Sistemi radiali

Sistemi radiali
Per la soluzione di problemi a simmetria radiale (cilindrica e sferica),
monodimensionali e stazionari, l’equazione della conduzione in coordinate
cilindriche e sferiche si esprime come segue:
k d  dT 
r
  q  0
r dr  dr 
k d  2 dT 
r
  q  0
r 2 dr  dr 
mentre il flusso termico è dato da:
q  k 2  r L 

q  k 4  r 2
dT
dr
 dT
dr
L’integrazione delle due equazioni della conduzione in assenza di generazione
di calore fornisce:
 Simmetria cilindrica
r
dT
 C1
dr
T (r )  C1 ln( r )  C2
 Simmetria sferica
r2
dT
 C1
dr
1
T (r )  
C1
 C2
r
Strato cilindrico omogeneo
Le costanti di integrazione C1 e C2 si ottengono imponendo le condizioni al
contorno T(r1) = Tr,1 e T(r2) = Tr,2 e risolvendo il sistema. Il risultato cui si
perviene è:
T (r ) 
Tr ,1  Tr , 2
r
ln    Tr , 2
r
r 
ln  1   2 
 r2 
L’andamento della temperatura all’interno dello strato è logaritmico. Allo
stesso risultato si perviene utilizzando le espressioni del flusso termico che, in
regime stazionario, è costante, cioè indipendente da r:
q  k 2  r L 
dT
 costante
dr
2
Separando le variabili:
q
dr
 k  2  L  dT
r
Integrando tra r1 e r2
q
r2
r1
dr
 k  2  L  Tr , 2  Tr ,1 
r
q ln
r2
 k  2  L  (Tr ,1  Tr , 2 )
r1
q ln
r2
 k  2 L (T (r )  Tr , 2 )
r
Integrando tra r e r2:
Dividendo membro a membro le ultime due relazioni si ottiene:
T (r )  Tr , 2
Tr ,1  Tr , 2
r
r2

r
ln 1
r2
ln
Risolvendo invece rispetto a q:
q
k  2  L  (Tr ,1  Tr , 2 )
(Tr ,1  Tr , 2 )

r
r
1
ln 2
ln 2
r1
k  2  L  r1
Il denominatore rappresenta la resistenza termica dello strato cilindrico:
3
R
r
1
ln 2
k  2  L  r1
ovvero con riferimento all’unità di lunghezza:
R' 
1
2 k
ln
r2
r1
strato cilindrico composto
Con procedimento analogo a quello illustrato nel caso delle pareti multistrato
il flusso termico sarà proporzionale alla differenza di temperatura dei fluidi a
contatto e inversamente proporzionale alla somma di tutte le resistenze che il
calore incontra:
4
q' 
T ,1  T , 2
r
r
r
1
1
1
1
1

ln 2 
ln 3 
ln 4 
2 r1 h1 2  k A r1 2  k B r2 2  k C r3 2 r4 h4
L’espressione può essere scritta in termini di un coefficiente globale di
trasmissione U1:
q'  U 1 2 r1 T ,1  T , 2 
oppure in termini di un coefficiente U2:
q'  U 2 2 r2 T ,1  T , 2 
dove U12r1 = U22r2 = …
Esempio
L’esistenza di uno spessore ottimale dell’isolamento termico di una tubazione
è suggerita dalla presenza di due effetti antagonisti:
 al crescere dello spessore cresce la resistenza conduttiva
 al crescere dello spessore cresce l’area a contatto del fluido e quindi
diminuisce la resistenza convettiva
Esisterà quindi uno spessore dell’isolante che massimizza la resistenza termica
totale, somma delle componenti conduttiva e convettiva.
Si richiede di affrontare questo problema con riferimento al seguente sistema:
1. un tubo di rame di raggio ri viene utilizzato per trasportare un
refrigerante a temperatura Ti inferiore a quella ambiente T. Esiste uno
spessore ottimale dell’isolante?
5
2. Si confermi il risultato relativo al punto 1) calcolando la resistenza
totale per unità di lunghezza di un tubo di 10 mm di diametro
considerando gli spessori: 0, 2, 5, 10, 20, 40 mm. La conducibilità
dell’isolante è k=0.055 W/mK e il coefficiente di convezione h=5
W/m2K.
Soluzione
Dati:
Raggio interno e temperatura del tubo di rame; conducibilità e coefficiente di
convezione
Obiettivo:
1. Verificare se esiste uno spessore ottimale dell’isolante che minimizza
lo scambio termico;
2. Calcolare
la
resistenza
totale
assumendo
differenti
spessori
dell’isolante.
Schema:
:
Ipotesi semplificative:
 Condizioni stazionarie
 Campo termico monodimensionale
 Resistenza conduttiva del tubo trascurabile
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 Scambi radianti trascurabili
Analisi:
Lo schema elettrico equivalente è:
Sommando le due resistenze:
'
Rtot

ln( r / ri )
1

2 k
2 r h
Il flusso termico q’ è dato da:
q' 
T  Ti
'
Rtot
Lo spessore che massimizza o minimizza la resistenza deve soddisfare la
condizione:
'
dRtot
0
dr
quindi
1
1

