Lezione del 30 marzo 2009 Dai risultati precedenti segue che, dati i numeri naturali a,b,m con m>1 e fissata (se d=mcd(a,m)b) una soluzione x=x0 della congruenza axb (mod m), poiché tutte le soluzioni della stessa congruenza sono gli elementi della classe di congruenza modulo m/d rappresentata da x0, la riduzione modulo m/d di x0 è anch’essa una soluzione ed è l’unica con valore compreso fra 0,1,…,(m/d)-1: tale soluzione è detta soluzione canonica della congruenza. Esempio: Risolviamo la congruenza 36x10 (mod 14). Con l’algoritmo Euclideo, operando n=4 divisioni, otteniamo che d=mcd(36,14)=2, divisore di b=14. Per calcolare i coefficienti interi z, w tali che 2=36z+10w, si costruiscono le successioni s i , ti (con i=0,1,2,3,4,5) di cui si è parlato nell’Algoritmo Euclideo esteso, e si trovano i valori: z=s4=2, w= -t4= -7. Una soluzione x della congruenza è data allora da x=tz=10 (dove t=b/d=5). Tutte le soluzioni sono i numeri della forma 10+k(m/d)=10+7k, con k intero relativo (quindi gli elementi della classe di congruenza rappresentata da 10 modulo m/d=7) e la soluzione canonica è 10mod7=3 (l’unica compresa fra 0,1,2,…,6). Teorema Cinese del Resto. In un manoscritto cinese del III° sec. a.C. si trova il seguente problema: trovare un intero positivo x che diviso per 3 dia resto 1, diviso per 5 dia resto 2, diviso per 7 dia resto 3. Nel linguaggio delle congruenze si tratta di trovare un intero positivo tale che xmod3=1, xmod5=2, xmod7=3, e quindi una soluzione intera positiva x del seguente sistema di congruenze di primo grado nell’incognita x: x 1(mod 3) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) Studieremo dunque i sistemi di congruenze di primo grado nell’incognita x in cui il coefficiente della x sia = 1: x b1 (mod m1 ) x b (mod m ) 2 2 (*) ..... ...... x b n (mod m n ) (dove sono fissati i termini noti bi interi >0, i moduli mi interi >1 e il numero n>1 delle congruenze). Studiamo prima il caso di 2 congruenze: Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso di 2 congruenze). Nel sistema (*), con n=2, se i moduli m1,m2 sono coprimi esiste una soluzione intera x=x0 del sistema e inoltre le soluzioni intere x1 del sistema sono tutti e soli i numeri x1x0 (mod m1m2) (quindi gli elementi della classe di congruenza x 0 m1m2 rappresentata da x0 modulo m1m2). Dimostrazione: Le soluzioni della prima congruenza del sistema sono tutti gli interi della classe di congruenza rapprresentata da b1 modulo m1, dunque gli interi della forma x=b1+m1y, dove y varia fra gli interi relativi. Imponiamo la condizione che uno di tali interi x sia soluzione anche della seconda congruenza, ottenendo la seguente congruenza di primo grado nell’incognita y: m1y(b2-b1) (mod m2) Sappiamo che tale congruenza ha qualche soluzione y=y0 perché mcd(m1,m2)=1 è ovviamente divisore della differenza (b2-b1). Ponendo x0=b1+m1y0 otterremo una soluzione del sistema. E’ facile verificare che ogni numero intero x1x0 (mod m1m2) è anche soluzione del sistema, in quanto x1x0b1 (mod m1) e x1x0b2 (mod m2). Viceversa se x1 è soluzione intera del sistema, allora x1x0b1 (mod m1) e x1x0b2 (mod m2), dunque m1,m2 sono divisori di (x1-x0), e per una proprietà dei numeri coprimi anche il prodotto m1m2 è divisore di (x1-x0), ossia x1x0 (mod m1m2). Esempio. Risolviamo il sistema formato dalle prime 2 congruenze del problema del manoscritto cinese: x 1(mod 3) x 2 (mod 5) Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=1+3y, con