Coppa del Nonno
1° Edizione
Istruzioni Generali
Per ogni problema, indicare sul cartellino delle risposte un intero compreso tra 0000 e 9999.
Se la quantità richiesta non è un numero intero, ove non altrimenti indicato, si indichi la sua parte intera.
Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000.
Se la quantità richiesta è un numero intero maggiore di 9999, se ne indichino le ultime quattro cifre.
Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati:
rad(2) = 1,4142
rad(7) = 2,6458
rad(3) = 1,7321
π = 3,1416
rad(5) = 2,2361
e = 2,7183
Qualche problema di riscaldamento:
1. La città di Badia (Versione Logica) (Gara Prime 13)
La città di Badia ha non meno di 2013 abitanti e ciascuno di essi può essere o un Fante o un Cavaliere. I Fanti
mentono sempre mentre i Cavalieri dicono sempre la verità.
Alla sera cenano tutti insieme ad un enorme tavola rotonda con esattamente tanti posti quanti sono gli
abitanti, sedendosi in modo tale da poter pronunciare tutti insieme la seguente frase:
“Le prime 5 persone che si trovano alla mia destra sono tutte dei Fanti”
Qual `e il minimo numero di abitanti che può avere la città?
2. Una fila di monomi (Versione Algebrico-Combinatoria) (Gara Prime 14)
Cosimo ha voglia di mettere in fila tutti i possibili monomi (con coefficiente 1) nelle variabili x e y e grado non
superiore a 20, nel modo seguente:
x20, x19 y, x19 , x18 y2, x18 y, x18, x17 y3, x17 y2, . . .
dove, per stabilire l’ordine dei monomi nella lista, si sono usate le seguenti regole:
(a) chi ha l’esponente della x più alto ha la precedenza;
(b) a parità di esponenti della x, ha la precedenza chi ha l’esponente della y
più alto. Dopo aver chiamato Silvia e Pietro per aiutarlo capiscono (grazie ad un’intuizione di Carolina) che
posizione occupa nella lista il monomio x7y10. Tu, risolutore di questo esercizio riesci a capirla?
3. L’arte, la matematica, Ferrara e Stanislav (Versione Geometrica) (Gara Prime 14)
Stanislav (il capitano della squadra di matematica di Ferrara) è entrato nella sua crisi di mezza età e ha
iniziato ad interessarsi all’arte, coinvolgendo anche tutta la squadra di Ferrara e i 4 capitani delle altre
squadre (Fermi, Balzan, GalileI e Paleocapa).
Dopo essersi disposto sopra ad un soppalco inizia a far disporre tutti a caso al piano inferiore per vedere le
diverse figure geometrico-artistiche che si venivano a creare e dispone i 4 capitani in 4 punti chiamati A, B, C,
D. Questi 4 punti formano un trapezio.Nel trapezio ABCD la base maggiore AB è il doppio della base minore
CD.
Congiungendo i punti medi dei lati obliqui (segnati da Luca e Daniele) il trapezio rimane diviso in due parti di
area “a” e “b” (“a” è la più piccola e “b” la più grande). Qual `e il rapporto tra “a” e “b”? (Esprimere la
risposta come la somma di numeratore e denominatore della frazione “a” / ”b” ridotta ai minimi termini
4. L’ epoca delle maledizioni matematiche I #Balzan (Versione Teoria dei Numeri) (Gara Prime 15)
E’ un’assolata giornata di primavera a Badia Polesine quando Emanuele sta camminando per il corridoio del
Balzan e d’improvviso viene colpito da una maledizione che gli fa pensare continuamente “Quanti sono i
divisori positivi di n = 11222 − 121, contando anche 1 ed n?”
Ora tu, risolutore del Balzan devi urlare (o almeno dire a voce alta a Emanuele) il risultato di questo quesito!
(Così lui potrà essere libero dalla maledizione)
Qualche problema di difficoltà mista:
5. La Grande Radice (Versione Teoria dei numeri) (Gara Prime 13)
Andrea ha voglia di fare qualche radice semplice semplice, quindi pensa” Sia n il prodotto di tutti gli
interi positivi che dividono 576 (compreso il numero stesso)” Si chiede quindi “Quanto vale radice
21esima di n?”
In quel momento, prima che lui finisca il calcolo Daniele entra nel suo pensiero (con la sua
bellissima sciarpa di Doctor Who) e urla la risposta in modo che lui non possa calcolarla da solo. Tu
sapresti dire quanto vale?