0
2 k r 2 r 2 h
Poiché per r = k/h è
 r
k
h
'
d 2 Rtot
 0 (concavità verso l’alto), la resistenza presenta
dr 2
un minimo e dunque non esiste uno spessore ottimale dell’isolante.
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Il risultato trovato induce a ragionare piuttosto in termini di raggio critico:
rcr 
k
h
al disotto del quale il flusso q’ cresce all’aumentare di r.
Con i valori numerici assegnati il raggio critico risulta:
rcr 
0.055W / mK
 0.011 m
5W / m 2 K
Poiché il raggio del tubo (ri = 0.005 m) risulta inferiore al raggio critico per
valori di r compresi tra ri e rcr l’effetto dell’isolamento sarà di accrescere il flusso
termico.
Il diagramma che segue mostra gli andamenti delle resistenze conduttiva,
convettiva e totale in funzione della differenza (r – ri) che rappresenta lo spessore
dell’isolante.
Commenti:
1. Si osservi che anche per spessori dell’isolante di 20 mm la resistenza è
inferiore a quella del tubo non isolato;
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2. Per ri < rcr, come in questo caso, la resistenza totale diminuisce ed il flusso
termico aumenta all’aumentare dell’isolamento. Questo effetto è
desiderato nel caso di conduttori elettrici per i quali la dissipazione
jouleiana verso l’esterno risulta favorita. Viceversa, per ri>rcr l’isolamento
riduce sempre il flusso termico e questo effetto è favorevole nel caso nel
caso di tubi che veicolano fluidi a temperatura maggiore di quella
ambiente;
3. La diminuzione della resistenza all’aumentare dello spessore dell’isolante
si verifica solo per tubi piccoli o per coefficienti di convezione bassi, Per
valori tipici della conducibilità (k=0.03 W/mK) e nel caso di convezione in
aria (h=10 W/m2K) il raggio critico risulta rcr=0.003 m, ragion per cui
questa criticità in pratica non esiste, salvo che per i conduttori elettrici. In
questo caso la guaina protettiva, che ha una conducibilità dell’ordine di 0.3
W/mK, incrementa il raggio critico di un ordine di grandezza (da 3 mm a 3
cm) interessando gran parte delle applicazioni elettriche.
4. Il raggio critico si manifesta soltanto per simmetrie cilindriche e sferiche e
non per quella piana, per la quale la resistenza convettiva è indipendente
dallo spessore dell’isolante; ciò provoca sempre una riduzione del flusso
scambiato.
Sistemi radiali con generazione interna di calore
Se la generazione interna di calore è uniformemente distribuita all’interno del
mezzo conduttivo, q è costante e la determinazione del campo termico risulta
alquanto semplificata. Nel caso di cilindro pieno il bilancio energetico riferito ad
una supeficie isotermica di raggio r implica che tutta la potenza dissipata
all’interno del materiale racchiuso dalla superficie debba da essa fuoriuscire per
conduzione:
dT
E in  q r 2 L  E out  2 rLk
dr
ossia
9
rdr  
2k
dT
q
Integrando tra r e ro e T e TS:
ro2  r 2 2k

(T  Ts )
2
q
La temperatura massima si raggiunge in corrispondenza dell’asse:
ro2 2k

(Tmax  Ts )
2
q
e dividendo membro a membro:
r
T  Ts
 1  
Tmax  Ts
 ro



2
L’andamento della temperatura è parabolico. Per calcolare la temperatura Ts
occorre scrivere l’equazione di bilancio riferito alla superficie esterna:
E in  q  ro2 L  E out  h 2 r0 LTs  T 
da cui risolvendo rispetto a Ts:
Ts  T 
q r0
2h
La temperatura T(0) = Tmax in corrispondenza dell’asse è data da:
Tmax  Ts 
qr02
qr qr 2
qr 2
 T  0  0  T  0
4k
2h 4k
4k

2k 
1 

 hr0 
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