MISURE OTTICHE
mercoledì 16 luglio 2008
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2h25min
2° Appello AA 2007/2008
Aula T.1.1 ore 13.15
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Compito intero : 1 2 3 4 5
PUNTEGGI:
(7+5+6+8+7=33 p)
N.B. È richiesto di spuntare tutti i sottopunti cui si è almeno parzialmente risposto [e.g. 1a), 1c), 1d) etc.].
Ad apice di fianco ai sottopunti degli esercizi sono indicati i corrispondenti valori in decimi sul totale
dell’esercizio.
SOLUZIONI
(30 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1) In un laser a Tm:YAG (tulio in YAG, =2.02 m), il risonatore ottico è lungo L=5 cm, lo specchio
d’uscita (piano) ha riflettività R2=98 % e l’altro specchio (sferico) ha riflettività R1=99.9 % e raggio di
curvatura ROC=40 cm. La barretta di materiale attivo ha una lunghezza geometrica l=1.25 cm. Il materiale
attivo ha un indice di rifrazione nYAG=1.8 e presenta una banda di guadagno larga 100 nm FWHM.
1a) Quanto vale il free-spectral range di questo laser a stato solido? Quanti modi longitudinali si troveranno
entro la banda di amplificazione ottica?
1b) Si dimensioni lo spessore di un etalon solido in vetro BK7 (nBK7@2µm=1.49) da inserire in cavità per la
selezione del singolo modo longitudinale (SLM). Quanto vale la selettività spettrale (Finesse) di questo
etalon in vetro? E la larghezza (FWHM, c) dei suoi picchi di trasmissione?
1c) Si ricavi la dimensione di macchia laser all’uscita dello specchio piano.
1d) Montando lo specchio piano d’uscita su un traslatore piezoelettrico (PZT) con attuazione KPZT=80 nm/V,
quale profondità (ampiezza) di modulazione si può ottenere sulla frequenza ottica applicando al PZT una
tensione sinusoidale con ampiezza picco-picco 25 V?
1a) Il free-spectral range del risonatore laser è
c
3 108
FSR=
=2.5 GHz
2L (nYAG 1)l 25 0.8 1.25102
La larghezza di banda, in hertz, del materiale attivo si ottiene dalla relazione (/)=-(/) e quindi
gain,FWHM= gain,FWHM gain,FWHM
c
2
100 10 9
3 108
=7.35 THz (>>FSR)
2.02 10 6
avendo impiegato =2.02 m per il laser a tulio.
Il numero di modi longitudinali sotto la curva di guadagno è dunque N=gain,FWHM/FSR3000 modi.
1b) Per forzare l’oscillazione SLM occorre che FSRetalon=c/(2nBK7,2µmLetalon)gain,FWHM e dunque
Letalon(1/gain,FWHM)c/2nBK7@2µm14 µm. Con questo valore limite per lo spessore dell’etalon in vetro
BK7, si ottiene per il filtro spettrale un free-spectral range FSRetalon=gain,FWHM=7.35 THz.
Se non si riesce a realizzare un etalon così sottile in vetro, si può realizzarne uno in aria (tra due superfici in
vetro, piane e parallele), con spessore Laria(1/gain,FWHM)c/2naria20 µm.