6. Un trapezio rettangolo? (Versione Geometrica) (Gara Prime 13)
Pochi lo sanno, ma congiungendo le città di Badia Polesine, Padova, Rovigo e Ferrara con una linea
blu (ma soltanto se la linea è blu) otteniamo un trapezio rettangolo (ok, non è vero ma facciamo
finta). Se tracciamo le diagonali (di questo trapezio rettangolo) viene suddiviso in 4 triangoli: il più
piccolo ha area 396 cm2 e il più grande ha area 539 cm2.Qual è l’area del trapezio?
7. L’ epoca delle maledizioni matematiche II #Paleok (Versione Algebrica) (Gara Prime 15 adattata)
Tino sta prendendo un panino durante la ricreazione quando ad un tratto viene colpito da una maledizione
5
3
che gli fa pensare al polinomio x −5x +4x continuamente, senza sosta! A quel punto, arrivano Secco e
Benedetto che lo sentono dire che P(2014) di questo polinomio si può scrivere anche come:
(a)! / (b)!
Una volta saputo questo chiamano Braso Ceron e Andrea che calcolano scomponendo in fattori
primi il risultato (a mente) e rispondono alla domanda. In quel momento si rendono conto che c’era
un modo un po’ più semplice per farlo. [Rispondere dando la somma a+b come risultato]
Ora tu, risolutore del Paleocapa devi urlare (o almeno dire a voce alta a Tino) il risultato di questo
quesito! (Così lui potrà essere libero dalla maledizione)
8. La professoressa Bocciotutti (Versione Teoria dei Numeri)
In un liceo di un’isola misteriosa, (dopotutto ogni liceo ha la sua professoressa Bocciotutti) per
scegliere chi interrogare dei suoi 21 alunni, la professoressa Bocciotutti fa in questo modo:
(a) Apre a caso un libro di 288 pagine (numerate da 1 a 288), sceglie a caso una delle due pagine su
cui lo ha aperto e ne controlla il numero N.
(b) Se N >= 21 prende dalla lista del registro lo studente contrassegnato col numero N, altrimenti
sostituisce N con la somma delle sue cifre e ripete l’operazione (b).
Qual è il numero dello studente che ha la maggior probabilità di essere scelto? (Gara Prime 15)
9. L’ epoca delle maledizioni matematiche III #Fermi (Versione Teoria dei Numeri) (Gara Prime
15 adattata)
Al liceo Fermi di Padova, Federico sta facendo una verifica di Fisica quando anche lui viene colpito
da una maledizione! (Oggigiorno le maledizioni colpiscono troppe persone) Federico inizia a
scrivere sul foglio continuamente questa frase:
“Quanto vale l’espressione:
1234567896·1234567894−1234567899·1234567891 ?”
Ora tu, risolutore del Fermi devi urlare (o almeno dire a voce alta a Federico) il risultato di questo
quesito!
(Così
lui
potrà
essere
libero
dalla
maledizione)
10.
Lo specchio magico di Francesco: (versione Geometrica) (GAS Ces ’09 Sem.A)
Francesco, stanco dopo un’impegnativa giornata di scuola arriva a casa e si siede nel suo salotto.
Al di là del suo specchio magico da salotto vede un tavolino a forma di tetraedro regolare di lato 1m su cui è
disegnata una scacchiera. Il tavolino appoggia a terra in equilibrio su uno dei vertici, che si trova a
esattamente 1m di distanza dallo specchio.
Il piano del tavolo, composto da una delle facce del tetraedro a forma di triangolo equilatero, è parallelo al
suolo. Uno dei suoi vertici “punta” esattamente verso lo specchio, in modo che il lato opposto sia parallelo
ad esso. Esattamente sopra il centro del tavolo, ma a un’altezza dal suolo doppia rispetto all’altezza del
tavolino, si trova una lampadina accesa.
Francesco osserva che sotto il tavolo si formano quindi due ombre: una causata dalla luce diretta della
lampadina e l’altra dalla luce riflessa nello specchio.
Sapendo che lo specchio è perfettamente verticale, sapresti calcolare l’area dell’intersezione tra le due
ombre? Dare la risposta in cm2
11.
Una strana campagna pubblicitaria I (Versione Algebrica) (Problema creato da Emanuele Callegari)
Emanuele, un matematico veneto, crea una bizzarra campagna pubblicitaria che diffonde quesiti per tutto il
Veneto e per tutta l’Emilia Romagna. Il curatore di questa gara vede, a Rovigo, un cartellone di questa
campagna pubblicitaria con la scritta:
Sia P(n)=n(n+1)
Calcola allora: 1/p(1)+1/p(2)+….+1/p(100)
Rispondere con la somma di numeratore e denominatore della frazione ridotta ai minimi termini
12.
