E1. Calcolare l'attrazione gravitazionale esistente tra un libro di 2,5 kg e un
quaderno di 200 g appoggiati su un tavolo alla distanza di 30 cm. Quale
massa dovrebbe avere il libro per smuovere il quaderno, se il coefficiente
d'attrito di questi oggetti con il tavolo è 0,5?
Svolgimento
Applicando la legge della gravitazione universale ai due oggetti, dopo aver trasformato
i dati nelle unità del SI (kg per le masse e metri per la distanza), si ottiene:
Fg = 6,673•10-11 • 2,5 kg • 0,2 kg / (0,3 m)² = 3,71•10-10 N
Questa debolissima forza non è in grado di smuovere il libro e il quaderno, essendo di
gran lunga sovrastata dalla forza d'attrito che trattiene questi oggetti al tavolo. Nel
caso del quaderno (vedi la definizione D17 dell’Unità 9), la forza d'attrito è pari a:
Fa = 0,5 • 0,2 kg • 9,8 m/s² = 0,98 N
Quindi, il libro potrebbe smuovere il quaderno solo esercitando una forza
gravitazionale di questo valore. Risolvendo la legge di Newton rispetto a m1 si ha:
m1 = Fg • d² / G • m2
Sostituendo a Fg il valore della forza d'attrito e a m2 la massa del quaderno, si ottiene
la massa che dovrebbe avere il libro:
m1 = 0,98 N • (0,3 m)² / 6,673•10-11 • 0,2 kg = 6,61•109 kg
E' la massa di una grande montagna! (che si poteva ottenere anche sfruttando la
proporzionalità tra forza e massa). In una situazione di questo genere bisognerebbe
rivedere però la misura della distanza, poiché non è proponibile ancora una distanza
tra i baricentri di soli 30 cm... Così ti puoi rendere conto del perché non è avvertibile
la forza d'attrazione gravitazionale tra oggetti di comune esperienza, ma solo la forza
esistente tra questi e la Terra.
E2. Calcolare la velocità orbitale e il periodo del Telescopio Spaziale (HST),
che compie orbite circolari intorno alla Terra alla quota di 600 km.
Svolgimento
Il raggio dell'orbita di HST si ottiene dalla somma del raggio terrestre e della quota di
HST rispetto alla superficie terrestre:
r = 6378 km + 600 km = 6978 km = 6,978•106 m
La velocità orbitale si ottiene tramite la formula data nella definizione D13, dove M è
la massa della Terra:
vc =
= 7562 m/s
Il periodo si trova invertendo la formula data nella definizione D4 dell’Unità 8:
T = 2 r / vc = 2 • 3,14 • 6,978•106 m / 7562 m/s = 5795 s
Utilizzando il procedimento imparato nell'esercizio E2 dell’Unità 2, si ottiene che
questo tempo equivale a 1h 36m 35s.
Si può determinare il periodo orbitale anche senza bisogno di calcolare prima la
velocità. Infatti, combinando la definizione di periodo con la formula della velocità
orbitale, si ottiene:
T=2r
/
E3. I satelliti geostazionari sono detti così perché sono fermi rispetto alla
superficie terrestre; essi sono utilizzati per telecomunicazioni
intercontinentali o per osservazioni meteorologiche. Per ottenere questo
comportamento, i satelliti geostazionari si devono trovare in orbita
equatoriale ad una distanza dalla Terra tale che il loro periodo orbitale risulti
esattamente uguale al periodo di rotazione terrestre.
Utilizzando la terza legge di Keplero, calcolare a quale distanza dalla Terra si
devono trovare questi satelliti.
Svolgimento
Come termine di confronto conviene usare la Luna, di cui si hanno dati precisi. Dalla
terza legge di Keplero, indicando con il pedice s i dati relativi al satellite e con il pedice
L quelli relativi alla Luna, si ha:
Ts² / TL² = rs3 / rL3
Ts = 1 giorno = 3600 s • 24 h = 86.400 s = 8,64•104 s.
Poiché il periodo orbitale della Luna è 27d 7h 43m 11s e il raggio orbitale medio
384.000 km, si ha:
TL = 27 d • 86.400 s + 7 h • 3600 s + 43 m • 60 s + 11 s = 2.360.591 s = 2,36•106
s
rL = 3,84•108 m.
