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Mattia Frigeri – 138930 – lezione del 20\12\2001 – ore 16:00\18:00
INTRODUZIONE
La fluidodinamica è quel ramo della fisica meccanica che si occupa dello studio della
dinamica dei fluidi; un fluido è una sostanza le cui molecole, possedendo pochissima
coesione, sono libere di scorrere le une sulle altre. Un fluido offre resistenza quasi
nulla alle deformazioni, e mentre la sua forma dipende dal recipiente o contenitore in
cui è inserito, una data quantità di fluido possiede un volume ben definito.
I fluidi che interessano il nostro studio sono quelli in movimento, e quindi un
sistema congeniale potrà essere un condotto o una tubatura, un serbatoio collegato ad
un tubo, un canale, etc. All’interno e con l’esterno di questi sistemi avviene sempre
uno scambio di energia, che potrà assumere varie forme, ma si rifarà comunque ed in
ogni caso al principio di conservazione, valido per ogni sistema esistente.
Fu Bernoulli a dimostrare che l’energia si conserva anche nel caso del moto di un
fluido all’interno di un condotto, e lo descrisse nella seguente equazione, chiamata
appunto equazione di Bernoulli:
 w22
p   w2
p 

 gz2  2    1  gz1  1   l  R
   2

 2
dove W1 ,W2 rappresentano le velocità, g è la costante di gravitazione universale,
p1 , p2 sono i due valori della pressione,  è la densità, l è il lavoro, R la resistenza e
z1 , z 2 le quote piezometriche.
LE PERDITE DI CARICO
Lo studio degli scambi di energia nel sistema e tra il sistema e l’esterno riguarda le
perdite di carico. Esso consiste nel calcolare l’intensità e quale tipo di energia viene
dispersa a causa della viscosità del fluido, nonché alla presenza, lungo il percorso, di
potenziali “ostacoli” come ad esempio curvature all’interno del tubo, valvole o
rubinetti. Tali perdite vengono divise in due gruppi principali:
- Perdite di carico distribuite (variano in base all’introduzione nel
sistema di varie accidentalità)
- Perdite di carico concentrate (dipendenti dalla viscosità del fluido ed
alla lunghezza del tubo preso in considerazione)
Più in generale:
Rtot  Rdistr .  Rdistr .
-1-
Lezione del 20/12/2001, ore 16:00 – 18:00: Perdite di carico
Densità
Sezione 1
TUBO IDEALE: non presenta
valvole, rubinetti, cruvature,
etc.
Sezione 2
p1
p2
Rubinetto
semichiuso
Sezione 1
TUBO NON IDEALE
p1
Densità
Sezione 2
p2
L’ equazione di Bernoulli è inoltre in grado di fornirci il valore del calo di pressione
e il valore della resistenza, dipendenti dall’attrito del fluido con le pareti tra le due
sezioni del condotto, grazie alla seguente formula:
R
p1  p 2

PERDITE DISTRIBUITE
Il calcolo delle perdite distribuite è molto complesso ed il suo risultato non è mai
assoluto (necessita di molteplici esperimenti). Dall’equazione si nota infatti che R
dipende da vari parametri:
R  f , D, Re 
dove D rappresenta il diametro del tubo, Re è il numero di Reynolds (definisce le
condizioni del fluido: turbolenza, moto laminare) e  la scabrezza della superficie
lungo le pareti del tubo, come mostrato in figura:
-- 2 --
Lezione del 20/12/2001, ore 16:00 – 18:00: Perdite di carico
La scabrezza rappresenta l'altezza tra
"gola" e "punta" della superficie scabra
TUBO
QUALSIASI
Superficie
scabra
Parete
del
tubo
Attraverso vari esperimenti, in seguito, è stato dimostrato che per arrivare a
conoscere la stima delle perdite distribuite è sufficiente utilizzare la seguente
formula:
W2 L
R 

2 D
dove  è il coefficiente di attrito, L la lunghezza del tubo e
W2
l’energia cinetica.
2
Tramite questa importante equazione gli studiosi sono stati in grado di tracciare il
diagramma conosciuto come abaco di Moody, le cui coordinate, in scala logaritmica
(10, 100, 1000) sono il coefficiente d’attrito (  ) e il numero di Reynolds ( Re ).
Moto
laminare
Moto
turbolento
Re
Zona di transizione (valore critico di Re)
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Lezione del 20/12/2001, ore 16:00 – 18:00: Perdite di carico
Il diagramma di Moody viene convenzionalmente diviso in tre zone principali:
- Parte laminare: nel moto laminare ciascuna molecola del fluido procede secondo
una traiettoria regolare e definita. Situata all’immediata sinistra del diagramma, la
parte laminare è la meno comune e compare solitamente in presenza di fluidi ad alta
viscosità o tubi che posseggono pareti minimamente scabre. Il valore del coefficiente
di attrito è costante e vale sempre

