COMPITO DI MATEMATICA per la classe 5D Durata della prova 3 ore
Risolvere, a scelta, uno dei due problemi e 3 fra i 6 quesiti del questionario.
PROBLEMA 1.
Si consideri la funzione
sen x
y = f(x)= -----------5 -4 cos x
a) Tracciare il grafico della curva corrispondente
b) Calcolare l'area della parte di piano compresa tra la curva e il grafico della funzione y =sen x,
nell’intervallo 0≤x≤ .
c)Servirsi della funzione precedente per risolvere il seguente problema:
In un triangolo ABC il lato AB ha lunghezza unitaria, il lato AC e` doppio del lato BC e l'angolo
opposto ad AB ha ampiezza x
Determinare x in modo che l'area del triangolo assuma valore massimo.
PROBLEMA 2.
Un certo tipo di motore d’aereo ha probabilità 0,4 di rompersi in volo
Si indichi con
X
Y
la variabile aleatoria : numero di motori rotti su un aereo munito di 2 motori
la variabile aleatoria : numero di motori rotti su un aereo munito di 4 motori
Determinare per ciascuna variabile la distribuzione di probabilità, il valor medio e la varianza.
Poiché l’aereo può continuare a volare se funziona almeno la metà dei motori, è più sicura la
soluzione con 2 o con 4 motori?
Rispondere a quest’ultima domanda nel caso più generale in cui la probabilità che il motore si
rompa sia uguale a p, discutendo eventualmente il risultato secondo il valore di p.
Si considerino 25 aerei quadrimotori contemporaneamente in volo e si supponga che la
distribuzione di X = numero di motori complessivamente rotti (fra tutti gli aerei) sia una
distribuzione di Poisson
Determinare p affinché il valor medio sia uguale a 10 e calcolare la probabilità che si rompa almeno
un motore, fra tutti gli aerei in volo
QUESTIONARIO
1) Un professore prepara un test a scelta multipla per i suoi allievi, con le seguenti modalità:
10 quesiti in tutto.
Un punto per ogni risposta esatta
In ogni quesito va individuata la risposta esatta fra m scelte.
a) Calcolare, in funzione di m, la probabilità che uno studente, rispondendo <<a caso>>
ottenga un punteggio maggiore o uguale a 6.
b) Determinare il minimo valore di m per cui il valore atteso del punteggio ottenuto da uno
studente che risponde <<a caso>> , sia inferiore a 3.
2)Un dado è stato truccato in modo che la probabilità che esca la faccia col numero 6 abbia
probabilità 4/9, mentre le altre uscite sono equiprobabili.
Determina la probabilità dei seguenti eventi
esce un numero dispari
esce un numero pari
3)I voti in matematica degli studenti di un liceo si distribuiscono normalmente,
Sapendo che i voti 6 e 8 corrispondono ai punteggi standardizzati -0,75 e 1, rispettivamente,
determinare il valor medio e lo scarto quadratico medio.
Calcolare il valore che corrisponde al punteggio standardizzato pari a 0,5.
x0
0
4) Una variabile aleatoria X ,continua, è retta dalla legge di distribuzione f ( x) a
x0
x2 1
Determinare il valore di a e calcolare P(0<X<1)
et
dt
0 t2 1
È sempre crescente e concava verso l’alto
5) Provare che la funzione f(x) =
x
6) Dato il fascio di parabole di equazione y= (k+1)x2-kx+1 , si determini il luogo geometrico dei
vertici.
Qual è la posizione limite del generico vertice quando k→-1? Dare un’interpretazione geometrica
del risultato
SOLUZIONI
PROBLEMA 1
a)La funzione è definita in R ed è periodica di periodo 2π. Lo studio può
essere limitato ad un periodo (es. tra 0 e 2π)
Assume lo stesso segno ed ha gli stessi zeri della funzione sen(x) in quanto il denominatore è sempre positivo.
La derivata prima è
Segno della derivata prima e crescenza del grafico
0______________α……………………………………2π-α_________________2π
++++++++++++++ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++++++++++
Dove con α è stato indicato l’angolo il cui coseno è 4/5
Studio della derivata seconda
( α= arccos 4/5)
0………………β__________________π………………..
-
- - - - ++++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - -
2π-β_________2π
++++++++
La curva volge la concavità verso il basso tra 0 e β, verso l’alto tra β e π, verso il basso tra π e 2π-β, verso l’alto tra
2π-β e 2π.
