Analisi Matematica II - Appello #7 del 20.9.2016 1. punti 9 Data la

Analisi Matematica II - Appello #7 del 20.9.2016
1.
punti 9
Data la curva  definita dal sistema x4 + y4 – z4 = 1 , x + y + 2 z = 0:

provare che in un intorno del punto P0 = ( 1 , 1 , -1 ) può essere parametrizzata assumendo x come
parametro;

provare che y ( x ) è decrescente in un intorno di x0 = 1;

provare che z ( x ) ha un punto estremo (precisare se minimo o massimo) in x0 = 1.

Facoltativo (lo studente può considerare questa domanda come acquisita e utilizzarla per le parti
successive) Provare che  è un compatto. ( Sugg.: utilizzare la maggiorazione (x+y)2 ≤ 2 (x2+y2) ).

Provare che tutti i punti di  sono regolari.

Calcolare il massimo di z su  .
2.
punti 6
Risolvere l’equazione differenziale y” + y = 1 / cos3 x , con –π/2 < x < π/2.
3.
punti 6
Verificare l’uguaglianza stabilita dal teorema di Stokes per il campo vettoriale F = ( y , 0 , x ) e la superficie S
definita dalle condizioni z = 2 – x2 – y2 , z ≥ 0.
4.
punti 7
Disegnare la curva di equazioni parametriche x = cost , y = sen 2t , con –π/2 ≤ t ≤ π/2.
Utilizzare una formula di Gauss-Green per calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalla curva.
5.
punti 5

Dare la definizione di auto valore di una matrice.

Nello studio dei punti stazionari di massimo o minimo per una funzione di n variabili reali, gli auto
valori di quale matrice sono presi in considerazione?

Enunciare i risultati che legano questi auto valori ai punti di massimo o minimo.

Utilizzare il procedimento per studiare i punti di massimo o minimo della funzione f ( x , y , z ) = x2 + yz.
Analisi Matematica II - Appello #7 del 20.9.2016 [ 2 ]
1.
punti 9
Data la curva  definita dal sistema - x4 + y4 + z4 = 1 , 2 x + y + z = 0:

provare che in un intorno del punto P0 = ( -1 , 1 , 1 ) può essere parametrizzata assumendo z come
parametro;

provare che y ( z ) è decrescente in un intorno di z0 = 1;

provare che x ( z ) ha un punto estremo (precisare se minimo o massimo) in x0 = 1.

Facoltativo (lo studente può considerare questa domanda come acquisita e utilizzarla per le parti
successive) Provare che  è un compatto. ( Sugg.: utilizzare la maggiorazione (y+z)2 ≤ 2 (y2+z2) ).

Provare che tutti i punti di  sono regolari.

Calcolare il massimo di x su  .
2.
punti 6
Risolvere l’equazione differenziale y” + y = 1 / sen3 x , con 0 < x < π.
3.
punti 6
Verificare l’uguaglianza stabilita dal teorema di Stokes per il campo vettoriale F = ( y , 0 , x ) e la superficie S
definita dalle condizioni z = 4 – x2 – y2 , z ≥ 0.
4.
punti 7
Disegnare la curva di equazioni parametriche x = sen 2t , y = cos t , con –π/2 ≤ t ≤ π/2.
Utilizzare una formula di Gauss-Green per calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalla curva.
5.
punti 5

Dare la definizione di auto valore di una matrice.

Nello studio dei punti stazionari di massimo o minimo per una funzione di n variabili reali, gli auto
valori di quale matrice sono presi in considerazione?

Enunciare i risultati che legano questi auto valori ai punti di massimo o minimo.

Utilizzare il procedimento per studiare i punti di massimo o minimo della funzione f ( x , y , z ) = z2 - xy.