La sfida artistica ferrarese e i numeri stilosi (Versione Combinatoria)
(Giacomo Santato, Problema originale)
Lucrezia e Luca , durante la lezione di arte, hanno davanti a loro due tele dove hanno entrambi disegnato
2015 cerchietti numerati (da 1 a 2015). Lucrezia traccia una linea rossa che collega alcuni di questi cerchietti.
“Che numeri hai collegato?” chiede Luca. Lucrezia risponde di aver collegato tra loro tutti i numeri stilosi in
ordine crescente. “Luca, devi sapere che i numeri stilosi si possono definire solo per via ricorsiva; i primi due
numeri stilosi sono 1 e 2 e dal terzo in poi si ottengono come somma dei due numeri stilosi precedenti”.
“Uhm … credo di averli già visti da qualche parte”. Anche Luca allora traccia una linea che collega svariati
cerchietti, ma la sua parte dal cerchietto numero 42 e collega lui a tutti i suoi multipli minori di 2015. In quel
momento arriva Fabio assieme a Stanislav con un basco in testa che dice “Ma considerando il valore di un
quadro come la somma di tutti i numeri collegati dalla linea di quel quadro, quale dei due ha il valore
maggiore?” Lucrezia allora dice “Ehi, ma non vale! Così è evidente che vince lui!” Luca dice “Va bene allora, il
tuo quadro per oggi varrà dieci volte quello che varrebbe normalmente”. Rispondere esprimendo il modulo
della differenza tra il valore del quadro di Luca e il valore modificato del quadro di Lucrezia.
13.
Una strana campagna pubblicitaria II (Ver. Alg-T. Num) (Problema creato da Emanuele Callegari)
Camminando per le assolate vie di Ferrara la comitiva formata da Lucrezia, Fabio, Daniele e Stanislav rimane
colpita da un volantino che viene consegnato loro da uno sconosciuto. Su questo volantino c’è scritto:
Data una coppia (a, b) di numeri interi positivi, con a > b, conveniamo di chiamare riduzione di (a, b), la
coppia (b, r) ottenuta prendendo il secondo elemento b della coppia di partenza ed il resto r della divisione
tra a e b
Immaginiamo poi di partire da una coppia di numeri e di operare successive riduzioni, finché questo è
possibile, cioè finché i due numeri rimangono strettamente positivi. . (Questo si chiama algoritmo di Euclide)
Ad esempio, partendo dalla coppia (59, 8) si riescono ad operare 4 riduzioni perché (59, 8) ! (8, 3) ! (3, 2) ! (2,
1) ! (1, 0).
Sul retro notano infine un quesito da risolvere con la scritta in basso “i numeri stilosi celano la chiave”
Il quesito è: SIANO N E M NUMERI MINORI DI 1.000 SE SI CALCOLA MCD(N;M) qual è il numero massimo di
passi che può durare?
14.
Una strana campagna pubblicitaria III (Versione ???) (Problema creato da Emanuele Callegari)
Francesco, sta sfidando ad una gara di corsa Biagio per le vie di Adria. Dopo un po’ di tempo un
aeroplano con uno striscione pubblicitario attaccato dietro passa nel cielo e Francesco legge ad alta
voce: “Su una retta fissiamo due punti P e Q in modo che PQ=71 cm e orientiamo la retta in modo
che la direzione positiva sia quella che va da P a Q. Una pulce parte da P e si sposta nella direzione
positiva della retta compiendo salti lunghi 101 cm. Un'altra pulce parte da Q e si sposta nella
direzione positiva della retta compiendo salti lunghi 128 cm. Sia T il punto più vicino a Q che viene
toccato da entrambe le pulci. Quanto misura PT?”
15.
Un ciondolo particolare (Versione Geometrica) (Gas Finale ’07)
Lo Yin-Yang, ciondolo-amuleto simbolo dei quartieri prestigiosi di Badia Polesine, si ottiene
prendendo cinque punti allineati ed equi-spaziati A, B, C, D, E, e tracciando una circonferenza con
centro in C e raggio AC e due semicirconferenze di raggio AB centrate una in B e l’altra in D come in
figura. Il dispettoso Emanuele ha tagliato uno Yin-Yang con un taglio diritto passante per B e
perpendicolare al segmento AE. Il taglio e le due semicirconferenze delimitano 4 parti. Se AB = 60
m, quanti m2 misura la parte più piccola in cui Emanuele ha diviso lo Yin-Yang? Dare come risposta
il coefficiente che moltiplica Pi-greco, una volta sciolte tutte le parentesi
16.