Risolvendo quindi la formula di Keplero rispetto a rs3, si ha:
rs3 = (8,64•106 s)² • (3,84•108 m)3 / (2,36•106 s)² = 7,585•1022 m3
Per ottenere rs bisogna ora estrarre la radice cubica del risultato (vedi Nota 2):
rs =
= 42,33•106 m = 42.330 km
Questa è la distanza dei satelliti dal centro della Terra; la quota h rispetto alla
superficie si ottiene sottraendo da questa distanza il raggio terrestre:
h = 42.330 km - 6378 km = 35.952 km
E4. Calcola la forza di gravità tra Terra e Luna e la forza di gravità tra Luna
e Sole. In base al risultato, rispondi se è del tutto esatto considerare la Luna
un satellite della Terra.
Svolgimento
Poiché la Luna gira intorno alla Terra, possiamo considerare la distanza media tra la
Luna e il Sole pari a quella tra la Terra e il Sole.
Applicando la formula della gravitazione universale al caso Terra-Luna, dopo aver
trasformato la distanza tra questi due corpi in metri, si ottiene che la forza di gravità
tra Terra e Luna è uguale a:
Fg = 6,673•10-11 • 5,98•1024 kg • 7,33•1022 kg / (1,49•108 m)² = 1,98•1020 N.
Procedendo in modo analogo per il caso Luna-Sole, si ottiene che la forza di gravità
tra Luna e Sole è uguale a 4,38•1020 N.
Quindi, si può concludere che la Luna è attirata più dal Sole che dalla Terra (la forza è
più che doppia)! Questo risultato induce a considerare la Luna come un vero e proprio
pianeta del sistema solare, il cui movimento è solo "disturbato" dalla vicinanza della
Terra.
E5. Calcola con la precisione di 3 decimali il valore della accelerazione di
gravità all'equatore e ai poli terrestri, dove il raggio è di 22 km inferiore a
quello equatoriale. Di quanto varierebbe il peso di una persona di 70 kg tra
queste due località?
Svolgimento
All'equatore, dove il raggio è pari a 6378 km (= 6,378•106 m) l’accelerazione di
gravità è, per la formula data nella definizione D8:
g = 6,673•10-11 • 5,98•1024 kg / (6,378•106 m)2 = 9,810 m/s²
Ai poli il raggio è pari a:
R = 6378 km - 22 km = 6356 km
Applicando la formula precedente a questa situazione, si ottiene: g = m/s².
Di conseguenza, la riduzione di peso che ottiene tra poli ed equatore una persona di
70 kg è:
p = 70 kg • 9,878 m/s - 70 kg • 9,810 m/s = 4,76 N
Questo effetto si somma a quello dovuto alla forza centrifuga, calcolato nell’esercizio
E7 dell’Unità 9.
E6. Una sonda spaziale si trova alla distanza di 3 milioni di km dal centro di
un pianeta, e qui misura una accelerazione di gravità di 1,4 cm/s². Di quale
pianeta si tratta?
Svolgimento
Invertendo la formula dell'accelerazione gravitazionale, si ottiene la massa del
pianeta:
M = g • R2 / G
Sostituendo in questa formula i dati del problema (R = 3 milioni di km = 3•106 m, g =
1,4 cm/s2 = 0,14 m/s2), si ha:
M = 0,014 m/s2 • 3•106 m / 6,673•10-11 = 1,89•1027 kg.
Con buona approssimazione, si tratta del pianeta Giove.
E7. La terza legge di Keplero è quella che più facilmente si riesce a ricavare
dalla legge di gravitazione universale, almeno nell'ipotesi di orbite circolari.
Prova dunque a dimostrare che il rapporto tra T2 e r3 è costante per i pianeti
di un sistema planetario, aiutandoti con i risultati dell'esercizio E2.
Svolgimento
Elevando al quadrato entrambi i membri della formula del periodo trovata
nell'esercizio E2 si ha:
T2 = 4 2 r3 / G • M
e dividendo entrambi i membri per r3:
T2 / r3 = 4 2 / G • M
Il rapporto tra T2 e r3 è costante in un sistema planetario, poiché dipende solo da
costanti universali e dalla massa del corpo centrale.
E8. Calcola le forze di attrazione gravitazionale tra i pianeti e il Sole. Perché
queste forze risultano uguali alle forze centripete calcolate nell'esercizio E6
dell’Unità 9? Come si è potuto creare storicamente questo equilibrio?
Svolgimento
Per esempio, il pianeta Giove è sottoposto a una forza di gravità pari a:
Fg = 6,673•10-11 • 1,99•1030 kg • 1,90•1027 kg / (7,78•1011 m)2 = 4,16•1023 kg
Questa forza risulta uguale alla forza centripeta definita nell’Unità 9. Le forze risultano
uguali perché i pianeti si trovano nella condizione di equilibrio orbitale descritta nella
definizione D13.
