LA DIREZIONE DI UNA RETTA
<<Amore non è guardarci l'un l'altro, ma guardare insieme nella stessa direzione>>.
E’ un aforisma di Antoine de Saint Exupéry ,molto apprezzato dai giovani per la sua potenza
evocatrice che fa pensare a mete lontane da raggiungere insieme o ad un lungo cammino da
percorrere in compagnia della persona amata .
La nostra percezione dello spazio suggerisce la possibilità di scegliere diversi punti di arrivo,
muovendosi da un certo punto di partenza. Sappiamo che possiamo incamminarci lungo
direzioni diverse , che possiamo procedere in linea retta o deviare, ovvero cambiare direzione.
L’intuizione ci fa attribuire la stessa direzione a cammini diversi che però procedono sulla
stessa retta o lungo rette parallele .
Qual è la definizione rigorosa di direzione? A quali
proprietà della retta è associata? Si può quantificare e
misurare?
Direzione e classi di equivalenza
Nell’insieme delle rette dello spazio ( o delle rette
appartenenti ad un piano) , la relazione di parallelismo
è una relazione di equivalenza poiché gode delle
proprietà:
Riflessiva – ogni retta è parallela a se stessa ( si
considerano parallele anche due rette coincidenti)
Simmetrica
ad a
- se a è parallela a b, allora b è parallela
Transitiva- se a è parallela a b e b è parallela a c,
allora a e c sono parallele tra loro
E’ possibile quindi suddividere l'intero insieme delle rette in sottoinsiemi non vuoti, a due a due
disgiunti, ciascuno dei quali ha per elementi tutte e solo le rette fra loro parallele: la relazione di
parallelismo determina una partizione di A in classi di equivalenza.
A questo punto si definisce direzione l’elemento comune ad una classe di rette parallele o meglio,
portando avanti il processo di astrazione, si identifica ciascuna direzione con la corrispondente
classe di rette parallele
Poiché ogni classe può essere rappresentata da un qualsiasi elemento della classe stessa, potremo
confrontare due direzioni mediante il confronto tra due rette corrispondenti. Per esempio parleremo
di direzioni ortogonali se due qualunque rette che le rappresentano sono tra loro perpendicolari
Direzione e vettori
Vettori e rette nel piano cartesiano
In un riferimento cartesiano Oxy siano dati due
segmenti, rispettivamente di estremi
A(x1,y1) e B(x2,y2)
B’(x’2,y’2)
e A’(x’1,y’1) e
Condizione necessaria e sufficiente affinché essi
siano paralleli è che i due triangoli ABC e
A’B’C’ ( rappresentati in figura, siano simili,
ovvero che sussista la relazione
La precedente osservazione suggerisce la seguente
Condizione di parallelismo di due vettori
Due vettori del piano
hanno la stessa direzione se e solo se le componenti omonime sono proporzionali→
E’ lecito quindi associare il concetto di direzione alla coppia ordinata di numeri reali (
)
definita a meno di un fattore di proporzionalità
Se
, il rapporto
non è altri che la tangente goniometrica dell’angolo che il vettore forma
con il semiasse delle x positive.
Condizione di ortogonalità di due vettori
Due vettori sono tra loro ortogonali se l’angolo tra essi compreso ha il coseno nullo, pertanto deve
essere nullo il prodotto scalare
Concetto di vettore direttore di una retta
Data una retta r di equazione ax+by+c=0 e una coppia di punti su di essa, A(x1.y1) e B(x2;y2),
possiamo associare ad r il vettore
,di componenti
= x2-x1
= y2-y1
avente necessariamente la stessa direzione di r.
Ogni altra coppia di punti appartenenti alla retta determina un vettore le cui componenti omonime
sono direttamente proporzionali a quelle di
, pertanto individua la stessa direzione.
Il suddetto vettore viene perciò denominato vettore direttore della retta r
Poiché i valori delle differenze x2-x1 e y2-y1 sono legati ai parametri a e b , che compaiono
nell’equazione della retta, dalla relazione
a(x2-x1 )+b(y2-y1) =0
possiamo osservare che le componenti di
sono proporzionali alla coppia (b,-a)→
le componenti del vettore direttore possono essere scritte nella forma (b,-a)
Viceversa assegnato un vettore
rette parallele di cui
, resta individuata una direzione associata a infinite
è il vettore direttore.
Ogni retta del piano è determinata, quindi, da un punto A(x0;y0) e da un vettore direttore.
