Giovanni Cerchiari
Esercizio di Termodinamica sul flusso di calore
Un tubo di rame di sezione circolare di raggio interno r = 20mm , raggio esterno R = 40mm e
lunghezza l = 500mm è percorso al suo interno da acqua alla temperatura di Tw =100°C .
All’esterno del tubo c’è aria alla temperatura Ta = 20°C .
Sapendo che
• la conduttività termica del rame è pari a c = 386 W/(Km)
• i coefficienti di trasmissione del calore per le superfici di contatto rame-acqua e rame-aria
sono rispettivamente hin=1000 W/(Km2) e hout=100 W/(Km2)
determinare
1. Il flusso termico
2. Il flusso termico per unità di area sulla superficie esterna
3. La temperatura in un generico punto del tubo di rame.
z
R
r
ρ
l
dz
ρdθ
y
θ
ρ
x
Supporremo per semplicità che tutto il calore fluisca ortogonalmente all’asse z come rappresentato
in figura, rispetto al quale il nostro problema ha simmetria cilindrica.
Utilizzeremo il simbolo T ( x, y, z ) per indicare funzione temperatura all’interno del tubo di rame.
Data la simmetria del problema possiamo affermare che il campo vettoriale ∇T sarà sempre
ortogonale all’asse z e avendo solamente componente radiale. Per tale motivo immagineremo
inoltre che T sia solo funzione della posizione radiale ρ :
∂T
∂T
∂T
∂T ˆ 1 ∂T
∂T
∂T
dT
∇T = xˆ
+ yˆ
+ zˆ
= ρˆ
+θ
+ zˆ
= ρˆ
= ρˆ
(1)
∂x
∂y
∂y
∂ρ
ρ ∂θ
∂z
∂ρ
dρ
La potenza del calore che attraversa una parete piana di
rame di spessore d e superficie S quando all’interno del
materiale vi è una differenza di temperatura ∆T è
∆T
W =c
1
S • ∆T
d
S
Come abbiamo detto la trasmissione di calore nel nostro
problema avviene solo in direzione radiale rispetto alla
simmetria cilindrica del problema. Pertanto non sarà
difficile esprimere il flusso di calore che attraversa una
generica superficie laterale di un cilindro di raggio ρ (come
d
rappresentato in figura) immersa nel rame. Come ci
suggerisce l’immagine impostiamo le equazioni per una superficie differenziale e sfruttiamo il fatto
che la variazione di temperatura avvenga solo radialmente (equazione (1)) :
dW = c
dT
1
1
dT
dS • dT = c
dρ = c
( ρˆ ρ dθ dz ) • ρˆ
dρ
dρ
dρ
dρ ρ
ρ dθ dz
ρ
Da cui deduciamo che per l’intera superficie laterale
W (ρ ) = c 2π lρ
dT
dρ
(2)
ρ
Il sistema termodinamico è supposto in una situazione stabile nel tempo e non vi è flusso di calore
disperso. Questa importante considerazione mette in luce il fatto che W ( ρ ) è in realtà una funzione
indipendente dal raggio: se il flusso di calore uscente da una qualsiasi superficie cilindrica non fosse
costante, allora parte del calore fluirebbe preferibilmente in qualche zona del cilindro
aumentandone la temperatura; facendo così cadere l’ipotesi di stabilità dello stato del sistema. Per
questa ragione assumeremo W ( ρ ) = W costante per qualsiasi valore di ρ .
L’ultima relazione scritta (2), in virtù della nuova condizione trovata per il flusso di calore uscente,
dT
permette di ricavare un’espressione esplicita della funzione
(ρ)
dρ
dT
W
1
=
d ρ c 2π l ρ
espressione dalla quale calcoliamo la differenza di temperatura tra la superficie intera e quella
esterna
T ( R) −T (r ) = ∫
R
r
R dρ
dT
W
W
R
=
ln
dρ =
∫
r
dρ
c 2π l
ρ c 2π l r
(3)
Tra i dati del problema troviamo il flusso di calore istantaneo fornito hin dall’acqua al tubo di rame
e il flusso rilasciato hout dal tubo nell’ambiente circostante. Tali valori sono espressi per unità di
area e per differenza unitaria di temperatura tra le superfici di separazione. E’ da notare a questo
punto che non ci si può aspettare che le due superfici di separazione acqua-rame e rame-aria stiano
alla stessa temperatura poichè si tratta di materiali differenti. Quindi ricordando che abbiamo
chiamato con Tw la temperatura dell’acqua e con Ta la temperatura dell’aria ci aspettiamo che
Ta ≠ T ( R) e Tw ≠ T (r ) .
Siamo a questo punto pronti per determinare quanto valga il flusso di calore e le temperature delle
superfici laterali interna ed esterna del tubo di rame. Ricordando che il flusso di calore si conserva
su tutte le superfici cilindriche laterali e usando la relazione (3) possiamo scrivere il seguente
sistema di equazioni
W = h ( 2 π l r ) (T − T ( r ) )
in
w
W = hout ( 2 π l R ) (T ( R ) − Ta )
T ( R ) − T ( r ) = W 1 ln R
2π l c r
1 W
+ hinT ( r ) = hinTw
r 2π l
1 W
⇒
− houtT ( R ) = − houtTa
π
R
2
l
1 R W
− T ( R) + T (r) = 0
ln
c r 2π l
che è equivalente al seguente
1/ r
0
−hout
1/ R
c ln ( R / r ) −1
−1
hin
0 •
1
W / (2π l )
T ( R)
T (r)
hinTw
= −houtTa
0
(4)
che per essere risolto numericamente richiede solo alcuni passaggi algebrici che lasciamo al lettore.
Siamo quindi alla fine dell’esercizio e possiamo rispondere ai quesiti
1. Il flusso termico attraverso una generica superficie S completamente immersa nel rame è
W
ρˆ
S
∇
•
=
• dS
T
d
∫S
c 2 π l ∫S ρ
dove abbiamo usato la relazione (1).
Il flusso è proporzionale alla proiezione della superficie S nella direzione radiale.
Quindi se la superficie è chiusa e non abbraccia il cilindro cavo interno, il suo flusso termico
è nullo, cosa che sapevamo già per l’ipotesi di non dispersione del calore.
2. Il flusso termico sulla superficie esterna per unità di area è ricavabile dall’espressione (2)
W
come
c 2π l R
3. La temperatura di un qualunque punto dipendendo solo dalla distanza dall’asse z può
essere calcolata a partire dalla relazione (3) e dalle soluzioni del sistema (4)con ovvie
sostituzioni :
W
ρ
ln + T ( r )
T (ρ ) =
c 2π l r