Le origini del sistema solare sono state molto caotiche, e l'ordine attuale è il
risultato di un processo di selezione naturale che ha eliminato tutti i pianeti (o
aspiranti tali) che non orbitavano in condizioni di equilibrio, facendoli precipitare nel
Sole, o portandoli a collidere con altri pianeti (vedi gli antichi crateri lunari), o
facendoli allontanare definitivamente dal sistema planetario.
E9. Calcola l'accelerazione di gravità alla superficie e la velocità orbitale dei
pianeti del sistema solare.
Svolgimento
Eseguiamo, per esempio, i calcoli per il pianeta Giove. Sostituendo i dati nelle formule
riportate nelle definizioni D8 e D13, si ottiene (R = 71.880 km = 7,188•107 m):
g = 6,673•10-11 • 1,90•1027 kg / (7,188•107 m)2 = 24,53 m/s2
vc =
= 13.064 m/s
E10. Nel 1969 la capsula Apollo 8 fu posta in orbita circolare intorno alla
Luna, a 112 km dalla superficie lunare. Sapendo che il periodo di quest'orbita
era di 1h 59m, calcola la massa della Luna.
Svolgimento
Poiché il raggio della Luna è 1738 km, il raggio dell’orbita di Apollo 8 è:
r = 1738 km + 112 km = 1850 km = 1,85•106 m
La circonferenza orbitale è:
c = 2 • 3,14 • 1,85•106 m = 1,162•107 m
Poiché il periodo orbitale è:
T = 1h • 3600 + 59m • 60 = 7140 s
la velocità orbitale è uguale a:
vc = 1,162•107 m / 7140 s = 1627 m/s
Invertendo la formula data in D13 rispetto alla massa, si ha:
M = vc2 • r / G
Sostituendo i dati del problema, si ottiene la massa della Luna:
M = (1627 m/s)2 • 1,85•106 m / 6,673•10-11 = 7,33•1022 kg
E11. Quale velocità deve essere data a una sonda spaziale spedita dalla
Terra per farla uscire dal sistema solare?
Svolgimento
Dalle definizioni D13 e D15 si ottiene la seguente relazione tra la velocità orbitale e
quella di fuga:
vf = vc •
Quindi, poiché la velocità orbitale terrestre è pari a 29,85 km/s (valore che si ottiene
con il procedimento descritto nell’esercizio E9), la sua velocità di fuga sarà:
vf = 29,85 km/s
= 42,21 km/s
Si tratta di una velocità altissima, corrispondente a 42,21 km/s • 3,6 = 151956 km/h.
E12. Lo Shuttle ha una massa di 100 tonnellate e orbita intorno alla Terra
alla quota di 500 km. Calcola la sua energia cinetica. Perché è molto
pericoloso il ritorno della navetta nell'atmosfera?
Svolgimento
Il raggio orbitale dello Shuttle è uguale alla somma del raggio terrestre e della sua
quota di volo:
r = 6378 km + 400 km = 6878 km
Quindi, la sua velocità orbitale è:
vc =
= 7617 m/s
Poiché la sua massa è:
m = 100 tonn = 100 • 1000 = 105 kg
l'energia cinetica dello Shuttle è:
Ec = ½ 105 kg • (7617 m/s)2 = 2,9•1012 J.
Al ritorno nell'atmosfera, molta di questa energia (che equivale a 2,9•1012 J / 4186 =
6,93•108 Calorie) viene convertita in calore dall'attrito con l'aria, mettendo a dura
prova gli scudi di protezione termica di cui è dotata la navetta spaziale.
E13. Al perielio, la cometa di Halley dista dal Sole 0,587 UA, mentre
all'afelio dista 34,989 UA. Calcola in kilometri l'asse maggiore D1D2 della sua
orbita e la distanza F1F2 tra i due fuochi.
Svolgimento
L'asse maggiore (vedi Nota 1) è dato dalla somma delle due distanze estreme. Quindi,
poiché 1 UA = 1,49•108 km, si ha:
D1D2 = 34,989 UA + 0,587 UA = 35,576 UA
D1D2 = 35,576 UA • 1,49•108 km = 5,30•109 km.
La distanza tra i fuochi è data invece dalla differenza tra queste due distanze:
F1F2 = 34,989 UA - 0,587 UA = 34,402 UA
F1F2 = 34,402 UA • 1,49•108 km = 5,16•109 km.
Il rapporto tra la distanza tra i fuochi e l'asse maggiore è detto eccentricità (e)
dell'ellisse: nel caso della cometa di Halley l'eccentricità orbitale è:
e = F1F2 / D1D2 = 34,402 UA / 35,576 UA = 0,967
