Meccanica e Termodinamica
17 Giugno 2013
1. Un corpo di massa m viene fatta scivolare lungo un piano inclinato di α
gradi rispetto l’ orizzontale , partendo da fermo da altezza h . Giunto alla
base del piano il corpo percorre un tratto orizzontale e risale lungo un
secondo piano inclinato di β gradi rispetto l’ orizzontale. Sui piani inclinati e’ presente un attrito
dinamico caratterizzato dallo stesso coefficiente di attrito dinamico μ. Non vi e’ attrito sul piano
orizzontale.
Supponendo noti i valori di : h, μ, α, β determinare, in funzione di queste grandezze e sulla base di
considerazioni energetiche, la massima altezza ( h’) raggiunta dalla particella nel risalire sul secondo
piano inclinato.
2. Un corpo, inizialmente fermo, esplode a causa di forze interne e si divide in 2 pezzi, m1 = 15Kg e
m2=60Kg. Supponendo che l'energia sprigionata dall'esplosione sia 4500 J e che tutta l'energia venga
trasferita a m1 e m2 sotto forma di energia cinetica di traslazione, calcolare le velocità v1 (del pezzo di
massa m1 ) e v2 (del pezzo di massa m2 ) immediatamente dopo l'esplosione. (Considerare come
positivo il verso di v2 ).
3. Un gas perfetto poliatomico e’ contenuto in un recipiente munito di un pistone mobile. Lo stato iniziale
(stato A) e’ caratterizzato da VA = 3 litri, PA = 15 105 Pa TA=549 K . Il gas viene poi fatto espandere a
pressione costante fino ad occupare un volume VB = 6 litri (stato B). Successivamente il gas e’
raffreddato ; alla fine del processo di raffreddamento (stato C) la temperatura del gas è TC = TA.
Determinare:
- La variazione di energia interna nell’ intera trasformazione, ossia (UC – UA)
- Il lavoro del gas nella trasformazione A B
- Il calore ceduto/assorbito nella trasformazione A B
( R = 8,314 J/K·mol calore specifico a volume costante : cv = 3R
Soluzioni:
esercizio n. 1 Per determinare h’ utilizziamo il teorema dell’ energia cinetica : il lavoro complessivo fatto delle forze che agiscono su
un corpo eguaglia la variazione di energia cinetica (∆K) del corpo .Il corpo è fermo sia a quota h’che a quota h : ∆K = 0 , L = 0
L = Lgh + Lfa + Lgh’ + Lfa’ =0
(1)
Dove : = Lgh , Lfa sono rispettivamente il lavoro delle forze gravitazionali e di attrito nel tratto in discesa lungo il I piano inclinato ed analogamente
Lgh’ Lfa’ sono il lavoro delle forze gravitazionali e di attrito nel tratto che il corpo percorre in salita lungo il II piano inclinato.
Nel tratto orizzontale non vi sono forze di attrito ed e’ nullo il lavoro della forza di gravità che è perpendicolare allo spostamento.
Lgh’ = mg (0 – h’)
Lgh = mg (h - 0)
(la forza gravitazionale è conservativa)
Per il calcolo dei lavori fatti dalle forze di attrito:
La forza di attrito e’ data dal coefficiente di attrito x la forza perpendicolare al piano di appoggio.
|Fa| = μ mg cosα per il piano percorso in discesa |Fa’| = μ mg cosβ per il piano percorso in discesa.
h/senα ed h’/senβ sono i relativi spazi percorsi. La forza di attrito e’ antiparallela allo spostamento.
Lfa = - μ mg cosα h/senα = - μ mg h/ tanα
Lfa’ = - μ mg cosβ h’/senβ =
- μ mg h’/tanβ
(1) mg h - mg h’ - μ mg h/ tanα - μ mg h’/tanβ = 0
h’ = h (1 - μ / tanα ) / (1 + μ / tanβ)
esercizio n.2 La quantità di moto iniziale uguale a 0 perché il sistema è fermo. L'esplosione, che una forza interna, fa sì che la
quantità di moto complessiva resti nulla anche dopo l'esplosione. Se l'energia sprigionata dall'esplosione si trasforma in sola energia
cinetica e i due frammenti non ruotano, possiamo scrivere le seguenti due equazioni. Si noti che i due frammenti si muovono sulla
stessa retta e in verso opposto.
Dividendo la prima equazione per m1 e moltiplicando la seconda per 2 si ha:
Esercizio 3
L’ energia interna dipende unicamente dalla temperatura. Poiché la temperatura del gas, nello stato finale (C) e
nello stato (A), e’ la stessa :
∆U = 0
Lavoro nella trasformazione A B : e’ una trasformazione a pressione costante quindi
LAB = PA (VB –VA)
LAB = 15 105 x 3 10-3 = 4500 J
Calore nella trasformazione A B : e’ una trasformazione a pressione costante quindi : QAB = n cp (TB-TA)
Dall’ equazione di stato dei gas perfetti (PV = nRT) calcoliamo il numero di moli
riferendoci allo stato A, otteniamo: n = 3 10-3 15 105 / (8,314 x 549) = .986 moli
Sempre dall’ equazione di stato dei gas perfetti calcoliamo T B :
Stato A : PA VA = n R TA Stato B : PA 2VA = n R TB TB = 2 TA = 1098 K
Dalla relazione di Mayer cp –cv = R otteniamo cp = 4 R
QAB = n cp (TB-TA) = 4 x .986 x 8,314 x 549 = 18001 J
