1 - Unife

Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2013/14 appello scritto del 14/1/14
Cognome
Nome
Matricola
Traccia di soluzione
1)
I 3 assiomi sono P()=1,  A P(A)(0,1),  Ai, Aj tali che AiAj = , vale P(Ai  Aj) = P(Ai)+P(Aj).
Dalla teoria degli insiemi sappiamo che A = (AB)  (ABC), con (AB)  (ABC) = , da cui P(A) = P(AB) +
P(ABC)
Segue che P(AB) = P ((AB)  (ABC)  (AB)  (ACB)) = P((AB)  (ABC)  (ACB)) = P(AB) +
P(ABC) + P(ACB) = P(AB) + (P(A) - P(AB)) + (P(B) - P(AB)) = P(A) + P(B) – P(AB).
2)
Per ogni volo occorre calcolare quale é la probabilità di restare a terra se si prenota su quel volo, assumendo che il
comportamento di ciascun passeggero (presentarsi o meno) sia indipendente da quello degli altri, e che ciascuno .ha
probabilità di non presentarsi pari a p=0.05. Di conseguenza il numero di persone che si presentano date n prenotazioni
é una VA binomiale di parametri n e p. Indichiamo con X1 e X2 le VA relative al primo e al secondo volo.
Ci sono diversi modi di intendere l’esercizio. Restiamo a terra se avendo prenotato sul 1 volo si presentano tutti i 21
passeggeri, oppure avendo prenotato sul secondo volo se dei 42 che hanno prenotato si presentano in 41 o 42. Si tratta di
confrontare P(X1=21)=0.3406 con (P(X2=41)+P(X2=42)) = 0.256 + 0.116 = 0.372, per cui conviene il primo volo.
Una interpretazione alternativa considera esplicitamente il nostro comportamento. Sia che si abbia prenotato sul primo o
sul secondo volo, abbiamo probabilità di non presentarci (e quindi non andare a Parigi) pari allo 0.05, che non dipende
dal volo su cui abbiamo prenotato.
Se invece ci presentiamo, cosa che accade con probabilità 0.95, la probabilità di essere lasciati a terra per overbooking
dipende dal comportamento degli altri passeggeri, visto che noi ci siamo presentati. Di conseguenza il parametro n vale
20 per X1 e 41 per X2, e il confronto é fra 0.05+0.95*P(X1=20)=0.05+0.95*0.3585 e 0.05 + 0.95*(P(X2=40)+P(X2=41))
= 0.05 + 0.95*(0.2634+0.1220) per cui resta conveniente il primo volo. Nel calcolo della massa della binomiale è
ragionevole svolgere i calcoli approssimando con la gaussiana, applicando la correzione di continuità.
3)
Poiché non viene data alcuna informazione, il generico laureato proviene da ciascuna sede S1 o S2 con uguale probabilità
pari a ½ . Dato il corso di laurea di provenienza Si, la probabilità che il voto L sia >105 è pari a 1-((105-i)/i).
a) P(L>105) = P(L>105  S1) + P(L>105  S2) = ½ (P(L>105 | S1) + P(L>105 | S2)) = ½ (2 - ((105-)/) -((105)/).)
b) la votazione media del gruppo é la variabile aleatoria media campionaria di un campione aleatorio con n=100
proveniente da una popolazione normale, che quindi ha distribuzione normale (il th del limite centrale non e’
necessario) con media 88 e varianza 1. Indichiamo con Xm tale variabile, P(Xm > 99)= 1 - ((99-)/1) ~ 0.
4)
Si verifica facilmente che fXY(x,y) é una densità poiché integrata su R2 vale 1. Per ottenere la densità marginale di X si
integra fXY(x,y) = 8xy in y tra 0 e x, da cui fX(x)=4x3, mentre per la densità marginale di Y si integra fXY(x,y) in x tra y e
1, da cui fY(y)=4y(1-y2). Entrambe le funzioni sono nulle al di fuori dell’intervallo [0,1]. Poiché il prodotto delle densità
marginali é diverso dalla densità congiunta le variabili non sono indipendenti.
E[X] = 01 4x4 x = 4/5, analogamente E[Y]=8/15.
Per il calcolo della varianza si calcola il momento secondo, (risultato 2X=2/75, 2Y=11/225) mentre per la covarianza
(0, essendo X e Y dipendenti) si calcola E[XY](=4/9) integrando in R2 la funzione (xy*fXY(x,y)) tenendo presente in
quali regioni di R2 la funzione fXY(x,y) si azzera.
5) Si veda il libro di testo