o
congruenti, sono
a1
b1

o
Angoli   
Anche gli angoli supplementari π -   π -  saranno congruenti
PROPRIETA’
•
Somme o differenze di angoli rispettivamente
congruenti, sono congruenti.

1.
2.

+ +
- -


TEOREMA
•
Angoli opposti al vertice sono congruenti
A


O
Angolo AOB
Da dimostrare   
1.
 e  sono supplementari dello stesso angolo AOB
π- AOB= 
π- AOB= 
per la definizione di angoli supplementari
2.
ππ
B
AOB  AOB
π-AOB  π- AOB

perché sono differenze di angoli congruenti
SECONDO CRITERIO DI
CONGRUENZA
• Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro
compreso congruenti, essi sono congruenti.
C
C1
D
A
B
IPOTESI:
Angolo A  A1 Angolo B  B1
TESI:
Triangolo ABC  A1B1C1
A1
AB A1B1
B1
DIMOSTRAZIONE
per assurdo
• IPOTESI: vera
• (Nego la TESI) non TESI: vera
• Se ottengo una contraddizione o un
assurdo…non potendo essere vera la non
TESI, non TESI: falsa
• Vuol dire che la TESI è vera
• TESI: vera
DIMOSTRAZIONE
1. IPOTESI: lato AB  A1B1
angolo CAB  C1A1B1
angolo ABC  A1B1C1
TESI: triangolo ABC  A1B1C1
2.
Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1
ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversi
ACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro;
esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD
 A1C1
Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:
AB  A1B1 per ipotesi
CAB  C1A1B1 per ipotesi
AD  A1C1 per costruzione
Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di
congruenza.
I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:
angolo ABD  A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli
congruenti.
•
3.
4.
Angolo CBA  C1B1A1
ABD  A1B1D1
per la proprietà transitiva della congruenza.
Ma angolo ABD  CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è
una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo
ABC.
Resta dimostrata la verità della TESI.
C
C1
D
A
B
A1
B1