Matematica e Medioevo

I.T.E. “L. EINAUDI” Porto S. Elpidio
Logica Matematica:
un po’ di Storia
Logica delle Proposizioni
e cenno alla Logica dei Predicati
Logica Matematica
• Autori : Valter Stortini & C
• Tematica:
un po’ di storia della Matematica, i principii della
Logica, la Logica delle proposizioni e le Tavole di
verità
• Finalità ed obiettivi di apprendimento:
portare gli alunni ad una riflessione sul loro modo di
parlare e ascoltare, motivandoli così ad apprendere gli
schemi di ragionamento corretto.
• Metodologia:
Progettazione, Lezione dialogata, ricerca su Internet,
lavoro di gruppo, feedback
La Matematica si apprende studiando
 Mathma, atos: oggetto dell’apprendimento
(da mananw = imparare)
Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea, studioso
di Matematica, 269 d.C), i Peripatetici (discepoli di
Aristotele, IV sec. a.C.) affermavano che “mentre la
retorica, la poesia e la musica popolare possono essere
praticate anche senza essere studiate, nessuno può capire le
cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza
averle prima studiate”, e per questa ragione “la teoria di
queste cose è detta Matematica”.
Logica e ragionamenti
La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del
ragionamento, ne valuta la correttezza e ne formalizza l'uso.
Fin dall'antichità la logica è stata molto studiata: nella Grecia
classica il più famoso e importante pensatore che si è dedicato
alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac).
Le regole di inferenza logica, cioè le regole per cui date alcune
premesse è possibile raggiungere una conclusione, sono
considerate evidenti di per sé, sono considerate valide e sono
presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare.
Per i Greci la logica aveva grande importanza perché stava alla
base della retorica. Di conseguenza la studiavano soprattutto dal
punto di vista linguistico, valutandone il corretto utilizzo
nell'ambito del linguaggio naturale. Questo approccio rimarrà
per lungo tempo quello più seguito e adottato.
Un po’ di storia della Logica
Ponendo l'accento sulla retorica, uno degli aspetti più interessanti è dato dai
cosiddetti paradossi (parà + doxa = contro l'opinione comune) e antinomie
(anti + nomos = contro la legge) logiche, frasi dotate di significato se
considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico, ma che dal punto di
vista logico risultano contraddittorie. I primi esempi di paradossi vengono
proprio dalla Grecia antica, ma anche nella storia successiva logici e filosofi
hanno fornito numerosi esempi.
I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di
logica e la loro esistenza è stata importantissima anche per la storia della
matematica.
Attorno al VI secolo a.C., raccogliendo l'eredità dei matematici egiziani e
babilonesi, con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si
basa l'organizzazione logica della matematica: l'astrazione (ricavare una regola
generale dall'osservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione
(partendo da alcune premesse, ricavare una conclusione coerente con le
assunzioni del ragionamento).
Nel V secolo a.C., Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e
la Tartaruga).
Nel IV secolo a.C., Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico, mentre
Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri
ottenuti dalla cultura matematica greca dell'epoca. Procede per definizioni,
postulati e teoremi con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo,
punto di riferimento per ogni teoria. (vedi )
Continua: Logica e Matematica
In tempi pressoché contemporanei ad Aristotele, la logica esce dal
contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa
anche in matematica, in particolare in geometria, con Euclide di
Alessandria (365 AC - 300 AC), il quale, nei suoi “Elementi”, espone e
tratta in maniera rigorosa la geometria piana, partendo da postulati
geometrici, che lui considera evidenti e giustificati dalla realtà
sensibile, e da assiomi (che chiama "nozioni comuni"), che sono regole
considerate evidenti e basate sul ragionamento logico.
A partire dai postulati, Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di
inferenza logica, fornendo un grande esempio d'uso della logica in
matematica.
Anche in questo Euclide è stato un modello per molti matematici nei
secoli successivi: in tredici libri organizzò tutti i teoremi di geometria
e di teoria dei numeri della matematica greca dell'epoca, con una
esposizione rimasta classica fino a oggi.
Gli Elementi, che fino al XIX secolo fu il testo più diffuso dopo la Bibbia,
rappresentò così la sistemazione delle conoscenze geometriche
“elementari” e aprì la strada a ricerche di carattere “superiore”.