Un nuovo simbolo (Versione Geometrica)
Il copri-fronte è il simbolo che ogni matematico-ninja delle
squadre del Veneto indossa con fierezza. Oggi agli studenti del
Fermi e del Roiti è richiesto di costruirsi da sé il proprio coprifronte. Francesco parte da un parallelogramma ABCD di area
12600.
Dopo di che denota con E, F, G, H i punti medi rispettivamente dei
lati AB, BC, CD, DA e infine traccia i segmenti AG, BH, CE, DF.
Calcolare l’area del parallelogramma che ha per vertici le
intersezioni di questi quattro segmenti. (Gas Finale ’07)
17.
Film matematico (Versione Algebra-T.Numeri)
Dopo aver guardato un film ogni spettatore ha dato un voto intero al film tra 1 e 10. In ogni
momento il voto totale del film era calcolato come la somma di tutti i voti fratto la loro quantità. In
un momento T, il voto totale del film è diventato un numero intero, e poi con ogni prossima
votazione il voto totale diminuiva di 1. Qual è il massimo numero degli spettatori che poteva votare
il film dopo il momento T? (Olimpiadi Russe)
18.
Una battaglia epocale (Versione Geometrica) . (Gas Finale ’07)
Caberletti e Francesco si affrontano finalmente (a colpi di
matematica), faccia a faccia, in un pianoro nella magica valle
conosciuta come “Valle delle Olive e degli Zanini”
Il pianoro ha la forma di un rettangolo 2940×3000, e si devono
tracciare due circonferenze tangenti esternamente, e ognuna delle
due tangente a due lati consecutivi del rettangolo, in modo che tutti i
lati siano toccati da una sola circonferenza.
Determinare quanto vale, al massimo, la somma dei raggi
Esercizi Difficili ma “familiari”
(Se qualcuno si ricorda le soluzioni li lasci risolvere agli altri dato che sono presi da
gare recenti …) #FairPlay:
19.
Il palazzo dei Lancaster (Versione Logico-Combinatoria) (Coppa Gauss ’12)
Il palazzo della famiglia reale dei Lancaster (quello vicino alla barriera ma prima perché altrimenti
non vigerebbe più alcuna legge e sarebbe troppo pericoloso) ha 70 piani. Ogni piano ha 7 finestre
rivolte verso sud. Ad ognuna di queste corrisponde un ufficio, un appartamento o una sala d’attesa
piena di vasi con frutta e moloni (come dicono loro). La distribuzione segue le seguenti regole:
1. A ogni piano non possono esserci più sale d’attesa che uffici
2. Una stanza sopra un appartamento è una sala d’attesa
3. Se una stanza direttamente sopra ad un ufficio è adiacente a due altre stanze, allora queste
ultime due stanze devono essere dello stesso tipo.
Qual è il numero minimo di uffici presenti nel palazzo?
20.
Le scatole misteriose (Versione Logica)
(Coppa Gauss ’12)
In una cava su un’isola del Mare Stretto, ci sono 5 scatole parlanti di materiali diversi.
Ogni scatola contiene un numero naturale e dice solo il vero o solo il falso.
La scatola 1 è in ferro e dà due informazioni:
“il numero dentro di me è il quoziente del numero nella scatola 5 e del numero nella
scatola 2”
“un terzo del numero dentro la scatola 3 è il prodotto di tutti i numeri primi minori di 15
eccetto uno (di questi numeri primi)”
La scatola 2 è in legno di pino e dà due informazioni:
“almeno una scatola di metallo dice il falso”
“il numero nella scatola 1 è minore di 200”
La scatola 3 è in rame e dà due informazioni:
“il numero dentro di me è la differenza tra il numero nella scatola 5 e il numero nella
scatola 2”
“il numero dentro la scatola 1 è primo”
La scatola 4 è in legno di noce e dà due informazioni:
“la scatola 5 dice il falso”
“il numero nella scatola 3 è divisibile per 11”
La scatola 5 è in piombo e dice
“il numero nella scatola 1 è minore di 220”
“tutte le scatole di legno dicono il falso”
Che numero c’è nella scatola 5?
I Problemi difficili (ma non impossibili):
21.
L’ epoca delle maledizioni matematiche IV #Roiti (Versione Geometrica) (coppa Gauss ’08)
Luca, scopre che l’estro artistico di Stanislav, è causato da una maledizione! (Si, lo so, sono ovunque ormai).
Lui continua a sognare tutte le notti di essere un Duca Estense, nella città di Ferrara.
