Problemi-quesiti_riepilogo

COMPITO DI MATEMATICA per la classe 5D Durata della prova 3 ore
Risolvere, a scelta, uno dei due problemi e 3 fra i 6 quesiti del questionario.
PROBLEMA 1.
Si consideri la funzione
sen x
y = f(x)= -----------5 -4 cos x
a) Tracciare il grafico della curva corrispondente
b) Calcolare l'area della parte di piano compresa tra la curva e il grafico della funzione y =sen x,
nell’intervallo 0≤x≤ .
c)Servirsi della funzione precedente per risolvere il seguente problema:
In un triangolo ABC il lato AB ha lunghezza unitaria, il lato AC e` doppio del lato BC e l'angolo
opposto ad AB ha ampiezza x
Determinare x in modo che l'area del triangolo assuma valore massimo.
PROBLEMA 2.
Un certo tipo di motore d’aereo ha probabilità 0,4 di rompersi in volo
Si indichi con
 X
 Y
la variabile aleatoria : numero di motori rotti su un aereo munito di 2 motori
la variabile aleatoria : numero di motori rotti su un aereo munito di 4 motori
Determinare per ciascuna variabile la distribuzione di probabilità, il valor medio e la varianza.
Poiché l’aereo può continuare a volare se funziona almeno la metà dei motori, è più sicura la
soluzione con 2 o con 4 motori?
Rispondere a quest’ultima domanda nel caso più generale in cui la probabilità che il motore si
rompa sia uguale a p, discutendo eventualmente il risultato secondo il valore di p.
Si considerino 25 aerei quadrimotori contemporaneamente in volo e si supponga che la
distribuzione di X = numero di motori complessivamente rotti (fra tutti gli aerei) sia una
distribuzione di Poisson
Determinare p affinché il valor medio sia uguale a 10 e calcolare la probabilità che si rompa almeno
un motore, fra tutti gli aerei in volo
QUESTIONARIO
1) Un professore prepara un test a scelta multipla per i suoi allievi, con le seguenti modalità:
10 quesiti in tutto.
Un punto per ogni risposta esatta
In ogni quesito va individuata la risposta esatta fra m scelte.
a) Calcolare, in funzione di m, la probabilità che uno studente, rispondendo <<a caso>>
ottenga un punteggio maggiore o uguale a 6.
b) Determinare il minimo valore di m per cui il valore atteso del punteggio ottenuto da uno
studente che risponde <<a caso>> , sia inferiore a 3.
2)Un dado è stato truccato in modo che la probabilità che esca la faccia col numero 6 abbia
probabilità 4/9, mentre le altre uscite sono equiprobabili.
Determina la probabilità dei seguenti eventi
 esce un numero dispari
 esce un numero pari
3)I voti in matematica degli studenti di un liceo si distribuiscono normalmente,
Sapendo che i voti 6 e 8 corrispondono ai punteggi standardizzati -0,75 e 1, rispettivamente,
determinare il valor medio e lo scarto quadratico medio.
Calcolare il valore che corrisponde al punteggio standardizzato pari a 0,5.
x0

 0
4) Una variabile aleatoria X ,continua, è retta dalla legge di distribuzione f ( x)   a
x0