Medioevo: trivio e quadrivio, poi … Logica Matematica
La Matematica è sempre stata considerata genericamente come la
“Scienza dei Numeri”…
Una simile definizione è parziale, anche riferita solo al Medioevo, durante il quale la
Matematica era insegnata nelle Università come arte liberale. Nelle facoltà di
Filosofia, infatti, venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline
letterali, costituito da Grammatica, Retorica, Logica) e del Quadrivio (complesso
delle discipline scientifiche, costituito dalla matematica “pura”: Aritmetica e
Geometria, e dalla matematica “mista”: Musica e Astronomia, viste come loro
rispettive applicazioni). Tale facoltà era la più importante per il numero di
studenti che la frequentavano, e che dopo aver concluso i corsi potevano
proseguire gli studi in una delle altre tre facoltà (Teologia, Diritto, Medicina)…
Successivamente, a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a
indirizzarsi decisamente verso la nascita della "logica matematica",
allontanandosi da quella che possiamo definire "logica filosofica" che fino a quel
momento era stata la più studiata.
I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere "calcolati",
utilizzando un linguaggio formale, che permetta un perfetto controllo delle
dimostrazioni. Così tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo la logica diventa
lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica.
Vero … o solo logicamente valido?
Inoltre il rapporto sempre più stretto tra logica e matematica produce
risultati inaspettati:
viene compresa la differenza tra verità e validità logica. Per secoli i
matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la
geometria rappresentassero verità assolute e che fosse loro compito
scoprirle. La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici
giungono nell'Ottocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo)
fa comprendere che la scelta degli assiomi può essere del tutto
arbitraria (purché non portino a contraddizioni) e che ciò che si deriva
da essi è da considerarsi "logicamente valido" e non più "vero" in
senso assoluto.
Ciò che gli assiomi predicano può essere contrario a ciò che suggerisce
l'esperienza, ma ciò che è possibile dimostrare a partire da essi risulta
in ogni caso logicamente valido, per cui non esiste più una teoria
"vera", che costringa le altre a essere "false". Di conseguenza è
possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente
coerenti, e allora il problema principale della logica, cambia natura e
consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza. Per
coerenza (consistenza) si intende il fatto che all'interno di tale teoria
non è possibile dimostrare un teorema e la sua negazione.
Paradosso di Russell – indovinelli e giochi
All'inizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento
alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege.
Proprio da questa prima formalizzazione (detta "ingenua") nascono i primi
problemi paradossali riguardanti logica e matematica: proprio mentre
Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo
Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che è universalmente
noto come paradosso di Russell, che mina le basi della teoria di
Cantor-Frege. Quest'ultima deve essere abbandonata e più tardi viene
sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi, introdotta da Zermelo e
perfezionata da Fraenkel.
Oggi la logica è lo strumento privilegiato per lo sviluppo della
matematica, perché permette di procedere attraverso regole ben precise
che assicurano la correttezza delle dimostrazioni.
C'è da dire, infine, che la logica, oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e
matematici, presenta anche un aspetto "ludico". Utilizzando la logica è
possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi
che, stuzzicando la mente, rendono questa disciplina più facilmente
avvicinabile da tutti. E, forse, anche più divertente.
Qualche paradosso
• Il paradosso del mentitore. E’ questo il più celebre dei paradossi, quello che
ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero, impegnando per
la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici. La formulazione
più vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da
Cicerone:
Se dici che menti e in ciò dici il vero, menti o dici la verità?
Di questo paradosso sono note anche altre versioni; una delle più celebri è la
seguente
Epimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi.
E’ vero o no quanto afferma Epimenide?
La sua forma più semplice. Assai semplicemente esso può venire espresso con
l’asserto: “questo enunciato è falso”. E’ l’enunciato vero o falso?
Il paradosso del postino. Il postino prende la posta per tutti coloro che non se
la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che
la prendono da soli. Ma allora chi prende la posta del postino? Se è lo
stesso postino che prende la posta, allora ne deriva che egli non prende la
posta per se; se invece non la prende, allora si presume che egli la prende.
Il paradosso del barbiere. Presentato da Russell, è del tutto simile a quello del
postino. Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da sé. Chi fa
la barba al barbiere?
Ed ora veniamo
al dunque!
Logica Aristotelica e Megarico-Stoica
Aristotele indicava così i tre principi logici fondamentali, riguardanti la Logica dei Predicati, validi anche per la Logica delle
Proposizioni ( o degli Enunciati):
1- Principio di non contraddizione: una proposizione e la sua
negazione non possono essere contemporaneamente vere;
2- Principio di identità: ogni proposizione è uguale (equivale)
a se stessa;
3- Principio del terzo escluso: tra una proposizione e la sua negazione
almeno una è vera (e quindi, per il n.1, una sola) cioè:
una proposizione o è vera o è falsa,
(non c’è una terza possibilità) (tertium non datur)
LOGICA ARISTOTELICA: qualche esempio di ragionamento (sillogismo)
LOGICA DEI PREDICATI:
La logica aristotelica prevedeva l’analisi interna di alcuni tipi
di proposizioni (universali, particolari, affermative, negative) e lo
studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)
mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni.