Non tutti sanno che la città di Ferrara può essere rappresentata come un reticolo 64x37 di quadrati tutti
uguali, all’interno di ognuno dei quadrati c’è una casa. Ogni notte, Stanislav parte da un vertice del reticolo e,
dopo aver percorso almeno una volta tutte le stradine interne e perimetrali ritorna al vertice di partenza Ora
tu, risolutore del Roiti devi urlare (o almeno dire a voce alta a Stanislav) il risultato di questo quesito! (Così lui
potrà essere libero dalla maledizione) (Dare come risposta la distanza minima percorsa da Stanislav espressa
usando come unità di misura il lato di un quadrato della griglia)
PS Fornisco un aiutino perché non voglio che Stanilsav resti con la maledizione: Il valore del pigreco potrebbe
essere utile…non esitate ad usarlo nei calcoli perché guardare fuori dagli schemi è sempre utile ;)
PS2 Per evitare errori di arrotondamento … il risultato finisce per “8”
22.
Compensi da Mediani (Versione Algebrica-Teoria Dei Numeri) (Coppa Gauss ’07/08?)
Ora che le gare a squadre sono gestite da un ricco Ente, finalmente tutti i collaboratori riceveranno lauti
compensi. L’ammontare in euro dei vari compensi saranno tutti numeri mediani di 4 cifre. In base alla
definizione data dal Grande Capo Callegari, un numero di 4 cifre si dice mediano se le sue cifre non sono in
progressione aritmetica, ma il numero costituito dalle sue 2 cifre centrali è la media aritmetica di quello
costituito dalle due cifre iniziali e di quello costituito dalle 2 cifre finali. Così, per esempio, 3581 è un numero
mediano (infatti (35 + 81)/2 = 58), mentre 3333, 3579 o 6420 non lo sono, in quanto le loro cifre sono in
progressione aritmetica. Il compenso più alto spetta ovviamente al Grande Capo; un po’ meno prendono i
tecnici delle radio-boe (tutti compensati con la stessa cifra); meno ancora i 2 impiegati che devono timbrare
le buste (anche loro pagati ugualmente); e ancora meno il cuoco della mensa, accusato di metterci troppo
tempo per cuocere un semplice uovo. Determinare a quanto ammonterà, al massimo, il compenso del
cuoco?
23.
Un problema semplice? (Versione Combinatoria) (Gruppo autonomo dei giovani matematici di Vicenza)
Problema del test: In un test vengono forniti un insieme di 6 avvenimenti e un insieme di altrettante date
storiche e bisogna saper collegare ciascuna data all'avvenimento corrispondente.
Purtroppo Cordiano non è preparato e non sa quali collegamenti fare. Domanda: quante sono le diverse
possibilità, andando a caso, di sbagliare tutti i collegamenti?
Ps: Il principio di esclusione e inclusione potrebbe essere utile.
L’ultimo problema (non è detto sia il più difficile):
24.
L’ epoca delle maledizioni matematiche IV (Versione Combinatoria) #Metamatematica
!!(Gauss ’13)!! !! Non risolvere questo problema se l’hai già visto!! (#FairPlay)
Giacomo, il creatore di questa gara, sta’ creando l’ultimo problema quando viene colpito da una maledizione, un
problema di qualche anno fa gli torna in mente dal subconscio e inizia a scrivere: “Consideriamo una disposizione torrica
come quelle introdotte dal prof Layton sulle scacchiere 6 X 6. Una disposizione torrica consiste delle posizioni di sei torri
del gioco degli scacchi sulla scacchiera in modo che non si “mangino” (ricordate che una torre si muove sulla riga o sulla
colonna di quante caselle si vuole). Layton tentò di associare un peso numerico ad ogni disposizione torrica: presa una
scacchiera 6X6 si scrivono in ordine i numeri 0; 1; 2; 0; 1; 2 nella prima riga, nella seconda riga i numeri 1; 2; 0; 1; 2; 0,
nella terza riga i numeri 2; 0; 1; 2; 0; 1, nella quarta i numeri 0; 1; 2; 0; 1; 2, nella quinta riga i numeri 1; 2; 0; 1; 2; 0, nella
sesta riga i numeri 2; 0; 1; 2; 0; 1 (sarà un caso, ma sulla prima colonna si leggono i numeri 0; 1; 2; 0; 1; 2 nello stesso
ordine di quelli sulla prima riga: mah, queste coincidenze fanno pensare che i matematici facciano tutto senza riflettere).
Il peso della disposizione è il prodotto dei sei numeri che sono coperti dalle sei torri della disposizione torrica.”
Ora tu, risolutore di una scuola qualsiasi trova quanto vale la somma dei pesi di tutte le disposizioni torriche possibili (che
è il risultato di questo quesito) e liberami dalla mia maledizione in modo che io possa andare libero per la mia strada.
