angoli opposti al vertice

Angoli opposti al vertice
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE
Definizione: Due angoli convessi si dicono opposti al vertice se i lati del primo angolo sono i
prolungamenti dei lati del secondo angolo.
t
s
a
b



V

d
c
L’angolo  ha il vertice in V e ha per lati le semirette a e b.
L’angolo  ha il vertice in V e ha per lati le semirette c e b
L’angolo  ha il vertice in V e ha per lati le semirette c e d.
L’angolo  ha il vertice in V e ha per lati le semirette d e a.
Gli angoli  e  sono opposti al vertice in quanto hanno lo stesso vertice V, la semiretta b dell’angolo
 e la semiretta c dell’angolo  appartengono alla stessa retta t, e la semiretta b dell’angolo  e la
semiretta d dell’angolo  appartengono alla stessa retta s.
Gli angoli  e  sono opposti al vertice in quanto hanno lo stesso vertice V, la semiretta b dell’angolo
 e la semiretta d dell’angolo  appartengono alla stessa retta s, e la semiretta c dell’angolo  e la
semiretta a dell’angolo  appartengono alla stessa retta t.
Teorema: Due angoli opposti al vertice sono congruenti fra di loro.
Ipotesi:
Gli angoli  e  sono opposti al vertice.
Gli angoli  e  sono opposti al vertice.
Tesi:
1) Gli angoli  e  sono congruenti, cioè:
2) Gli angoli  e  sono congruenti, cioè:
  .
  .
Costruzione: Si costruisce la figura disegnata sopra.
Dimostrazione
Prima parte
Si considerano gli angoli opposti al vertice  e .
Gli angoli  e  sono consecutivi poiché hanno un vertice, V, e due lati, b, in comune. Inoltre gli altri
due lati a e c, essendo lati degli angoli  e , angoli opposti al vertice per ipotesi di partenza, si trovano
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Angoli opposti al vertice
sulla stessa retta t. Questo significa che gli angoli  e  sono adiacenti e quindi supplementari. Per
definizione di angoli supplementari si ha che la loro somma è un angolo piatto:
Pertanto l’angolo  vale


Seconda parte
Gli angoli  e  sono consecutivi poiché hanno un vertice, V, e due lati, c, in comune. Inoltre gli altri
due lati, b e d, essendo lati degli angoli  e , angoli opposti al vertice per ipotesi di partenza, si
trovano sulla stessa retta s. Questo significa che gli angoli  e  sono adiacenti e quindi supplementari.
Per definizione di angoli supplementari si ha che la loro somma è un angolo piatto:
Pertanto l’angolo  vale


Conclusione
Riunendo i risultati ottenuti si ha che:


Osservando le due uguaglianze si ha che

Questa deduzione coincide con il primo enunciato della tesi, quindi si è dimostrato quanto si era
prefissato (c.v.d. = come volevasi dimostrare).
L’altra uguaglianza che compare nella tesi,   , si dimostra con un ragionamento identico a quello
sviluppato sopra. Quindi l’intero teorema è dimostrato.
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