Ci sono 5 flessi (compresi 0 e 2π)
Massimo relativo ( e assoluto )
Dove si è sostituto sen α=
Il valore del minimo è uguale e opposto
In modo analogo si procede per i punti di flesso, tenendo conto del
fatto che se cos β= 7/20 , allora sen β = 3√39 /20
GRAFICO (cfr. figura )
b)Confronto con il grafico di y=sen x
Risolvendo l’equazione
ovvero sen x(4-4 cos x)
si trova che gli unici punti comuni sono (0,0) e (π,0)
Il grafico di sen x, tra 0 e π, si trova al di sopra di quello della
funzione (cfr. figura)
L’area richiesta si può calcolare mediante l’integrale
definito
= 2-1/4 ln 9
a) Applicando il Teorema ci Carnot al triangolo ABC si trova
ovvero, ponendo
da cui
L’area del triangolo può essere calcolata come
sen x= y2sen x =
Che , con le limitazioni 0<x<π, corrisponde proprio alla funzione precedentemente studiata.
Il valore di x corrispondente all’area massima è quindi quello che abbiamo indicato con α, cioè arccos 4/5.
PROBLEMA 2
Distribuzione di probabilità di X
Variabile aleatoria binomiale ( numero di <<successi>> in 2 prove)
(1-p)2=0,36
0
P(X=x)
x
2*p*(1-p)=0,48
1
p2=0,16
2
Distribuzione di probabilità di Y
Variabile aleatoria binomiale ( numero di <<successi>> in 4 prove)
P(Y=y)
(1-p)4=0,1296
4*p*(1-p)3=0,3456
6p2(1-p)2=0,3456
y
0
1
2
Valor Medio ( per la binomiale ) = np
Valor Medio di X
E(X) = 0,8
Valor Medio di Y
4p3(1-p)=
0,1536
3
P4=0256
4
E(Y) = 1,6
Varianza ( per la binomiale) = npq
Var(X) = 0,48
var(Y) =0,96
Per verificare quale sia la soluzione più sicura (due o quattro motori) si deve calcolare , in ciascun caso, la probabilità
che l’aereo continui a volare, cioè la probabilità che il numero dei motori rotti sia minore o uguale alla metà dei motori
Aereo a 2 motori P (x≤1) = P(x=0) + P(x=1 ) = 1-P(x=2) = 0,84
Aereo a 4 motori P(Y≤2) = P(y=0)+P(y=1)+P(y=2) =0,82 circa
E’ più affidabile la soluzione a 2 motori
Generalizzazione
Probabilità che un aereo a 2 motori continui a volare, se p è la probabilità che un motore si rompa in volo
1- p2
Probabilità che un aereo a 4 motori continui a volare
1- (P(y=3)+P(y=4) ) =1-4p3+4p4-p4=
1-4p3 + 3p4
Imponendo, per esempio,
1-p2 > 1-4p3 + 3p4
Si trova
p2(3p2 -4p +1) < 0 ovvero
(3p2 -4p +1) < 0 →
1/3<p<1
Se p è alta è più sicura la soluzione a due motori, se p è bassa (<1/3) è più sicura la soluzione a 4 motori
Valor medio
λ=np =100p
100p=10 → p=0,1
Probabilità che si rompa almeno un motore = 1 -P(0)
Distribuzione di Poisson assegna ad ogni valor k di una variabile aleatoria di valor medio λ
probabilità e - λ- λk/ k!)
Sostituendo 0 al posto di k nella formula si trova
La probabilità richiesta è 0,99 circa
P(0) = e -10
QUESITI
1)Si tratta di una distribuzione binomiale con n=10 p=1/m q=1-1/m
a) Si devono sommare le probabilità che lo studente indovini 6,7,8,9,10 quesiti
Dove i coefficienti binomiali assumono rispettivamente i valori
210 120 45 10 1
b) Il valore atteso = np = 10/m è inferiore a 3 se m/10/3
Si devono assegnare almeno 4 possibili risposte
2)Poiché la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari deve essere uguale a1, la probabilità che esca un
numero diverso da 6 è 1/9
Probabilità che esca pari 4/9 + 2/9 = 2/3
Probabilità che esca dispari 3/9 = 1/3
3) Ricordando che la variabile standardizzata z è legata alla variabile effettiva x dalla relazione
la
E sostituendo i valori assegnati, si calcolano i valori di μ (valor medio ) e
Si trova
( scarto quadratico medio )
μ = 6,8
= 1,14
Si deduce poi che z=0,5 corrisponde a x =7,42 ( 7 e <<mezzo>> circa)
4)la funzione di f(x) può essere considerata una funzione di distribuzione ( o densità di probabilità) se
Poiché per x<0 f(x) è nulla possiamo considerare
=a
Da cui a = 2/π
P (0<X<1) =
=
5)La funzione F(x) da studiare ha per derivata la funzione integranda
f(x)=
che è definita per ogni valore di x e assume solo valori positivi, pertanto F(x) è crescente
F”(x) = f’(x) =
La derivata seconda non è mai negativa, quindi la curva volge la concavità verso l’alto
6)Equazioni parametriche del luogo
Eliminando il parametro k si trova l’equazione cartesiana
Si tratta di un’iperbole
La tendere di k a -1 le coordinate del vertice tendono ad infinito.
Geometricamente si osserva che la parabola degenera nella retta y=x+1