64
Re
- Parte di transizione: è la situazione più difficile da studiare, nella quale il
comportamento del fluido è piuttosto ambiguo. Dato che è inoltre una zona ristretta
si tende ad accettare valori intermedi tra gli altri due casi.
- Parte turbolenta: E’ il caso più comune, dato che la maggior parte della superficie
dei tubi esistenti è più o meno scabra. In queste circostanze è molto semplice
calcolare il valore d’attrito e delle perdite semplicemente conoscendo la scabrezza

relativa
ed il numero di Reynolds. In caso di moto altamente turbolento le curve
D
considerate diventano quasi parallele. Se Re   è dunque possibile calcolare 
direttamente conoscendo la scabrezza relativa.
DIAMETRO EQUIVALENTE
Non sempre i tubi a cui bisogna riferirsi presentano una sezione circolare e di
conseguenza un diametro di circonferenza a cui fare testo. Ma anche in questi casi la
sostanza non cambia, è sufficiente introdurre il concetto di diametro equivalente.
De 
4A
2 pbagnato
Ecco alcuni esempi:
TUBO A SEZIONE QUADRATA
De 
L
-- 4 --
4 L2
L
4L
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TUBO A SEZIONE DI TRIANGOLO
EQUILATERO

31

4 L  L 
2
2
  L 3
De  
3L
3
L
SEZIONE DI TUBO A "CANALETTA"
L1
A
L3
L2
2 pbagnato  L1  L2  L3  De 
4A
L1  L2  L3
PERDITE CONCENTRATE
In generale lo studio delle perdite concentrate risulta molto più semplice di quello per
le perdite distribuite, dato che:
Rconc. 
W2

2
per cui   f geometria , ovvero dipende dalla particolare geometria del tubo.
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Alcuni casi generali:
CURVATURA (90 )
90
 = 2,0
CURVATURA (45 )
 = 0,6
IMBOCCO
(collegamento tra un
serbatoio ed un tubo)
 = 0,5
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VALVOLA A
SARACINESCA APERTA
(i serramenti sono sempre
causa di un minimo attrito)
Saracinesca
 = 0,4
VALVOLA A
SARACINESCA CHIUSA
(impedisce per intero il
passaggoi dell'acqua)
Saracinesca
  
Come afferma la legge della lunghezza equivalente, posso pensare al concetto di
discontinuità (curve, saracinesche, imbocchi), come ad un tubo ideale tanto più lungo
quanto maggiore è il livello di attrito provocato dalla mia discontinuità, riportandomi
quindi al concetto delle perdite distribuite.
p


Leq W 2
W2


2
D
2
p  differenza di pressione
Esperimenti di laboratorio sono stati in grado di fornirci il seguente diagramma, il
quale permette di ricavare la lunghezza equivalente in base al diametro e ad un
numero ideale al quale corrisponde uno specifico caso di studio
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Leq
n dello studio
Diametro
1000
2
10
3
7.5
5
14
2.5
100
1
0.1
18
ESEMPIO DI ESERCIZIO SVOLTO
Determinare la velocità di uscita e la portata di un tubo collegato ad un serbatoio,
sapendo che:
H = 2m
L = 4m
D = 2 cm
H
p1
H2 O
= 0.5
90
PERDITE
CONCENTRATE
p2
W2
=2
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Sfruttando il teorema di Bernoulli so che W1  0 :


 p  p1

1 2
W2  0   2
 gH   0  R
2
 

(1)
inoltre
p2  p1

 0 dato che siamo sotto la comune pressione atmosferica!
L’unica incognita che mi rimane è dunque W2 , una volta imposto che:

W2
L W 2 
 R  Rconc.  Rdistr .      
 

2
D 2 

Sostituisco quindi nella (1) ed ottengo allora la seguente identità, la quale è molto
importante dato che ci aiuta a risolvere i problemi in cui è sempre presente un
serbatoio ed uno sbocco:
W2 
2 gH
1  
L
D
Tuttavia a questo punto non si è a conoscenza del valore di , il quale non è fisso ma
dipende dal numero di Reinolds (il quale a sua volta varia in funzione della velocità).
Se conosco i valore di  controllo l’abaco di Moody e scelgo la retta che soddisfa le
mie condizioni. In caso contrario sono costretto a proseguire per iterazione:
PROCESSO PER ITERAZIONE
Prendo in considerazione la zona di alta turbolenza, nella quale essendovi rette quasi
parallele,  non varia con il variare del numero di Reinolds (inoltre non avrebbe
64
alcun senso procedere all’interno della parte laminare, dove so già che  
.
Re
Il calcolo della velocità nel processo per iterazione va conseguito in seguito a
molteplici tentativi e prevede l’utilizzo di una tabella e del diagramma di Moody.
Consiste nel dare a caso un valore di , trovare la rispettiva velocità calcolata e
riportare tale valore sotto la colonna delle velocità tentate a capo. Utilizzando
quest’ultimo passaggio è necessario calcolare i valori di Re, , Wcalc . sino a che
Wtent .  Wcalc.
(Per comodità il percorso è stato numerato).
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Lezione del 20/12/2001, ore 16:00 – 18:00: Perdite di carico
Tentativi
a
b
c
2,20 m/s
2,156 m/s

Re
Wtent .
3
7
44000
43000
0,023
0,0247
0,025
4
8
1
5
9
Wcalc .
2,20 m/s
2,156 m/s
2,15 m/s
2
6
10
(b): Wtent .  Wcalc.  procedo di nuovo
(c): Wtent .  Wcalc.  approssimazione sufficiente
Moto
laminare
Moto
turbolento
0,025
43000
Re
Ora conoscendo W = 0,15 m/s sono in grado di calcolare la portata, come richiesto
dal problema. Si ricorda che:
3
W   D2
3 m
PortataQ   W  A 
 0,675  10
s
4
-- 10 --