ESERCIZI SUI TEOREMI
1.
A lato sono indicate l'ipotesi, la tesi e la figura
di un teorema. L'enunciato di tale teorema è:
Hp: AC = CB
CE
AB
Th: ACˆ E ECˆ B
a) La bisettrice dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è anche
altezza.
b) Se in un triangolo un'altezza coincide con una bisettrice, il triangolo
è isoscele.
c) In un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base è anche bisettrice
dell'angolo al vertice.
d) Un triangolo in cui una bisettrice è anche altezza è isoscele.
2. A lato sono indicate l'ipotesi, la tesi
e la figura di un teorema.
L'enunciato di tale teorema è:
Hp: AC = CB
ECˆ D DCˆ B
Th: AB // CD
a) In un triangolo isoscele la parallela alla base condotta per il vertice è
bisettrice dell'angolo esterno adiacente al vertice.
b) La bisettrice dell'angolo esterno adiacente all'angolo al vertice di un
triangolo isoscele è parallela alla base del triangolo.
c) Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo è parallela al lato opposto a tale
angolo, allora il triangolo è isoscele.
d) Se la parallela al lato di un triangolo condotta per un vertice è bisettrice dell'angolo
esterno adiacente all'angolo opposto a quel lato, allora il triangolo è isoscele.
TEOREMI SVOLTI E GUIDATI
3. Due angoli opposti al vertice sono uguali.
HP: AOˆ C (angolo piatto)
BOˆ D (angolo piatto)
TH: AOˆ B COˆ D
DIMOSTRAZIONE
AOˆ B COˆ D perché supplementari dello stesso angolo AOˆ D ;infatti:
AOˆ B + AOˆ D = BOˆ D per costruzione
COˆ D + AOˆ D = AOˆ C per costruzione
BOˆ D AOˆ C perché entrambi piatti; infatti:
BOˆ D per Hp
AOˆ C per Hp.
cvd.
4. Dati gli angoli retti AOˆ B e COˆ D aventi in comune l’angolo COˆ B , dimostrare che gli angoli
AOˆ C e BOˆ D sono uguali.
HP: AO OB
CO OD
TH: AOˆ C BOˆ D
DIMOSTRAZIONE
AOˆ C BOˆ D perché complementari dello stesso angolo …………….; infatti
AOˆ C AOˆ B ….….
BOˆ D = ………………
( COˆ B in comune).
AOˆ B COˆ D perché …………………
cvd.
5. Dimostrare che il triangolo avente per vertici i punti medi dei lati di un triangolo isoscele è
anch’esso isoscele.
HP: AC = ……..
AL = LC
AH = ………
BK = ………
TH: LH = HK
DIMOSTRAZIONE
LH= HK perché elementi corrispondenti dei triangoli AHL e ………. uguali per il …. criterio di
uguaglianza dei triangoli; infatti
AH = ……. per ……………
…… = KB perché rispettivamente uguali a metà dei lati AC e …. che sono uguali per .....
Aˆ Bˆ perché angoli alla base …………………………………………….
cvd.
6. Sui prolungamenti della base AB di un triangolo isoscele ABC si considerino due segmenti
uguali AD e BE. Dimostrare che il triangolo DEC è isoscele.
IPOTESI: AC = CB
DA = BE
CAˆ B CBˆ A
TESI: DEC isoscele
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli ADC e …………… Essi hanno:
AC = ……. per ipotesi
……. = BE per ipotesi
CAˆ D = ………… perché angoli supplementari …………………………………………………
Allora DAC = ………. per il …. criterio di uguaglianza dei triangoli.
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali; in particolare: …… = CE.
Pertanto il triangolo …………. è isoscele sulla base ……….
c.v.d.
7. Si prolunghi la mediana AM di un triangolo ABC di un segmento ME = AM.
Dimostrare che i segmenti AC e BE risultano uguali.
IPOTESI: ……………………………………..
TESI: ………………………………………….
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli AMC e MBE. Essi hanno:
CM = ……. Per ……………………..
AM = ……. Per …………………….
AMˆ C …….. perché angoli ……………………….
AMC = MBE per il …. Criterio di uguaglianza dei triangoli.
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali; in particolare: AC = BE.
c.v.d.
8. Di due triangoli ABC e A'B'C' si sa che AB = A'B', BC = B'C', e che le mediane relative ai lati
BC e B'C' sono uguali. Dimostrare che i triangoli ABC e A'B'C' sono uguali.
IPOTESI: AB = A'B'
BC = ……
………………
………………
TESI: ABC = A'B'C'
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli ABM e A'B'M'. Essi hanno:
AB = A'B' per ipotesi
MB = M'B' perché metà di ………………………………….
AM = A'M' per ………………
ABM = A'B'M' per il …… criterio di uguaglianza dei triangoli.
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali; in particolare: Bˆ Bˆ '
Considero ora i triangoli ABC e A'B'C'. Essi hanno:
AB = …….. per ipotesi
Bˆ Bˆ ' per dimostrazione precedente
……… = …………………………………..
Allora ABC = A'B'C' per il …. criterio di uguaglianza dei triangoli.
c.v.d
9. Sia dato un triangolo ABC. Sul prolungamento del lato AB dalla parte di A si costruisca un
segmento AH = AB e sul prolungamento del lato AC, dalla parte di A, si costruisca un segmento
AK=AC. Dimostrare che il triangolo ABC è uguale al triangolo AHK.
IPOTESI: .....................................................
....................................................
TESI: ...................................................……..
DIMOSTRAZIONE:
ABC = AHK per il ................ criterio di uguaglianza dei triangoli. Infatti:
AB=AH .............................................