La riflettività in potenza R=[(nBK7@2µm-naria)/(nBK7@2µm+naria)]24 %, offerta dall’interfaccia tra vetro
BK7 e aria, comporta per l’etalon (Fabry-Perot a specchi piani e paralleli con R0.04) una Finesse
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F= R /(1-R)0.64<1!!!. Tuttavia non ha senso avere una Finesse F<1 e questo significa che la formula
utilizzata per il calcolo della Finesse non vale quando, come in questo caso, il profilo di trasmissione del
Fabry-Perot è solo moderatamente modulato tra i picchi di trasmissione (sempre unitari) e le valli, qui ben
lontane dal valore zero. In questo caso infatti, con R=0.04, il valore di minima trasmissione è
Tmin=(1-R)2/(1+R)2=0.85=85 % (invece Tmax1=100 %, come per qualsiasi Fabry-Perot senza perdite). Per un
Fabry-Perot con elevata Finesse, nel quale il minimo di trasmissione è ben inferiore al valore 0.5=50 %, vale
la relazione F=FSR/c che consente di calcolare la larghezza di riga a metà altezza dal valore di picco
(c=FWHM per T=THM=0.5, essendo Tmax=1) come c=FSR/F. Infatti la formula F= R /(1-R) è
approssimata e vale solo per R>0.5=50 %. Nel nostro caso, R=4 %, si ha una trasmissione minima che
rimane al di sopra del valore THM=0.5 e non si può nemmeno definire una larghezza a metà altezza rispetto al
picco del profilo di trasmissione (la curva spettrale di Airy non raggiunge mai il valore 0.5). Si può invece
definire e calcolare una larghezza di banda (*c) a metà altezza rispetto all’escursione picco-picco (tra Tmin e
Tmax) del profilo spettrale: tale larghezza di banda, è agevolmente calcolabile per un profilo di trasmissione
che assume un andamento a sin2(x) - e dunque ogni qualvolta si abbiano valori di riflettività R<<1 - ottenendo
un valore *c0.5FSR dal quale consegue una Finesse equivalente *F=FSR/*c=2.
NOTA: F=2 è il minimo valore di Finesse ottenibile per un Fabry-Perot, quando Tmin=0.5 e poi anche come *F=2 per Tmin>0.5.
1c) La lunghezza ottica della cavità laser è Llaser=L+(nYAG-1)l=6 cm. Per il risonatore ottico piano-sferico, la
dimensione della macchia laser sullo specchio piano è dunque:
w0=
Llaser ROC
Llaser
1
1
4
2.02 106 0.06 0.4
4
1 =
1
0.06 300 m
1d) La frequenza di oscillazione del laser è =c/=3108/2.0210-6150 THz. A una variazione di lunghezza
del risonatore corrisponderà dunque una variazione (assoluta) della frequenza di oscillazione, secondo la
relazione:
=(Llaser/Llaser)=0(KPZTV/Llaser)=[(1/Llaser)(KPZTV)]
150 THz[(2 m)/(6 cm)]5 GHz (2FSR, come variazione picco-picco della frequenza del laser)
La profondità di modulazione (ampiezza, o solo picco) della frequenza ottica è infine mod=/2=2.5 GHz.
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(20 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Uno strumento per allineamento laser impiega una sorgente a Nd:YLF duplicata nel verde, con fascio
d’uscita TEM00 e beam waist w0L=100 µm. L’ottica di collimazione è un telescopio con lenti di focali
f=20 mm e F=200 mm. Si vuole produrre un fascio d’uscita a massima collimazione su un range di 500 m.
2a) Si calcoli la dimensione di macchia laser al centro e agli estremi del range di misura.
2b) Quanto vale l’angolo piano di divergenza (div) del fascio laser dopo il telescopio? E il corrispondente
angolo solido (div)?
2c) Quanto vale la magnificazione del telescopio? A quale distanza occorre posizionare il telescopio
dall’uscita del laser per ottenere la collimazione richiesta?
2a) Per la collimazione ottima su un range di misura z*, si deve avere al centro del range un beam waist
con dimensione di macchia w0= z* / = 532 10 9 m 500 m / =9.2 mm (diametro 18.4 mm).
Agli estremi del range la dimensione di macchia è w= 2 w0=13 mm (diametro 26 mm).
2b) L’angolo di divergenza del fascio laser nel range di misura è div=/(w0)=18 rad.
Il corrispondente angolo solido è div=(div)2=1.110-9 sr.
2c) La magnificazione del telescopio è M=F/f=10.