 x2 1
Determinare il valore di a e calcolare P(0<X<1)
et
dt
0 t2 1
È sempre crescente e concava verso l’alto
5) Provare che la funzione f(x) = 
x
6) Dato il fascio di parabole di equazione y= (k+1)x2-kx+1 , si determini il luogo geometrico dei
vertici.
Qual è la posizione limite del generico vertice quando k→-1? Dare un’interpretazione geometrica
del risultato
SOLUZIONI
PROBLEMA 1
a)La funzione è definita in R ed è periodica di periodo 2π. Lo studio può
essere limitato ad un periodo (es. tra 0 e 2π)
Assume lo stesso segno ed ha gli stessi zeri della funzione sen(x) in quanto il denominatore è sempre positivo.
La derivata prima è
Segno della derivata prima e crescenza del grafico
0______________α……………………………………2π-α_________________2π
++++++++++++++ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++++++++++
Dove con α è stato indicato l’angolo il cui coseno è 4/5
Studio della derivata seconda
( α= arccos 4/5)
0………………β__________________π………………..
-
- - - - ++++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - -
2π-β_________2π
++++++++
La curva volge la concavità verso il basso tra 0 e β, verso l’alto tra β e π, verso il basso tra π e 2π-β, verso l’alto tra
2π-β e 2π.
Ci sono 5 flessi (compresi 0 e 2π)
Massimo relativo ( e assoluto )
Dove si è sostituto sen α=
Il valore del minimo è uguale e opposto
In modo analogo si procede per i punti di flesso, tenendo conto del
fatto che se cos β= 7/20 , allora sen β = 3√39 /20
GRAFICO (cfr. figura )
b)Confronto con il grafico di y=sen x
Risolvendo l’equazione
ovvero sen x(4-4 cos x)
si trova che gli unici punti comuni sono (0,0) e (π,0)
Il grafico di sen x, tra 0 e π, si trova al di sopra di quello della
funzione (cfr. figura)
L’area richiesta si può calcolare mediante l’integrale
definito
= 2-1/4 ln 9
a) Applicando il Teorema ci Carnot al triangolo ABC si trova
ovvero, ponendo
da cui
L’area del triangolo può essere calcolata come
sen x= y2sen x =
Che , con le limitazioni 0<x<π, corrisponde proprio alla funzione precedentemente studiata.
Il valore di x corrispondente all’area massima è quindi quello che abbiamo indicato con α, cioè arccos 4/5.
PROBLEMA 2
Distribuzione di probabilità di X
Variabile aleatoria binomiale ( numero di <<successi>> in 2 prove)
(1-p)2=0,36
0
P(X=x)
x
2*p*(1-p)=0,48
1
p2=0,16
2
Distribuzione di probabilità di Y
Variabile aleatoria binomiale ( numero di <<successi>> in 4 prove)
P(Y=y)
(1-p)4=0,1296
4*p*(1-p)3=0,3456
6p2(1-p)2=0,3456
y
0
1
2
Valor Medio ( per la binomiale ) = np
Valor Medio di X
E(X) = 0,8
Valor Medio di Y
4p3(1-p)=
0,1536
3
P4=0256
4
E(Y) = 1,6
Varianza ( per la binomiale) = npq
Var(X) = 0,48
var(Y) =0,96
Per verificare quale sia la soluzione più sicura (due o quattro motori) si deve calcolare , in ciascun caso, la probabilità
che l’aereo continui a volare, cioè la probabilità che il numero dei motori rotti sia minore o uguale alla metà dei motori
Aereo a 2 motori P (x≤1) = P(x=0) + P(x=1 ) = 1-P(x=2) = 0,84
Aereo a 4 motori P(Y≤2) = P(y=0)+P(y=1)+P(y=2) =0,82 circa
E’ più affidabile la soluzione a 2 motori
Generalizzazione
Probabilità che un aereo a 2 motori continui a volare, se p è la probabilità che un motore si rompa in volo
1- p2
Probabilità che un aereo a 4 motori continui a volare
1- (P(y=3)+P(y=4) ) =1-4p3+4p4-p4=
1-4p3 + 3p4
Imponendo, per esempio,
1-p2 > 1-4p3 + 3p4
Si trova
p2(3p2 -4p +1) < 0 ovvero
(3p2 -4p +1) < 0 →
1/3<p<1
Se p è alta è più sicura la soluzione a due motori, se p è bassa (<1/3) è più sicura la soluzione a 4 motori
Valor medio
λ=np =100p
100p=10 → p=0,1
Probabilità che si rompa almeno un motore = 1 -P(0)
Distribuzione di Poisson assegna ad ogni valor k di una variabile aleatoria di valor medio λ
probabilità e - λ- λk/ k!)
Sostituendo 0 al posto di k nella formula si trova
La probabilità richiesta è 0,99 circa
P(0) = e -10
QUESITI
1)Si tratta di una distribuzione binomiale con n=10 p=1/m q=1-1/m
a) Si devono sommare le probabilità che lo studente indovini 6,7,8,9,10 quesiti
Dove i coefficienti binomiali assumono rispettivamente i valori
210 120 45 10 1
b) Il valore atteso = np = 10/m è inferiore a 3 se m/10/3
Si devono assegnare almeno 4 possibili risposte
2)Poiché la somma delle probabilità di tutti gli eventi elementari deve essere uguale a1, la probabilità che esca un
numero diverso da 6 è 1/9
Probabilità che esca pari 4/9 + 2/9 = 2/3
Probabilità che esca dispari 3/9 = 1/3
3) Ricordando che la variabile standardizzata z è legata alla variabile effettiva x dalla relazione
la
E sostituendo i valori assegnati, si calcolano i valori di μ (valor medio ) e
Si trova
( scarto quadratico medio )
μ = 6,8
= 1,14
Si deduce poi che z=0,5 corrisponde a x =7,42 ( 7 e <<mezzo>> circa)
4)la funzione di f(x) può essere considerata una funzione di distribuzione ( o densità di probabilità) se
Poiché per x<0 f(x) è nulla possiamo considerare
=a
Da cui a = 2/π
P (0<X<1) =
=
5)La funzione F(x) da studiare ha per derivata la funzione integranda
f(x)=
che è definita per ogni valore di x e assume solo valori positivi, pertanto F(x) è crescente
F”(x) = f’(x) =
La derivata seconda non è mai negativa, quindi la curva volge la concavità verso l’alto
6)Equazioni parametriche del luogo
Eliminando il parametro k si trova l’equazione cartesiana
Si tratta di un’iperbole
La tendere di k a -1 le coordinate del vertice tendono ad infinito.
Geometricamente si osserva che la parabola degenera nella retta y=x+1