Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 20 aprile 2011
Esempio.
Risolviamo il sistema formato dalle prime 2 congruenze del problema del manoscritto cinese:
x 1(mod 3)
x 2 (mod 5)
Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=1+3y, con y intero, e imponendo che siano
soluzioni anche della seconda si ottiene la congruenza di primo grado in y:
3y1 (mod 5)
Una soluzione è y=ts, dove t si ottiene dividendo il termine noto 1 per il mcd(3,5)=1(quindi t=1),
ed s è il coefficiente di 3 nella rappresentazione di 1=mcd(3,5) come combinazione lineare di 3 e 5:
quindi da 1=32+5(-1) segue s=2. Si ha y=2, e una soluzione del sistema è allora x=1+3y=7: tutte
le soluzioni del sistema sono i numeri della classe di congruenza [7] 15 rappresentata da 7 modulo
15, dunque tutti gli interi della forma 7+15k, con k intero relativo (per esempio i numeri -8, 22, 37
etc…).
Nel caso generale di n congruenze si ottiene un risultato analogo a quello del caso n=2:
Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso generale di n congruenze).
Nel sistema (*), con n>1 qualunque, se i moduli m1 sono a due a due coprimi esiste una soluzione
intera x=x0 del sistema e le soluzioni del sistema sono tutti e soli gli interi x1 tali che x1x (mod
m1m2…mn) (quindi gli elementi della classe di congruenza x0 m m ...m rappresentata da x0 modulo
1
2
n
m1m2…mn).
Dimostrazione:
Per induzione (Ia forma) su n, con base n=2.
Per n=2 la tesi segue dal Teorema precedente.
Supponiamo il Teorema vero per n e dimostriamolo per n+1.
Dato il sistema di n+1 congruenze:
x b1 (mod m1 )
x b (mod m )
2
2
.....
......
x bn 1 (mod mn 1 )
Per induzione esiste una soluzione intera z del sistema formato dalle prime n congruenze, e inoltre
tutte e sole le soluzioni di tale sistema sono z (mod m1m2…mn). Dunque il sistema di n+1
congruenze dato equivale al sistema di 2 congruenze:
x z (mod m1m2 ...mn )
x bn1 (mod mn1 )
Notiamo che i moduli delle 2 congruenze sono coprimi: se per assurdo d=mcd(m1m2…mn,mn+1)>1,
considerato un divisore primo p di d sarebbe p divisore del prodotto m1m2…mn (quindi p divisore di
qualche mi con i=1,2,…,n) e di mn+1, contro l’ipotesi che mi,mn+1 sono coprimi.
Per il Teorema precedente (il caso di 2 congruenze) si ha la tesi per n+1: il sistema ha soluzione x0
e le soluzioni sono tutti e soli gli interi x0 (mod m1m2…mn+1).
Fissata una soluzione x=x0 del sistema (*), poiché tutte le soluzioni del sistema sono gli elementi
della classe di congruenza modulo m1m2…mn rappresentata da x0, la riduzione modulo m1m2…mn di
x0 è anch’essa una soluzione ed è l’unica con valore compreso fra 0,1,…, m1m2…mn-1: tale
soluzione è detta soluzione canonica del sistema (ovviamente essa è anche la minima soluzione 0
del sistema)
Esempio.
Risolviamo il sistema formato dalle 3 congruenze del problema del manoscritto cinese:
x 1(mod 3)
x 2 (mod 5)
x 3(mod 7)
Abbiamo già risolto il sistema formato dalle prime 2 congruenze, le cui soluzioni sono 7 (mod 15).
Il sistema dato equivale allora al sistema di 2 congruenze:
x 7 (mod15)
x 3(mod 7)
Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=7+15y con y intero, e imponendo che
siano soluzioni della seconda si ottiene la congruenza in y:
15y -4 (mod 7).
Sostituendo -4 con la sua riduzione modulo 7, si ottiene la congruenza equivalente:
15y 3 (mod 7)
una cui soluzione è y=rs , dove r=3/mcd(15,7)= 3, s è il coefficiente di 15 nella rappresentazione di
1=mcd(15,7) come combinazione lineare di 15, 7 (si ha 1=151+7(-2), quindi s=1), e si ha y=3.
Una soluzione del sistema iniziale è allora x=7+153= 52.
La soluzione canonica del sistema è la riduzione 52mod(357)=52mod105=52 (è l’unica compresa
fra 0,1,…,104). Quindi x=52 è la soluzione (minima fra quelle positive) del problema del
manoscritto cinese.
Ragionando come nel caso della singola congruenza di primo grado, si verifica che nel sistema di n
congruenze (supponendo i termini noti bi<mi quindi di lunghezza L(m)=x dove m è il più grande
dei moduli mi) si può trovare una soluzione con un algoritmo di complessità O(x3) (almeno nel
caso in cui il numero n di congruenze non dipende da m, perché se n=f(m) è funzione di m è ovvio
che la complessità dipende da O(f)).