Indicando con d la distanza tra il laser (con macchia d’uscita w0L=100 µm) e l’ingresso del telescopio, per
produrre un’immagine con macchia w0=9.2 mm al centro del range (distanza Z=500 m dall’uscita telescopio), deve
valere la relazione:
Z f
1 Z
w0 L
w0 L
w0
F d
M d
Pertanto la distanza d cercata deve essere
1 w0 L
1 0.1
Z
500 =0.54 m=54 cm
d=
M w0
10 9.2
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(30 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Un telemetro laser a onda continua impiega un diodo laser a 480 nm (blu) con potenza media 1 mW (per
rimanere in classe 2 di sicurezza laser) e divergenza d’uscita, angolo pieno 2 dopo un telescopio di lancio,
pari a 30 mrad. Si vuole misurare la distanza di un bersaglio cooperativo (corner cube con riflettività
R=99.9 %) che può essere posto a distanze nel range 1-100 m dal laser. L’ottica di ricezione ha diametro
D=30 cm e trasmette il 93 %. Si immagini di poter modulare il laser, sinusoidalmente a frequenza fmod, con
potenza d’uscita da 0 sino a Pmax. La tratta in aria, che separa il telemetro dal bersaglio, ha un coefficiente di
attenuazione =0.2 km-1.
3a) Si ricavi la potenza media (Pr,ave) raccolta sul fotodiodo al ricevitore, quando il bersaglio è alla massima
distanza dal telemetro.
3b) Si scelga il valore di fmod che massimizza la risoluzione del telemetro. Si calcoli la risoluzione
dimensionale L corrispondente e le risoluzioni relative, r1,2=L/L, nei due valori estremi del range di
misura. Si ipotizzi di avere una risoluzione in sfasamento (tra segnale ricevuto e segnale lanciato) pari a
()=10-2 rad.
3c) Si decida quale tipo di fotodiodo conviene impiegare per la misura e si scelga la banda passante del
fotoricevitore adatta per questa misura. Si calcoli la responsivity del fotodiodo alla lunghezza d'onda di
lavoro se l’efficienza quantica del processo di fotorivelazione è =80 %.
3d) Se l’amplificatore a transimpedenza del ricevitore ha un guadagno R=50 k, si calcoli il valore medio e
di picco della fototensione d’uscita quando il bersaglio è alla distanza L=100 m.
NOTA: la carica dell’elettrone è e1.610-19 C e la costate di Planck è h6.6410-34 Js.
3a) La potenza ottica media raccolta al ricevitore, ricavabile dal power budget del telemetro, è
D2
Topt
0.32
0.93
Ps,ave =
Pr,ave= 2
1 mW2.2 W
s 4L2max exp2Lmax
30 10 3 2 41002 exp2 0.2 0.1
3b) La misura di distanza L avviene misurando lo sfasamento tra l’onda (sinusoide) ricevuta e l’onda
trasmessa, ottenendo la relazione
c 1
L
2 2 f mod
con una risoluzione assoluta
c 1
3 10 8
1
L
2 2f mod
2 6.282f mod
La migliore risoluzione (massima risoluzione, e dunque minimo L), sia assoluta sia relativa, si ottiene per il
massimo valore di fmod compatibile con la condizione LNALmax=100 m, avendo indicato con LNA =(c/2)/fmod
la lunghezza di non ambiguità del telemetro a tempo di volo. Quindi, dovendo essere fmod(c/2)(1/Lmax),
conviene scegliere come frequenza di modulazione fmod=(c/2)/Lmax=(3108/2)/100=1.5 MHz.
Disponendo di una risoluzione in fase ()=10-2 rad, la risoluzione assoluta (dimensionale) su L è
3 10 8
1
L
10 2 16 cm
2 6.28 1.5 10 6
La risoluzione relativa per L=Lmin=1 m è r1=L/Lmin1.610-2=16 %.
La risoluzione relativa per L=Lmax=100 m è r2=L/Lmax1.610-3=0.16 %.
3c) Poiché la radiazione da rivelare è nel visibile, converrà utilizzare un fotodiodo al silicio. La banda
passante per il sistema di fotorivelazione dovrà essere commensurata alla frequenza del segnale da rivelare
(frequenza di modulazione fmod=1.5 MHz) e pertanto si può scegliere B=20 MHz (>10fmod) per non avere
distorsioni e sfasamenti spuri sul segnale fotorivelato. Anche B2 MHz è accettabile se si impiega lo stesso
fotorivelatore (stessi ritardi e sfasamenti) per la misura del segnale lanciato e di quello ricevuto.