AC=AK ..............................................
CAˆ B HAˆ K perchè angoli ..................................................................................... c.v.d.
10. Siano AH e BK le bisettrici degli angoli alla base di un triangolo isoscele ABC.
Dimostrare che CK = CH.
IPOTESI: AC = CB
BAˆ H HAˆ C
…… = ……
TESI: CK = CH
DIMOSTRAZIONE:
CKB = CHA per il ….. criterio di uguaglianza dei triangoli. Infatti:
CB = CA per ………….
ACˆ B ………………….
CBˆ K CAˆ H perché metà degli angoli alla base ………………………
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali; in particolare: …… = …………
c.v.d
11. Sui prolungamenti dei lati CA e CB di un triangolo isoscele ABC si considerino rispettivamente
i segmenti AD e BE tra loro uguali. Detto N il punto di intersezione dei segmenti DB e AE, si
dimostri che il triangolo ANB è isoscele.
IPOTESI: CA = CB
……………….
DA = ……….
TESI: ABN isoscele
DIMOSTRAZIONE:
DAB = …….. per il ….. criterio di uguaglianza dei triangoli.
Infatti:
AD = …. per ipotesi
AB in ……………..
DAˆ B = ……… perché angoli ……………………………………………………………………
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali; in particolare: DBˆ A = ………
Pertanto ABN risulta isoscele con base AB perché …………………………………….. c.v.d
12. Dato il triangolo equilatero ABC, sui prolungamenti dei lati AB, BC, CA si prendano, sempre
nello stesso senso, tre segmenti BD, CE, AF tra loro uguali. Dimostrare che il triangolo FDE è
equilatero.
IPOTESI: AB = BC = CA
……………………..
……………………..
TESI: FDE equilatero
DIMOSTRAZIONE:
Considero i tre triangoli AFD, BDE, ……… Essi hanno:
AD = BE = …… perché somme di segmenti rispettivamente uguali ( BD = ….. = ……. per
……… e AB = BC = ….. per ……….)
FAˆ D DBˆ E …….. perché angoli ……………………………………degli angoli uguali del
triangolo equilatero dato.
AF = …… = …… per …………..
I tre triangoli sono perciò uguali per il ……… criterio di uguaglianza dei triangoli. Hanno tutti
gli elementi uguali, in particolare: FD = …… = …….
Il triangolo FDE , avendo i tre lati rispettivamente uguali, risulta quindi ……………………
c.v.d
13. Di due triangoli ABC e A'B'C' si sa che AB = A'B', BC = B'C' e che le mediane relative ai lati
BC e B'C' sono uguali. Dimostra che i triangoli ABC e A'B'C' sono uguali.
IPOTESI: AB = A'B'
TESI: ABC = A'B'C'
BC = …..
AM = A'M'
CM = MB
C'M' = …..
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli ABM e A'B'M'. Essi sono uguali per il ….. criterio di uguaglianza dei
triangoli. Infatti:
AB = A'B' …………….
MB = M'B' perché metà di …………………………………
AM = A'M' per ……………
I due triangoli hanno quindi tutti gli elementi uguali, in particolare: Bˆ Bˆ ' .
Considero ora i triangoli ABC e A'B'C'. Essi sono uguali per il ….. criterio di uguaglianza dei
triangoli. Infatti:
AB = ……. per ipotesi
Bˆ Bˆ ' per la dimostrazione precedente
……………………………………..
c.v.d
TEOREMA 14
IPOTESI: BAˆ D DAˆ C
AD // BE
B
D
E
A
TESI: EAB isoscele
C
DIMOSTRAZIONE:
BAˆ D ABˆ E perché angoli …………………………………….. di AD // BE tagliate dalla trasversale ……
DAˆ C AEˆB perché angoli …………………………………….. di AD // BE tagliate dalla trasversale ……
ˆ D DAˆ C per ………….
Ma BA
Allora AEˆ B ABˆ E per la proprietà transitiva dell'uguaglianza.
Quindi il triangolo EAB, avendo gli angoli alla base uguali (………….. = ……………) risulta isoscele.
c.v.d.
TEOREMA 15
Si prolunghi la mediana AM di in triangolo ABC di un segmento ME = MA. Dimostrare che BE // AC.
IPOTESI: …………………………
…………………………
TESI: …………………………
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli AMC e BME. Essi hanno:
…………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………
Essi sono quindi uguali per il ….. criterio di uguaglianza dei triangoli, hanno tutti gli elementi uguali, in particolare:
MBˆ E MCˆ A .
Pertanto le rette BE e AC risultano parallele in quanto, tagliate dalla trasversale ……., formano angoli ……………
………………………………… uguali ( MBˆ E MCˆ A ).
c.v.d.
TEOREMA 16
Dimostra che se la bisettrice BE di un angolo esterno CBˆ D di un triangolo ABC è parallela al lato opposto AC,
allora il triangolo è isoscele.
IPOTESI: CBˆ E EBˆ D
BE // AC
TESI: ABC isoscele
DIMOSTRAZIONE:
EBˆ D CAˆ B perché angoli …………………………………….. di AC // BE tagliate dalla trasversale ……
ACˆ B CBˆ E perché angoli …………………………………….. di AC // BE tagliate dalla trasversale ……
Ma CBˆ E EBˆ D per ………….
ˆ B BCˆA per la proprietà transitiva dell'uguaglianza.
Allora CA
Quindi il triangolo ABC, avendo due angoli uguali (.…….. = ………) risulta isoscele sulla base AC.
c.v.d