Sillogismo di tipo A A A
Le proposizioni secondo Aristotele
􀂄 tipo A - Universale affermativa
ad esempio: Tutti gli orsi sono vertebrati
􀂄 tipo I - Particolare affermativa
ad esempio: Alcuni uccelli sono rapaci
􀂄 tipo E - Universale negativa
ad esempio: Tutti gli orsi non sono pesci
(ovvero: Nessun orso è un pesce)
􀂄 tipo O - Particolare negativa
ad esempio: Alcuni uccelli non sono rapaci
( BARBARA )
A: Tutti i viventi invecchiano
A: Tutti i vegetali sono viventi
-----------------------A: Tutti i vegetali invecchiano
Sillogismo di tipo E A E
( CELAR ENT )
E: Nessun mammifero è un pesce
A: Tutti gli uomini sono mammiferi
-----------------------E: Nessun uomo è un pesce
LOGICA ARISTOTELICA: qualche esempio di ragionamento
(sillogismo)
A
("tutti sono europei")
I = ¬E
("esiste un europeo")
(tutti gli uomini sono europei)
(esiste almeno un uomo che è europeo)
E
("tutti sono non europei",
cioè "nessuno è europeo")
O = ¬A
("esiste un non europeo",
(nessun uomo è europeo)
cioè "non tutti sono europei")
(esiste almeno un uomo che non è europeo)
Altri esempi di tipi di Sillogismo
i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)
Sillogismo di tipo A A I
Sillogismo di tipo A I
( DARAPTI )
A: Tutti i Pini sono Conifere
A: Tutti i Pini sono Vegetali
-----------------------I: Alcuni Vegetali sono Conifere
A: Tutti gli uomini sono mortali
I: Socrate è un uomo
-----------------------I: Socrate è mortale
Sillogismo di tipo E
Sillogismo di tipo A O
E: Nessun amico è un traditore
I: Franco è un amico
-----------------------O: Franco non è un traditore
A: Tutti i gatti sono esseri viventi
O: La Luna non è un essere vivente
-----------------------O: La Luna non è un gatto
IO
( FERIO )
I
(DARII)
O
( BAROCO )
Adesso immaginiamo che le
proposizioni ci vengano
nascoste!
Possiamo solo sapere se sono
vere o false, ma nessuno ci dà
altre informazioni!!!
Logica delle Proposizioni o Enunciati
􀂄 Diremo enunciato o proposizione un’affermazione
che assume uno ed un solo valore di verità:
vero o falso.
􀂄 Tale caratteristica è tutt’altro che banale: infatti non
tutte le affermazioni assumono incontestabilmente uno
ed un solo valore di verità.
􀂄 Alcuni enunciati sono costituiti da una sola
affermazione («Atene è in Grecia») e sono detti
enunciati atomici.
􀂄 Nella logica proposizionale prescinderemo dalla
“struttura interna” degli enunciati.
Proposizioni … e Connettivi Logici
Verità e falsità
􀂄 Enunciati composti sono costituiti da più affermazioni, collegate da
opportune parole (connettivi) come
e, o , se .. allora .. , se e solo se, non, o .. o ..
 
  
aut
􀂄 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al
significato che possono assumere quelli: l’unica caratteristica
che viene indicata nella loro definizione è quale valore di verità abbia
l’enunciato composto a partire soltanto dai valori di verità assegnati
agli enunciati componenti.
􀂄 Le tavole di verità riassumono (in versione moderna) le definizioni dei
connettivi.
Tavole di Verità dei Connettivi Logici
Se..
allora
a
b
e
ab
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
a
b
a b
a
b
o
ab
a
b a b
se e solo se..
allora..
a
non
¬a
a
b
o..o..
a aut b
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
Tavole di Verità
“EX FALSO SEQUITUR QUODLIBET”
RIFERIMENTI
“Storia della Matematica fino al 1200. Storia dello zero”.ppt, prof.ssa Francesca Russo
“Tavola dei Sillogismi” di Alessandro Salerno
“STSC-WEB(5)”.pdf di Giorgio T.Bagni
“Logica Fregeana”.pdf da G.Boniolo, P. Vidali, Filosofia della scienza,B.Mondadori
“Breve storia della Logica” di Marco Pivetta – ubib060412s003.pdf – http://ulisse.sissa.it