Ogni altro punto P(x,y) appartiene alla retta se e solo se
Se la direzione non è quella dell’asse y,il cui vettore direttore ha componenti proporzionali alla
coppia (0;1) , il coefficiente angolare comune a tutte le rette, è m =
=
Si può scrivere l’equazione cartesiana della retta
Oppure le equazioni parametriche
Vettore ortogonale a una retta
Il vettore
è ortogonale al vettore
, quindi definisce una direzione ortogonale a
quella della retta di equazione ax+by+c=0
Esistono altre direzioni (h,k) ortogonali a una retta data?
Imponendo la condizione di ortogonalità bh-ak=0 →
unica
si trova che la direzione ortogonale è
Retta perpendicolare
Assegnato un punto P(xo,yo) e una direzione (b,-a), esiste una e una sola retta passante per quel
punto e perpendicolare a quella direzione.
Le componenti del vettore direttore della retta perpendicolare sono ovviamente (b;-a)
Equazione della retta perpendicolare
b(x-xo)-a(y-yo)=0
Vettori e rette nello spazio Oxyz
Le considerazioni precedenti possono estendersi alla
geometria dello spazio
Un vettore, in un riferimento cartesiano Oxyz, è associato
a tre componenti che indicheremo con (l, m ,n )
n è la componente lungo l’asse z, mentre l ed m sono le componenti lungo l’asse x e lungo l’asse
y rispettivamente
l ed m sono anche le componenti del vettore
proiezione di
sul piano xy
Due vettori
hanno la stessa direzione se e solo se
Dove k è un fattore di proporzionalità
Per verificarlo basta osservare che :
a) se i segmenti OP e O’P’ sono paralleli→
i due angoli O Q e O’ Q’ sono congruenti →
i due angoli P Q e P Q’ sono congruenti→OQ // O’Q’
i due triangoli OPQ e O’P’Q’ sono simili →n’= kn
,
=k
→
b)
→
Se
=k
→ OQ // O’Q’
i due triangoli OPQ e O’P’Q’ sono simili →
gli angoli sono ordinatamente uguali →OP//O’P’
E’ lecito quindi associare il concetto di direzione alla terna ordinata di numeri reali (
)
definita a meno di un fattore di proporzionalità
Anche nello spazio ad ogni retta si può associare un vettore direttore le cui componenti (l,m,n)
possono essere calcolate mediante le coordinate di due punti della retta o, direttamente, dalle
equazioni parametriche
Vettore ortogonale a una retta.
Un vettore ortogonale al vettore direttore di una
retta r, individua una direzione ortogonale ad r.
La condizione di ortogonalità di due vettori nello
spazio è analoga a quella di due vettori nel piano
ll’+mm’+nn’=0 (prodotto scalare nullo)
In questo caso però si trovano infinite direzioni
ortogonali al vettore (l,m,n)
Il risultato trova una chiara conferma geometrica:
dato il vettore
, vettore direttore della
retta r, esistono infiniti piani passanti per la retta r e in ciascuno di essi resta univocamente
determinata la direzione ortogonale a .
Retta perpendicolare
Due rette nello spazio si dicono perpendicolari se sono incidenti e se le loro direzioni sono
ortogonali.
Due rette sghembe quindi possono essere ortogonali ma non perpendicolari.
Esempio: l’asse z , il cui vettore direttore ha componenti proporzionali a (0,0,1) e una parallela
all’asse x il cui vettore direttore ha componenti proporzionali a (0,1,0)
Assegnato un punto P(xo,yo) su una retta r di direzione (l,m,n), esistono infinite rette
perpendicolari ad r nel punto P. Esse giacciono tutte in un piano (perpendicolare ad r)
Esempio
Tutte le perpendicolari all’asse z, uscenti dall’origine giacciono sul piano xy.
Le infinite direzioni ortogonali son definite da componenti proporzionali a (l,m,0)
Se P non appartiene alla retta esiste una e una sola retta p passante per quel punto e perpendicolare
ar
La retta p è intersezione di due piani: il piano individuato da P e da r e il piano perpendicolare a r
passante per P.
Il vettore
ortogonale a
in questo caso è univocamente determinato
Esempio:
Ritornando all’esempio precedente, tra le infinite rette ortogonali ad r appartenenti al piano xy,si
deve scegliere quella passante per P
→
Se però la perpendicolare p deve appartenere al piano individuato da P e da r, abbiamo una
seconda condizione, il parallelismo al vettore
Se P ha coordinate (1,0,0), il piano per P perpendicolare a r è il piano xy, che incontra r nel punto
O(0,0,0).
Il vettore
ha componenti proporzionali a (1,0,0)
Pertanto deve essere m=0→
Le equazioni parametriche di p saranno
Equazioni che definiscono chiaramente l’asse x