Insiemi dotati di operazione.
Dato un insieme A non vuoto, una operazione in A è una funzione f: AxA A che associa ad ogni
coppia (a,b)A di operandi un unico risultato f(a,b)A (indicato anche con a b).
L’operazione soddisfa la proprietà associativa se per ogni a,b,cA si ha (a b) c= a (b c).
L’operazione soddisfa la proprietà commutativa se per ogni a,bA si ha a b = b a.
Un elemento neutro in A è un elemento eA tale che per ogni aA si ha a e = e a=a.
Se vale la proprietà associativa A è un semigruppo; un semigruppo in cui esiste un elemento neutro
(necessariamente unico) è un monoide.
Se A è un monoide con elemento neutro eA, un elemento aA è simmetrizzabile se esiste a’A
(detto simmetrico di a, necessariamente unico) tale che a a’ = a’ a=e.
Un gruppo è un monoide in cui tutti gli elementi sono simmetrizzabili.
Se A è un monoide, l’insieme A* di tutti gli elementi simmetrizzabili è non vuoto (contiene almeno
il neutro di A) ed è un gruppo rispetto alla stessa operazione di A.
Useremo spesso la notazione moltiplicativa ab oppure ab per indicare il risultato dell’operazione
(in questo caso il neutro sarà detto unità e indicato con 1A oppure semplicemente con 1, il
simmetrico di a sarà detto inverso di a e indicato con a-1), oppure la notazione additiva a+b (in
questo caso il neutro sarà detto zero e indicato con 0A oppure semplicemente con 0, il simmetrico di
a sarà detto opposto di a e indicato con –a).
Un semigruppo (rispettivamente un monoide, un gruppo) è detto commutativo se l’operazione
soddisfa la proprietà commutativa (spesso se si tratta di un gruppo commutativo si usa il termine
gruppo abeliano).
Esempi.
L’insieme N dei naturali è semigruppo commutativo rispetto alla somma e monoide commutativo
rispetto al prodotto.
L’insieme Z degli interi relativi è gruppo commutativo rispetto alla somma e monoide commutativo
rispetto al prodotto: in questo caso il gruppo degli elementi invertibili è Z*={1,-1}.
L’insieme Q dei razionali relativi (rispettivamente R dei reali relativi) è gruppo commutativo
rispetto alla somma e monoide commutativo rispetto al prodotto: in questo caso il gruppo degli
elementi invertibili è Q*= Q -{0} (rispettivamente R*= R -{0}).
Operazioni in Zm
Fissato il modulo m>1, nell’insieme Zm={[0],[1],…,[m-1]} delle classi di congruenza modulo m si
possono definire le operazioni di somma e prodotto ponendo per ogni [a], [b] Zm:
[a] + [b] = [a+b]
[a][b] = [ab]
L’unicità dei risultati, indipendenti dai rappresentanti a,b delle classi, è garantita dalla compatibilità
della congruenza rispetto alle operazioni di somma e prodotto di numeri interi.
Rispetto alla somma Zm è gruppo commutativo (il neutro è [0], se 0 a <m l’opposto di [a] è [0] se
a=0, mentre è [m-a] se a>0, perché [a]+[m-a]=[m]=[0]) e rispetto al prodotto è monoide
commutativo (il neutro è [1]).
Rappresentazione digitale delle classi di congruenza e complessità delle operazioni
Se rappresentiamo le classi di congruenza [0],[1],…,[m-1] Zm identificandole con i valori
numerici 0,1,….,m-1 (per esempio allo scopo di inserirle come dati in un algoritmo implementato al
computer), comunque presi i valori a,b=0,1,….,m-1 i risultati delle operazioni di somma e prodotto
si ottengono con la riduzione modulo m dei risultati di somma e prodotto aritmetici (la somma è
(a+b)modm, il prodotto è (ab)modm).
Con tale rappresentazione “digitale” delle classi di congruenza, possiamo calcolare la complessità
di calcolo delle operazioni in Zm.
Poiché i casi a=0 o b=0 sono banali, possiamo supporre 0<a,b<m. Sia poi x=L(m) la lunghezza
(binaria) di m: si ha L(a), L(b)L(m)=x.
Complessità della somma in Zm: sappiamo che la somma aritmetica a+b dei numeri naturali a,b ha
complessità O(x) (essendo gli addendi di lunghezza x) ; sappiamo anche che
L(a+b)max{L(a),L(b)}+1x+1, e dunque il calcolo della riduzione (a+b)modm (essendo ottenuta
come resto della divisione di (a+b) per m) ha complessità O((x+1)2+x)=O(x2).
Complessità del prodotto in Zm: sappiamo che il prodotto aritmetico ab dei numeri naturali a,b ha
complessità O(x2) (essendo i fattori di lunghezza x); sappiamo anche che L(ab)L(a)+L(b) 2x,
e dunque il calcolo della riduzione (ab)modm (essendo ottenuta come resto della divisione di ab per
m) ha complessità O((2x)2+x2)=O(x2).