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La responsivity del fotodiodo è =Si@400nm=
e e 0.8 1.6 1019 480 109
=
=
0.31 A/W.
h
hc
6.6 1034 3 108
3d) La corrente media in uscita dal fotodiodo è
Ir,ave=SiPr,ave(L=100m)(0.31 A/W)(2.2 W)0.69 A0.7 A
con una fototensione media
Vr,ave=RIr,ave(50 k)(0.7 A)35 mV
La fototensione di picco è Vr,peak=2Vr,ave=70 mV dato che Vr(t) varia da 0 sino a Vr,peak sinusoidalmente e
dunque il valore medio è la metà del valore di picco (Vr,ave=Vr,peak/2).
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(35 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si disegni lo schema di un interferometro laser a due frequenze, illustrandone tutti i componenti
essenziali, e descrivendone il principio di funzionamento.
4b) Nel caso si utilizzi tale interferometro in un laboratorio di ricerca per misurare spostamenti di un
traslatore meccanico compresi fra 10 m e 50 μm, qual è la banda massima Bmax alla quale si può effettuare la
misura e qual è la velocità massima vmax alla quale si può muovere il traslatore meccanico? Bmax e vmax sono
quantità correlate oppure no? Qual è la risoluzione dimensionale dell’interferometro in esame?
4c) Se l’interferometro è invece usato per misurare le vibrazioni (su scala nanometrica) prodotte da un micro
altoparlante, come converrebbe modificare lo schema di lettura del segnale interferometrico? Si può arrivare
ad ottenere una risoluzione pari a λ/100? In queste condizioni il micro altoparlante può ancora muoversi alla
velocità vmax calcolata al punto 4b)? Motivare la risposta.
4d) Nelle condizioni del punto 4c) si discuta il NED (Noise Equivalent Displacement) del sistema, facendo
opportune ipotesi sulla potenza ottica emessa dalla sorgente e sulla lunghezza dei bracci dell’interferometro.
Opzionale: se come sorgente dell’interferometro a due frequenze si utilizzasse un laser a semiconduttore, lo
strumento funzionerebbe correttamente? Motivare la risposta.
4a) Vedi slide e appunti del corso.
4b) L’interferometro laser a due frequenze utilizza come sorgente un laser ad He-Ne che emette su due modi
longitudinali (ottenuti per effetto Zeeman sottoponendo la sorgente ad un campo magnetico, vedi slide e
appunti del corso). La separazione fra i due modi longitudinali è all’incirca di 5 MHz, che coincide con la
massima banda di misura Bmax. Bmax e vmax sono correlate, in particolare vmax = ris Bmax, dove ris è la
risoluzione dimensionale dell’interferometro ed è pari a λ/2 (o λ/4, a seconda dello schema di elaborazione
della corrente fotogenerata), vmax ~ 1,5 m/s (o 0,75 m/s)
4c) Bisogna modificare lo schema di lettura del segnale di corrente fotogenerata, di riferimento e di misura.
È sufficiente effettuare il mixing dei segnali di riferimento e di misura con un oscillatore locale alla frequenza
fOL = 5MHz + Δf, dove Δf è normalmente pari a 100 kHz. Il risultato di tale mixing è quello di trasferire
l’informazione di fase sullo spostamento, pari a 2ks, da una portante a 5 MHz ad una portante alla frequenza
Δf. Se ora, essendo f di 50 volte inferiore a fOL, si suddivide l’angolo giro in 50 parti, si ottiene una
risoluzione sulla misura della fase pari a 2π/50, cui corrisponde una risoluzione dimensionale pari a λ/100
(1/50 di /2). Vedi anche slide e appunti del corso. La massima banda di misura coincide ora con il valore di
Δf ed è quindi inferiore al valore calcolato al punto 4b).