y intero, e imponendo che siano soluzioni anche della seconda si ottiene la congruenza di primo grado in y: 3y1 (mod 5) Una soluzione è y=ts, dove t si ottiene dividendo il termine noto 1 per il mcd(3,5)=1(quindi t=1), ed s è il coefficiente di 3 nella rappresentazione di 1=mcd(3,5) come combinazione lineare di 3 e 5: quindi da 1=32+5(-1) segue s=2. Si ha y=2, e una soluzione del sistema è allora x=1+3y=7: tutte le soluzioni del sistema sono i numeri della classe di congruenza [7]15 rappresentata da 7 modulo 15, dunque tutti gli interi della forma 7+15k, con k intero relativo (per esempio i numeri -8, 22, 37 etc…). Nel caso generale di n congruenze si ottiene un risultato analogo a quello del caso n=2: Teorema (Teorema Cinese del Resto nel caso generale di n congruenze). Nel sistema (*), con n>1 qualunque, se i moduli m1 sono a due a due coprimi esiste una soluzione intera x=x0 del sistema e inoltre le soluzioni intere x1 del sistema sono tutti e soli i numeri x1x0 (mod m1m2…mn) (quindi gli elementi della classe di congruenza x 0 m1m2 ... mn rappresentata da x0 modulo m1m2…mn). Dimostrazione: Per induzione (Ia forma) su n, con base n=2. Per n=2 la tesi segue dal Teorema precedente. Supponiamo il Teorema vero per n e dimostriamolo per n+1. Dato il sistema di n+1 congruenze: x b1 (mod m1 ) x b (mod m ) 2 2 ..... ...... x b n 1 (mod m n 1 ) Per induzione esiste una soluzione intera z del sistema formato dalle prime n congruenze, e inoltre tutte e sole le soluzioni di tale sistema sono z (mod m1m2…mn). Dunque il sistema di n+1 congruenze dato equivale al sistema di 2 congruenze: x z (mod m1m 2 ...m n ) x b n 1 (mod m n 1 ) Notiamo che i moduli delle 2 congruenze sono coprimi: se per assurdo d=mcd(m1m2…mn,mn+1)>1, considerato un divisore primo p di d sarebbe p divisore del prodotto m1m2…mn (quindi p divisore di qualche mi con i=1,2,…,n) e di mn+1, contro l’ipotesi che mi,mn+1 sono coprimi. Per il Teorema precedente (il caso di 2 congruenze) si ha la tesi per n+1: il sistema ha soluzione x0 e le soluzioni sono tutti e soli gli interi x0 (mod m1m2…mn+1). Fissata una soluzione x=x0 del sistema (*), poiché tutte le soluzioni del sistema sono gli elementi della classe di congruenza modulo m1m2…mn rappresentata da x0, la riduzione modulo m1m2…mn di x0 è anch’essa una soluzione ed è l’unica con valore compreso fra 0,1,…, m1m2…mn-1: tale soluzione è detta soluzione canonica del sistema (ovviamente essa è anche la minima soluzione 0 del sistema) Esempio. Risolviamo il sistema formato dalle 3 congruenze del problema del manoscritto cinese: x 1(mod 3) x 2 (mod 5) x 3 (mod 7) Abbiamo già risolto il sistema formato dalle prime 2 congruenze, le cui soluzioni sono 7 (mod 15). Il sistema dato equivale allora al sistema di 2 congruenze: x 7 (mod 15) x 3 (mod 7) Le soluzioni della prima congruenza sono della forma x=7+15y con y intero, e imponendo che siano soluzioni della seconda si ottiene la congruenza in y: 15y -4 (mod 7) una cui soluzione è y=rs , dove r=-4/mcd(15,7)= -4, s è il coefficiente di 15 nella rappresentazione di 1=mcd(15,7) come combinazione lineare di 15, 7 (si ha 1=151+7(-2), quindi s=1), e si ha y=-4. Una soluzione del sistema iniziale è allora x=7+15(-4)= - 53. La soluzione canonica del sistema è la riduzione (-53)mod(357)=(-53)mod105=52 (è l’unica compresa fra 0,1,…,104). Quindi x=52 è la soluzione (minima) del problema del manoscritto cinese.