Complessità del calcolo dell’opposto in Zm: dato a in Zm (con 0 a<m) per calcolare l’opposto
rispetto alla somma (escludendo il caso banale a=0) si deve effettuare la sottrazione m-a, con
complessità lineare O(x) (dove x=L(m)).
Per calcolare la complessità del calcolo dell’inverso in Zm, notiamo che non tutti gli elementi del
monoide Zm sono invertibili rispetto al prodotto: per esempio [0] certamente non lo è, in quanto
[0][x]=[0] per ogni [x] in Zm.
Per quanto riguarda le classi non nulle sussiste il seguente risultato:
Teorema.
Una classe [a] Zm, con 1am-1, è invertibile rispetto al prodotto se e solo se a,m sono coprimi.
Dimostrazione:
Se [a] è invertibile, esiste [b] tale che [a][b]= [ab]= [1], da cui ab1 (mod m), ab-1=mk, con k
intero relativo, 1=ab+m(-k)=combinazione lineare di a,m, da cui 1=mcd(a,m).
Viceversa se 1=mcd(a,m), allora 1=ax+by con x,y interi, ax1 (mod m), [a][x]= [ax]= [1], ossia
[x] è l’inverso di [a].
Dalla dimostrazione precedente si deduce che, se a,m sono coprimi, l’inverso di [a] in Zm è [x],
dove x è il coefficiente di a nella rappresentazione di 1=mcd(a,m) come combinazione lineare di
a,m.
Nella rappresentazione digitale degli elementi di Zm, se identifichiamo le classi di congruenza
modulo m con i valori numerici 0,1,….,m-1, fissato a con 1 a m-1 troviamo la complessità di
calcolo dell’inverso di a in Zm (se a,m sono coprimi).
Possiamo utilizzare l’algoritmo Euclideo esteso applicato ai numeri a, m : dopo avere eseguito n
divisioni successive (per verificare che 1=mcd(m,a)), si costruiscono le successioni di interi non
negativi si ,ti con i=0,1,….,n+1, e si ha 1=m(-1)nsn+a(-1)n+1tn . Per quanto osservato prima, la
classe di congruenza [(-1)n+1tn] è l’inverso della classe [a] : dobbiamo solo riportare il
rappresentante della classe nel “range” canonico dei numeri compresi fra 0 ed m.
Ma ricordiamo che (come visto nell’esame della complessità dell’algoritmo Euclideo esteso), tutti i
termini delle 2 successioni costruite sono non superiori al maggiore dei 2 numeri m, a quindi in
particolare 0 tn m. Notiamo anche che 0< tn< m (nei casi tn=0,m si ottiene che l’inverso di [a] è
[0] , contraddizione). Dunque vi sono 2 casi:
- se il numero n delle divisioni effettuate è dispari, allora [(-1)n+1tn])= [tn] con 0< tn< m, e dunque
(nella rappresentazione digitale) l’inverso di a è tn
- se il numero n delle divisioni effettuate è pari, allora [(-1)n+1tn])= [-tn]=[m-tn] con 0<m - tn< m, e
dunque (nella rappresentazione digitale) l’inverso di a è m - tn .
In ogni caso per calcolare l’inverso di a, si è eseguito l’algoritmo Euclideo esteso (di complessità
O(x3)) e (al più) la sottrazione m - tn (di complessità lineare O(x)).
In totale l’inverso di aZm (se esiste) si può calcolare con un algoritmo di complessità O(x3).
La funzione di Eulero.
Abbiamo dimostrato che, fissato il modulo m>1, le classi invertibili di Zm (rispetto al prodotto)
sono tante quanti gli interi a coprimi con m tali che 1 a m-1, o equivalentemente quanti gli interi
a coprimi con m tali che 1am: tale numero, che esprime la cardinalità gruppo Zm* degli elementi
invertibili del monoide Zm (rispetto al prodotto), è detto funzione di Eulero dell’intero m>1 ed è
indicato con (m).
Calcoliamo la funzione di Eulero di m nel caso particolare in cui m sia la potenza di un numero
primo.
Osserviamo che, se m=pk con p primo e k>0, un numero naturale a non è coprimo con m se e solo
se a è multiplo di p: infatti se mcd(a,m)=d>1, essendo dpk si ha d=ph con 0<h k (per la
fattorizzazione unica) da cui pd e per transitività pa; viceversa se pa allora, posto d=mcd(a,pk),
si ha ppk , pa, dunque pd e si conclude che d>1 .
Dunque, per calcolare (pk), dobbiamo sottrarre al numero pk (di tutti i naturali compresi fra 1 e pk)
il numero di tutti quelli che sono multipli di p: poiché i multipli di p (compresi fra 1 e pk) sono in
numero di m/p=pk-1, si ottiene la formula per il calcolo della funzione di Eulero per potenze di
primi:
(pk)=pk-pk-1=pk-1(p-1)
In particolare se m=p primo, si ha:
(p)=p-1.