La massima velocità di spostamento del micro altoparlante sarà data in questo caso dalle seguente relazione:
vmax = λ/100 Δf = 0,6328 μm/s, ed è quindi minore di quella calcolata al punto 4b).
4d) I contributi al NED derivano dal rumore shot associato alla fotocorrente di segnale ed al rumore di fase
legato alla finita larghezza di riga di emissione della sorgente laser. Vedi slide e appunti sulle prestazioni
limite degli interferometri. In particolare, la limitazione legata al rumore di fase del laser si annulla se si
realizza l’interferometro in configurazione bilanciata.
Opzionale) Il dispositivo non funzionerebbe con una sorgente a semiconduttore, in quanto i diodi laser non
presentano l’effetto Zeeman.
Anche avendo a disposizione una sorgente laser a semiconduttore operante su due modi longitudinali,
l’elevato valore della larghezza di riga di tale sorgente renderebbe assai difficoltosa la misura.
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(30 min)
Esercizio 5
(svolgere su questo foglio e sul retro)
5a) Rivelazione di onde gravitazionali: dopo averne illustrato e commentato un possibile schema di misura,
si spieghi perché è necessario utilizzare un laser ultrastabile.
5b) Un laser a Nd:YAG è duplicato in frequenza e stabilizzato, a centro riga, sulla riga satura R(85)33-0
della molecola di I2 a 0=563.260 223 513(5) THz. Si disegni lo schema a blocchi del sistema, mettendo in
evidenza gli elementi più importanti per la stabilizzazione attiva della frequenza ottica. Da cosa dipenderanno
le caratteristiche di accuratezza e stabilità della frequenza del laser stabilizzato?
5c) Il laser del punto 5b) ha una varianza di Allan y2()=10-30 per =100 s. Si valuti (1.064 m) su un
tempo di osservazione di circa 2 minuti.
5d) Come si paragona il rumore/fluttuazione di lunghezza d'onda del punto 5c) con le dimensioni di una
molecola di I2 (distanza interatomica d0.27 nm)? Se non si è trovato un valore di al punto 5c), si ipotizzi
per la deviazione standard di frequenza e lunghezza d'onda il miglior valore ottenibile con i laser a stato
solido stabilizzati, e si svolgano i calcoli con questo valore.
5a) Si vedano i Lucidi/Appunti del Corso.
5b) Si vedano i Lucidi/Appunti del Corso.
L’accuratezza dipenderà in ultima analisi dall’accuratezza del riferimento di frequenza adottato: nel caso
della molecola di I2 e della transizione considerata, tale accuratezza è di 5 kHz (il numero in parentesi tonda
nel valore di 0).
La stabilità di frequenza ottenuta dipenderà dall’anello di stabilizzazione realizzato e, in particolare, dalla
pendenza del discriminatore ottico (che in questo caso è direttamente proporzionale alla larghezza della riga
satura).
5c) La deviazione standard di Allan è y()=10-15 per =100 s, e dunque rms/=10-15=rms/. Se ne deduce
che la deviazione standard delle fluttuazioni di lunghezza d'onda in fondamentale è rms=10-1510-21 m, su
un tempo di osservazione di 100 s.
Poiché 2 min=120 s è di poco maggiore di 100 s (per un laser stabilizzato la varianza di Allan tende a
decrescere all’aumentare del tempo di integrazione/osservazione), la deviazione standard delle fluttuazioni di
lunghezza d'onda in fondamentale, su un tempo di osservazione di circa 2 minuti, sarà di poco inferiore a
10-21 m.
5d) La fluttuazione di lunghezza d'onda rms10-21 m, risulta r=rms/d=(10-21)/(0.2710-9)=410-12 volte
inferiore rispetto alla dimensione della molecola di I2. Si osservi che 10-12 sta a indicare un milionesimo di
un milionesimo della distanza interatomica tra i due atomi di iodio nella molecola di I2.
Utilizzando /10-15 per i migliori laser stabilizzati in frequenza, si ottiene un risultato analogo a
quello sopra indicato.
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